1) Calcule a derivada das funções abaixo pela definição

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO
MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA 2011/1
4ª. Lista de exercícios
1) Calcule a derivada das funções abaixo pela definição.
i)
f ( x)  ax  b
ii )
f ( x)  ax 2  bx  c
iii )
vi )
f ( x )  ax 3
1
f ( x) 
x
x 1
f ( x) 
2 x
f ( x)  4  x  3
vii )
viii )
f ( x)  4  x 2
f ( x )  ln( x )
ix)
x)
f ( x)  e x
f ( x)  sen( x)
iv)
v)
(semi-círculo de raio 2)
Em todos os casos, devemos partir da relação de definição de derivada.
f '( x)  lim
x 0
f ( x  x)  f ( x)
x
f ( x)  ax  b
a( x  x)  b  (ax  b)
ax  ax  b  ax  b
ax
f '( x)  lim
 lim
 lim
 lim a  a
x 0
x 0
x 0 x
x 0
x
x
i)
f ( x)  ax 2  bx  c
ii )
a( x  x)
f '( x)  lim
x 0
ax
 lim
2
2
 

 b( x  x)  c  ax 2  bx  c
x
 

 2axx  ax 2  bx  bx  c  ax 2  bx  c
x
x 0
2axx  ax  bx
 lim 2ax  ax  b  2ax  b
x 0
x 0
x
 lim
iii)
2
f ( x)  ax3
d f ( x)
a( x  x)3  ax3
a( x 3  3x 2 x  3xx 2  x 3 )  ax 3
 lim
 lim
x 0
x 0
dx
x
x
3
2
2
3
3
ax  3ax x  3axx  ax  ax
 lim
 lim 3ax 2  3axx  ax 2  3ax 2
x 0
x 0
x
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4ª. Lista de exercícios
f ( x) 
iv)
1
x
1
 1
 x  x  x 
d f ( x)
x  ( x  x)
x
1
1
 lim 
 lim
 lim
 lim
  2

x 0
x 0 ( x  x ) x x
x 0 ( x  x ) x x
x 0 ( x  x ) x
dx
x
x




f ( x) 
v)
x 1
2 x
x  x  1
x 1

2  ( x  x) 2  x
f '( x)  lim
x 0
x
f(x)
f ’(x)
encontrando um denominador comum para o numerador...
( x  x  1)(2  x)  ( x  1)(2  x  x) 1

x 0
(2  x  x)(2  x)
x
 lim


2 x  2x  2  x 2  xx  x  2 x  x 2  xx  2  x  x
 lim
(2  x  x)(2  x)
x 0
1
x
3x
1
3
3
3

 lim


x 0 (2  x  x)(2  x) x
x 0 (2  x  x)(2  x)
(2  x)(2  x) (2  x)2
 lim
f ( x)  4  x  3
vi )
f '( x)  lim
x 0
4 
 
  lim
x  x  3  4  x  3
x
x 0
x  3  x  x  3
x
Elimine a raiz no numerador multiplicando pelo conjugado.
 lim
x 0
x  3  x  x  3 x  3  x  x  3

x
x  3  x  x  3
Lembrando que (a+b)(a-b) = a2+b2
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 lim
x0
( x  3)  ( x  x  3)
x( x  3  x  x  3)
1
 lim
x  3  x  x  3
x 0
vii )
x0
x3  x3
 
1
2 x3
f ( x)  4  x 2
4  ( x  x)  4  x
x
f '( x)  lim
x 0
 lim
x 0
 lim
x 0
 lim
x 0
viii )
x( x  3  x  x  3 )
1

2

x
 lim
f(x)
f ’(x)
2
4  ( x  x) 2  4  x 2
4  ( x  x) 2  4  x 2

x
4  ( x  x) 2  4  x 2
4  ( x  x) 2  (4  x 2 )
x

4  ( x  x) 2  4  x 2
4  x 2  2 xx  x 2  4  x 2
x

4  ( x  x)  4  x
2
2x
4  x2  4  x2
 
2


 lim
x 0
2 x  x
4  ( x  x) 2  4  x 2
x
4  x2
f ( x)  ln( x)
d ln( x)
ln( x  x)  ln( x)
1  x  x 
1  x 
 lim
 lim
ln 
 lim
ln 1 


x 0
x 0 x
dx
x
x 
 x  x0 x 
1
 x  x
lim ln 1 

x 0
x 

ix)
1


1

 x






 lim ln 1  x   ln  lim 1 
x 0
x 0
1 




x 




1
u


1  x 
1 

1


x    ln  lim 1  x    ln e x  1



1  
x
 u   u  
 

 

x  

 


f ( x)  e x
x
e x
e x x  e x
e x e x  e x
1 
e x  1
xe
x
 lim
 lim
 lim e 
  e lim
x 0
x 0
x 0
x x0
x
x
x
 x 
Este limite não é simples de calcular. Podemos usar o limite clássico para ex.
ex  1
lim
 lim
x 0
x 0 x
n 
(1 
x n
) 1
n
x
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4ª. Lista de exercícios
Podemos usar a fórmula do binômio de Newton.
n
x
n!
 x 
(1  ) n  
1n  k  
n
 n 
k  0 k !( n  k )!
k
x
n(n  1)(n  2)...[n  (n  1)]  x 
 x  n(n  1)  x  n(n  1)(n  2)  x 
(1  ) n  1  n   
  
  ... 
 
n
1 2  n 
1 2  3
1 2  3  n
 n 
 n 
 n 
x
(1  ) n  1  x  termos(x 2 , x3 )
n
1
2
3
n
Os fatores em n que acompanham os termos(x 2 , x3 , ) são sempre menores que 1 para
qualquer valor de n. Portanto,
(1 
lim
x 0
n 
x n
) 1
1  x  termos(x 2 , x3
n
 lim
x 0
x
x
n 
) 1
 lim (1  termos(x, x 2 , ) )  1
x 0
n 
d ex
 e x (ou seja, esta função é idêntica a sua derivada!)
dx
Podemos também usar um artifício para calcular
1
(1  )nx  1
ex  1
n
lim
 lim
x 0
x 0 x
x
Finalmente,
n 
Como as duas condições ( x  0 e n   ) devem ser satisfeitas, podemos usar a relação
1
e considerar um único limite ( x  0 ).
x
1
(1  ) nx  1
(1  x)  1
n
lim
 lim
1
x 0

x

0
x
x
n
n 
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f ( x)  sen( x)
sen( x  x)  sen( x)
cos( x) sen(x)  cos(x) sen( x)  sen( x)
f '( x)  lim
 lim

x 0
x 0
x
x
cos( x) sen(x)
cos(x)  1
sen(x)
cos(x)  1
lim
 lim sen( x)
 cos( x) lim
 sen( x) lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
Entretanto,
x)
sen(x)
1
x 0
x
lim
cos(x)  1
cos(x)  1 cos(x)  1
cos 2 (x)  1
 sen 2 (x)
 lim

 lim
 lim
x 0
x 0
x
x
cos(x)  1 x0 x(cos(x)  1) x0 x(cos(x)  1)
sen( x) sen(x)
sen(x)
0
  lim

 1 lim
 1  0
x 0

x

0
x cos(x)  1
cos(x)  1
2
lim
Portanto,
d sen( x)
 cos( x) 1  sen( x)  0  cos( x)
dx