1. 2. 3. 4.
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Departamento de Ciências Exatas e Naturais Primeira Lista de Exercícios Cálculo I Números Reais, Funções, Limites e Continuidade 1. Para cada função dada, encontre os valores indicados: g(x a) g(x) se a 0; a h(x) h(a) se x a; (b) h(x) 3 x 1, h(a 3 3a 2 3a) e x a (a) g(x) x 1, g(3), g(x 1) e 2. Dado um pedaço de papelão quadrado com 8 cm de lado, tira-se de cada canto do papelão, quadrados com x cm de lados e os bordos são dobrados de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine: (a) O volume V da caixa em função de x; (b) A área S da caixa em função de x. 3. Determine o domínio das funções abaixo: (a) f ( x ) 3 x 2 2 x 2 ; x2 4 (b) g ( x) 2 x se 2 x 2 e x 2 ; 3 se x 2 ou x 2 2 x 2 se 2 x 0 (c) P ( x) x 1 se 0 x 1 . 3 se 1 x 2 4. Diz-se que uma função f é par se f ( x ) f ( x ) e é ímpar se f ( x ) f ( x ), para todo x e x no domínio de f. Mostre que toda função definida num intervalo do tipo [ a , a ], pode ser escrita como uma soma de uma função par e uma função ímpar. Sugestão: considere f (x) + f (- x) g(x) = e h(x) = f (x)- 2f (- x) , verifique que g é par e h é ímpar, além 2 disso f (x) g(x) h(x). Decomponha a função f ( x ) x 2 x 1 como uma soma de uma função par e uma ímpar. 5. Se f ( x) x 2 x 1 e ( fog )( x ) x 2 3x 1, encontre g ( x ). 6. Para cada função abaixo determine o Domínio, esboce o gráfico e determine a Imagem. (a) f ( x) x 2 1 com 1 x 2; Departamento de Ciências Exatas e Naturais Primeira Lista de Exercícios Cálculo I Números Reais, Funções, Limites e Continuidade x3 8 ; 2 x x 2 se 2 x 0 (c) h( x) x se 0 x 1 ; 1 se 1 x 2 (b) g ( x) x2 1 (d) m( x) 1 x se 2 x 2 e x 1; x se x 2, 1 e 2 7. Encontre f(g(x)) e esboce seu gráfico: se x 2 2 x 1 se x 2 f(x) = x 1 se 2 x 4 e g(x) = 2 x se 2 x 4. x se x 4 3 se x 4 8. Nos ítens abaixo escreva cada função como uma função definida por mais de uma sentença. (a) f (x) mín. x , 4 x x 2 ; x 0,1 1 2 (b) g(x) máx. x , 4 x x 2 . x 1,1 1 2 9. Nos exercícios 1 a 4, para cada uma das funções dadas, (i) faça o gráfico, (ii) verifique se o limite indicado existe observando o gráfico e (iii) caso o limite exista, dê o seu valor: 1. f (x) 2 se x 1, lim f (x); 2 se x 1 x1 1 se x 2 , lim g(x); 2 x 2 se x 2 x 2 2. g(x) lim F(x) 1 se x 2 x 2 1 se x 2 , e 3. F(x) x2 4 F(x); x 2 se x 2 e 2 xlim 2 x3 x x 2 x se x 1 e x 0 3 se 1 x 3 , lim G(x), lim G(x) e lim G(x). 4. G(x) x 0 x 1 x 3 x2 2 2x se x 3 Departamento de Ciências Exatas e Naturais Primeira Lista de Exercícios Cálculo I Números Reais, Funções, Limites e Continuidade 10. A equação y2 x3 x define duas funções de x, uma com y 0 e outra com y 0 . Chamando de f cada uma dessas funções, verifique se é possível definir os seguintes limites: (a) lim f (x); (b) lim f (x); (c) lim f (x); x 1 x 1 (d) lim f (x); (e) lim f (x); (f) lim f (x); (g) lim f (x); (h) lim f (x); (i) lim f (x). x 1 x 0 x 0 x 0 x 1 x 1 x 1 11. Nos exercícios 1 a 58, calcule os limites indicados: 1. lim 4x 2 2x 2; 2 2. lim x x 1 ; 2 5. lim x 4 ; 6. lim x 1 x2 x 2 x 0 3 x 2 x 2 2x ; 2x x 8 ; 10. lim x x ; x 1 x 1 x 2 x x 2 13. lim x x ; 14. lim 2x 2 x 1 ; x 1 x 1 x 1 x2 1 3 3 3 x2 x 17. lim ; 18. lim x 2 x ; x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 22. lim x 1 3 2 25. lim 3x 4 2x 3 1 ; 26. lim x 4x x 29. lim x x x ; 33. lim x 1 ; x2 x 2 37. lim x 0 x3 x x x 3 ; 2 x 30. lim x 34. lim x 3 x 1 11. lim 2x x 3 ; x3 x 31. lim | x | x; x 2 2x 3 x2 1 3 x 1 x 1 ; x x 5x x x ; x 35. lim x 1 39. lim x 2 x 4 2 x2 4 x 1 x3 x2 x3 x x 1 ; x ; x2 1 32. lim 36. lim ; 40. lim 1 x ; ; x 0 x4 1 ; x 1 x2 x 3 x4 x x 4x 2 1 28. lim 43. lim 1 21 ; x 1 x 1 x 1 47. lim x4 x 1 ; x 1 x3 x 2 ; 3 2 x 3 3 4x x ; 4 x 1 3 24. lim ; x3 1 ( x 1) x 4 x 1 3 x x; x3 x 12. lim x 2 ; 20. lim x 1 ; x2 1 x4 x x 0 x x2 x 1 x ; x 3 x 19. lim x 1 16. lim x2 x 2 27. lim 3 46. lim 3x2 2 ; x2 15. lim 4x x ; 3 x 0 2 45. lim x x 1 ; x x 3 x2 ; x2 1 x2 1 38. lim x 0 3 x 23. lim 42. lim 12 1 ; x x 1 ; x x ; 41. lim x 0 2 8. lim x 2 2x 1 ; x 2 2 2 4 21. lim 1 x ; 4 7. lim x 2 x 2 ; x 1 x 1 3 9. lim 4. lim x 1 x 1 4 x 2 2x ; x2 x 1 3 3. lim x 2 1 ; x 3 44. lim x 2 2x ; x 48. lim x 3x x x4 1 ; x 1 ; Departamento de Ciências Exatas e Naturais Primeira Lista de Exercícios Cálculo I Números Reais, Funções, Limites e Continuidade 49. lim x0 x ; sen x 50. lim x 0 x2 ; 1 cos x 51. lim t 53. lim sen x ; 54. lim sen 2x ; 56. lim cos x 1 ; 2 57. lim x cos x ; x sen x x0 x 0 sen 2x t 2 58. lim sen x 5x 52. lim 55. lim x0 sen 3x x x 0 sen t ; t x 1 ; cos t ; t 2 sen 2 x x 1 . f (x 2 4) f (x) 4. 1, mostre que lim x 0 x x 2 x 2 12. Se lim 13. Se lim x 2 f (2 x) f (2 x) f (x) f (2) 1, mostre que lim 2. x2 x 0 x 14. O gráfico de uma função g é uma parábola com vértice no eixo Y, além disso lim g( x ) 1 e lim g( x ) 5, encontre a equação dessa parábola. x 1 x 2 ax2 1 se x 1, encontre o valor de a para que lim f ( x ) exista. x 1 x 1 se x 1 15. Se f (x) 2 ax bx 1 se x 1 2 se x 1, ache os valores de a e b tais que lim h ( x ) h (1). x 1 x b se x 1 16. Se h(x) 17. Nos exercícios 1 a 12, verifique se a função dada é contínua no valor indicado: 1. f (x) 3x 3 x 1 , c 1; 2 x 1 3. h(x) 1 se x 0, c 0; 1 se x 0 x 2 4 5. m(x) x 2 se x 2 , c 2; 3 se x 2 x 2 1 se x 2 7. F(x) 3x , c 2; 2 se x 2 2 9. H(x) x x2 se x 1, c 1; x x se x 1 x 1 se x 0 11. N(x) 1 x se 0 x 1, c 0 e c 1; x 2 1 se x 1 | x 1| , c 1; x2 4 4. j(x) x se x 1, c 1; 1 se x 1 2. g(x) 2 6. n(x) 2x 3 se x 3 , c 3; 4x 3 se x 3 8. G(x) | x 1 | se x 1, c 1; 1 se x 1 | x 1| 10. M(x) x 1 se x 1, c 1; 3x 1 12. p(x) 1 x 2 x 2 0 se x 1 se x 0 se 0 x 2 c 0 e c 2 se x 2 Departamento de Ciências Exatas e Naturais Primeira Lista de Exercícios Cálculo I Números Reais, Funções, Limites e Continuidade 3x 3 se x 1 18. Verifique se a função f (x) x 2 1 se 1 x 1 é contínua em ( , ). x 3 2x se x 1 19. Nos exercícios 1 a 4, encontre os valores das constantes a e/ou b, para que a função dada seja contínua em ( ,): 2 1. f (x) a 2 x se x 1; x 2 se x 1 x a se x 2 3. h(x) ax2 b se 2 x 2; b x se x 2 x b se x 2 2 bx 3 se x 2; x 2. g(x) x 2 2a se x 1 4. j(x) ax bx se 1 x 3. 2 bx ax se x 3 20. Mostre que a função f (x) senx x se x 0 e f (0) 1 é contínua em 0. 21. Sejam f uma função contínua num intervalo I, a e b valores em I. Se f ( a ) e f ( b ) são valores com sinais contrários, mostre que a equação f ( x ) 0 tem pelo menos uma raiz real no intervalo [ a , b ]. 22. Mostre que toda equação polinomial de grau ímpar, tem pelo menos uma raiz real.
