Enunciado 2

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
DATA: 28 de Janeiro de 2013
Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas
a
a
a

1. Considere as matrizes A = 1  1 1 


1 a  1  1
b 
e B = 0 
 
1 
com a, b   .
(20)
a) Discuta o sistema AX = B em função dos valores de a e b.
(15)
b) Apresente o conjunto das soluções para os valores de a e b para os quais o sistema tem
múltiplas soluções.
(20)
2. Mostre que
 2 x1  x2

 3x2
 x1
 3x
 x2
 1
 x3

 x3
 1
 3x3

2
1
é um sistema de Cramer. Use a regra de Cramer para calcular o valor de x2 na solução do sistema.
3. Considere o espaço vectorial ℳnn das matrizes quadradas de ordem n e os conjuntos
F = { A∊ ℳnn: A é diagonal}
e G = { A∊ ℳnn: A é hemi-simétrica}
(20)
a) Mostre que (F ∩ G) é um subespaço de ℳnn e apresente dim (F ∩ G).
(20)
b) Fixe n = 3. Apresente uma base para G.
 5 6  3
4. Considere a matriz M =  1 0 1  .


 1 2  1
(25)
a) Determine os valores próprios da matriz M.
(25)
b) Defina subespaço próprio de uma matriz e apresente um subespaço próprio de M.
(25)
c) Apresente a expressão da forma quadrática φ x   xT M x . Classifique a forma.
(30)
5. Seja W um subespaço vectorial de  n . Construa uma aplicação linear f :  n   n
tal que Im (f) = W.