Cálculo Diferencial e Integral I – 6a lista Profa Dra Maria Aparecida Bená 1. Se lim f ( x) lim f ( x) f é contínua em xo ? Justifique xx o x xo 2. Exemplifique as seguintes situações: a) uma função que não seja contínua em x 1, mas lim f ( x) lim f ( x) . x 1 x 1 b) uma função que seja contínua em todos os reais, exceto nos pontos x 0; x 1. 3. Verifique se f é contínua nos pontos xo’s indicados. x3 8 f ( x) x 2 b) 12 1 cos x , se x 0 f ( x) x a) 0 , se x 0 x0 0 , se x 2 , se x 2 x0 2 2x 4 , se x 2 f ( x) x 2 d) 2 , se x 2 1 , se x 0 sen f ( x) x c) 0 , se x 0 x0 0 x0 2 4. Determine m para que a função dada seja contínua no ponto dado. x 3 , se x 3 a) f ( x) x 3 m , se x 3 (R: m 1 2 3 ) em x0 3 . x 5 , se x 5 b) f ( x) x 5 10 m , se x 5 (R: m 2 ) em x0 5 . 5. Determine a e b para que x2 3x; f ( x) ax b; 2 x 5 6 x; x 5 (R: a 12; b 30 ) seja contínua em R. 1/3 Cálculo Diferencial e Integral I – 6a lista Profa Dra Maria Aparecida Bená 6. Analise a continuidade da função f no conjunto dos reais. x2 x f ( x) x 1 , se x 1 2, se x 1 7. Mostre que as funções f ( x) 3x 5 2 x 4 1 e g ( x) 3 cos 2 x 4 3x são contínuas para todo x real. Sugestão: Use o teorema sobre a composta de função contínua. 8. Seja f ( x) x 3 1 , x 1, 2 . Se f (1) L f (2) , use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que c 1, 2 tal que f (c) L . (R: c 3 L 1 ) 9. Seja f ( x) x 2 3x 2 . Existe algum x 0, 5 tal que f ( x) 0 ? Sua resposta está em contradição com o Teorema de Bolzano? 10. Seja f ( x) x 5 x 1 . Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo 1, 0 . 11. Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real. x / 2 x 2 admite máximo e mínimo. 12. Prove que o conjunto A 1 x 2 13. Sejam f , g : 1, 1 R contínuas. Suponhamos f (1) g (1); f (1) g (1) . Nestas condições mostre que a equação f ( x) g ( x) tem pelo menos uma solução em 1, 1 . Sugestão: Considere F : 1, 1 R , F ( x) f ( x) g ( x) e aplique o Teorema do Anulamento. 14. Determine os pontos para os quais f é descontínua. a) f ( x) 4 x5 x (R: o intervalo (4,5)) 2/3 Cálculo Diferencial e Integral I – 6a lista Profa Dra Maria Aparecida Bená b) f ( x) 4 e x e x (R: x 0 ) 15. Mostre, pelo Teorema de Bolzano, que a equação x 3 4 x 2 x 3 0 tem raiz entre 1 e 2. 16. Determine o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é 25 x 2 contínua: f x . (R: [-5,3) U (3,5] ) x3 3/3