3 Sucessões - Moodle @ FCT-UNL

3
Sucessões
1. Considere as sucessões de termos gerais un = 1, vn = n e wn = n2 .
(a) (un ) é subsucessão de (wn )?
(b) (vn ) é subsucessão de (wn )?
(c) (wn ) é subsucessão de (vn )?
2. Identique uma subsucessão de un = (−n)n que seja crescente.
3. Mostre, por denição, que
(a) lim n2 = +∞.
(b) lim (e−n + 1) = 1.
(c) lim √
1
= 0.
n+n
4. Calcule
n3 − 2n + 3
.
6n3 + 1
√
√
4
n5 + 2n + 4 2n + 2
√
(b) lim
.
(3n + 1) 4 4n + 3 + n
√
(c) lim n2 + 2n − n.
(a) lim
23n+5 + en
.
5 · 8n + 3n+2
s
(2n)!
(e) lim n
.
(n!)2
2n+1
3n + 2
(f) lim
.
3n + 4
n
1
4n + 1
(g) lim n
.
3 + 22n+1 n + 2
(d) lim
5. Seja a ∈ R um número positivo. Considere a sucessão de números reais denida, por
recorrência,

 x1 = a
 xn+1 =
xn
2 + xn
(a) Mostre, por indução, que ∀n ∈ N xn > 0.
(b) Mostre que a sucessão é decrescente.
(c) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu limite.
6. Seja a ∈ R um número positivo. Considere a sucessão de números reais denida, por
recorrência,

 x = 0, x = a
1
2
2
 x
n+2 = xn+1 + xn
(a)
(b)
(c)
(d)
Mostre que a sucessão é crescente.
Mostre que ∀n ∈ N \ {1} xn > 0.
Mostre que se existir um b ∈ R tal que lim xn = b, então b = 0.
Tendo em conta as alíneas anteriores, calcule lim xn
7. Considere a sucessão de números reais denida, por recorrência,

 x = √2
1
√ x
 x
n
n+1 = ( 2)
√
(a) Mostre, por indução que ∀n ∈ N 2 ≤ xn < 2.
(b) Mostre, por indução, que a sucessão é crescente.
(c) Mostre que existe a ≤ 2 tal que xn → a.
8. Estude quanto à convergência a sucessão un =
1
1
1
+
+ ··· + .
n+1 n+2
2n
9. Calcule os limites das sucessões denidas por:
(a)
(b)
sen(n)
.
n
n−1
X
sen(n)
j=1
(c)
3n
X
k=0
n2 + 3j 2
√
.
1
.
4n2 + k
10. Calcule os limites superiores e inferiores das sucessões denidas por:
nπ .
2
(b) (−1)n log(n2 ) − 2 log(n + 1).
(a) sen
11. Considere a sucessão
xn =
p
n
1 + 2n(−1)n
(a) Calcule os sublimites da sucessão.
(b) Estude a sucessão quanto à convergência.