9 de Junho de 2011
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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
DATA: 9 de Junho de 2011
Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas
1. Considere o sistema
(25) a) Discuta o
(15) b) Fixe
x1
2 x1 x2
9 x 3x
2
1
2x3
x3
x3
x4
3x4
7 x4
6
0
com .
sistema.
= 4. Apresente o conjunto das soluções do sistema.
2. Considere o conjunto F = {(x1, x2, x3) 3 : x1 = 2x3 e x2 = 0 }.
(20) a) Mostre que F é um
subespaço.
b) Considere a aplicação linear : F definida por (x1, x2, x3) = x1 + x3.
(20) b1) Apresente a imagem
(15) b2) A
de e uma base para ela.
aplicação é injectiva? Porquê?
1 0 1
3. Considere a matriz A= 7 2 5 .
3 0 1
(25) a) Calcule os
valores próprios de A.
(15) b) Calcule as
multiplicidades geométricas dos valores próprios de A.
(25) c) Apresente
a expressão da forma quadrática (x) = xTAx e classifique a forma.
(40) 4.
Indique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
(i) Matrizes simétricas semelhantes têm o mesmo traço.
(ii) Espaços vectoriais de dimensão finita e isomorfos têm a mesma dimensão.
Faça uma prova sucinta para justificar cada uma das suas respostas.
