9 de Junho de 2011

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
DATA: 9 de Junho de 2011
Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas
1. Considere o sistema
(25) a) Discuta o
(15) b) Fixe
 x1

2 x1  x2
9 x  3x
2
 1
 2x3
 x3
x3
 x4
 3x4
 7 x4
 6
 0
 
com    .
sistema.
 = 4. Apresente o conjunto das soluções do sistema.
2. Considere o conjunto F = {(x1, x2, x3)   3 : x1 = 2x3 e x2 = 0 }.
(20) a) Mostre que F é um
subespaço.
b) Considere a aplicação linear : F   definida por  (x1, x2, x3) = x1 + x3.
(20) b1) Apresente a imagem
(15) b2) A
de  e uma base para ela.
aplicação  é injectiva? Porquê?
  1 0 1
3. Considere a matriz A=  7 2 5 .
 3 0 1
(25) a) Calcule os
valores próprios de A.
(15) b) Calcule as
multiplicidades geométricas dos valores próprios de A.
(25) c) Apresente
a expressão da forma quadrática (x) = xTAx e classifique a forma.
(40) 4.
Indique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
(i) Matrizes simétricas semelhantes têm o mesmo traço.
(ii) Espaços vectoriais de dimensão finita e isomorfos têm a mesma dimensão.
Faça uma prova sucinta para justificar cada uma das suas respostas.