Trabalhador-Estudante 6/5/08

Exame de Topologia
6 de Maio de 2008
14h - 17h
Justifique TODAS as respostas
1. Seja X = {a, b, c, · · · , z} e considere a topologia em X
T = {G ⊆ X : se G contém uma vogal então G contém todas as vogais}.
(a) Verifique que {a, m, o, p, z} ∈ V(p) e {a, m, o, p, z} ∈
/ V(o).
(b) Dê um exemplo de um subespaço topológico (não singular) de X que seja de Hausdorff.
(c) Determine uma aplicação contı́nua f : {a, m, o, p, z} → X tal que a imagem de uma vogal seja
uma consoante e a imagem de uma consoante seja uma vogal.
(d) Mostre que (X, T ) é desconexo.
2. Considere em R2 a topologia gerada pela famı́lia F = {[a, b[×]c, d] : a, b, c, d ∈ R}.
(a) Determine o interior, exterior, fronteira e pontos isolados de X = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x}.
¶¶
µµ
1 1
(b) Mostre que a sucessão
,
não converge para (0, 0).
n n
n∈N
3. Considere os seguintes conjuntos X = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, y = 0} e Y = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤
y ≤ 1, x = 0}. Mostre que:
(a) X ∼
=Y.
(b) X ∪ Y é conexo por caminhos.
(c) (X ∪Y )\{(0, 0)} não é compacto e dê um exemplo de uma cobertura aberta de (X ∪Y )\{(0, 0)}
que não admite subcobertura finita.
4. Considere em R a métrica
d : R × R −→ R.
(
(x, y) 7−→
0,
x=y
|x − 1| + |y − 1|, x =
6 y
(a) Dê um exemplo de elementos a, b, c ∈ R tais que d(a, b) = 5 e d(b, c) = 1.
(b) Dê um exemplo de um elemento x ∈ R tal que B(x, 3) = {x}.
(c) Mostre que d e a métrica usual de R não são equivalentes.