Limites Fundamentais

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Limites Fundamentais
Para o estudo dos limites fundamentais é útil conhecer e saber aplicar as
propriedades dos limites, que são:
1) O limite de uma constante é a própria constante:
lim K  K com K  R
xa
Exemplo:
lim 7  7
x  2
2) O limite da soma ou diferença é igual a soma ou diferença dos limites, caso
estes limites existam:
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
xa
Exemplo:
3) O limite do produto é o produto dos limites, caso estes limites existam:
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
Exemplo:
xa
xa
4) O limite do quociente é igual ao quociente dos limites, caso estes limites
existam:
lim f ( x)
f ( x) x  a

lim g ( x)
x  a g ( x)
lim
xa
Exemplo:
5) O limite da potência de uma função f(x) é igual à potência do limite da função,
caso esse exista:
n


lim  f ( x)n   lim f ( x) com n  N *
x a
x a

Exemplo:
6) O limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o limite
da função, caso esse limite exista:
lim K . f ( x)  K  lim f ( x)
xa
xa
7) O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do limite da função:
lim n f ( x)  n lim f ( x) com n  N * e f ( x)  0 se n for par
xa
xa
Exemplo:
Limites Fundamentais:
1º Limite Fundamental: “Se x é um arco em radianos e sen x é a medida do seno desse
arco; então quando o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de seno de x pela
medida do arco x será igual a 1”
sen x
1
x 0 x
lim
Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma:
Seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad.
Nestas condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999, (obtido numa
calculadora científica). Efetuando-se o quociente, vem:
sen x 0,00009999

 0,99999  1 .
x
0,0001
sen x
se aproximará
x
do valor 1, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função.
Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o valor do quociente
Observe o cálculo abaixo:
sen 4 x
4. sen 4 x
4 sen u
sen u
 lim
 lim
 4. lim
 4.1  4
x 0 x
x  0 4.x
x 0 u
x 0 u
lim
Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 4x = u, de modo a
cairmos num limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e
denominador da função dada por 4, a expressão não se altera.
Veja outro exemplo:
sen 3x 0
  ? então, aplicando o 1º fundamental temos:
0
x 0 x
lim
multiplicando o numerador e o denominador por 3 temos:
3 sen 3x
sen 3x
.
 3. lim
1
x
3x
x 0 3
lim
Exercícios propostos:
1- lim
1  cos x
x 0
3x 2
1  cos x

x 0 cox
tg3x

x 0 2 x

2- lim
3- lim
2º Limite Fundamental:
x
 1
lim 1    e
x
x  
onde e  2,71828... nº de Euler
x
 1
A tabela abaixo mostra os valores de 1   a medida em que o valor de x “tende” a ser
x

muito grande, ou seja x  
x
1
(1+1/x)x
2
2
5
10
50
100
200
300
500
1000
5000
2,25 2,48832 2,59374 2,69159 2,70481 2,71152 2,71377 2,71557 2,71692 2,71801
Veja o exemplo:
Exercícios propostos:
1 x
x
 3
1- lim 1   
x
x  
 2
2- lim 1  
x
x  

3º Limite Fundamental: “ Seja um valor exponencial b x , onde b é a base, positiva e
diferente de 1. Sendo x o expoente, um numero real qualquer temos que: se o número x
tender a zero então a expressão
b x 1
assumirá o valor de ln b .
x
b x 1
lim
 ln b
x 0 x
2x 1
De forma intuitiva, observe o que ocorre com o valor da expressão
a medida em que
x
o valor de x se aproxima de zero pela direita, ou seja vamos calcular:
2x 1
x
x 0
lim
x
2x 1
x
0,5
0,4
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01
0,001
0,0001
0,82843
0,79877
0,74349
0,71773
0,7053
0,69797
0,69556
0,69339
0,69317
Observe que o valor 0,69317 é igual a ln 2  0,69317
Exercícios propostos:
6x  4x

x
x 0
1- lim
Resumo
sen x
1
x 0 x
1º Fundamental: lim
x
1 

2- lim 1   
2x 
x  
x
 1
2º Fundamental: lim 1    e
x
x  
ex 1

x 0 5x
3- lim
b x 1
 ln b
x 0 x
3º Fundamental: lim
ex 1
 faça ... dividir
4- lim
x  0 sen x
N ( x) e D( x) por x
Conseqüências dos Fundamentais:
cos x  1
0
x
x 0
5- lim
ln( 1  x) 2

x
x 0
a) lim
ex 1
 faça ...
6- lim
x 0 x
b) lim
e x  1  z  e x  z  1  x  ln( z  1) a
seguir divida por z
ex 1
1
x 0 x
ln( z  1)
1
z
z 0
c) lim
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