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Sistemas de equações lineares MCEF 2011/12 Sistemas Lineares O Sistemas lineares constituem um caso particular dos sistemas não lineares, sendo que os métodos estudados se aplicam também a estes. Chamamos sistema de equações lineares a qualquer sistema do tipo: Forma matricial Os sistemas lineares podem ser escritos na sua forma matricial, tendo em conta a definição da operações de multiplicação de matrizes. Métodos Iterativos para sistemas lineares (um exemplo) Vamos tentar resolver o um sistema linear utilizando o método do ponto fixo. Para tal devemos reescrever o sistema na forma x = G(x), o que equivale a, em cada equação, isolar a respectiva variável. Uma forma de o fazer pode ser a seguinte: Método de Jacobi O Processo descrito anteriormente conduz a um método conhecido como Método de Jacobi, que pode ser descrito pelo seguinte algoritmo Convergência do Método de Jacobi O Método de Jacobi pode ser obtido de uma forma um pouco diferente da apresentada, se começarmos por decompor a matriz A : Método de Jacobi Condições suficientes de convergência Condições suficientes de convergência Pensando nas duas normas matriciais que estudámos, elas serão inferiores a 1 para a matriz C se o módulo de cada elemento na diagonal de A for estritamente superior a todos os elementos na mesma linha ( no caso da norma infinito) ou na mesma coluna (no caso da norma 1). De facto, Este facto motiva a definição seguinte: Condições suficientes de convergência: O resultado Exemplo Várias medidas do erro … Método de Gauss-Seidel Método de Gauss-Seidel Convergência do método de Gauss-Seidel Métodos diretos para sistemas lineares: Eliminação de Gauss O Método de eliminação de Gauss consiste na transformação do sistema linear inicial, utilizando apenas operações que não aletram as respectivas soluções, até chegar a um sistema de “fácil” resolução. Todos estes sistemas têm a mesma solução, sendo que o último é de resolução trivial. Método de eliminação de Gauss Comparação dos métodos (tempo de computação em segundos) N Elim. Gauss Jacobi Gauss-Seidel 20 0.00921 0.03241 0.01172 60 0.07166 0.24006 0.08748 100 0.21481 0.62817 0.22568 200 1.06938 2.45412 0.87843 500 9.29272 14.2578 4.97512 100 0 54.3801 53.8925 19.6915 200 0 357.582 209.954 79.383 Comparação dos vários Métodos 400 350 300 250 EG 200 J GS 150 100 50 0 20 60 100 200 500 1000 2000 Condicinamento de sistemas lineares Suponhamos que pretendemos resolver o sistema linear A x = b, mas apenas dispomos de uma aproximação do segundo membro b. Isto ocorre frequentemente nas aplicações, estando normalmente ligado a erros de medição, amostragem, estamação de parâmetros, etc. O que podemos dizer sobre o erro inerente que afecta a solução deste sistema ? Exemplo Condicionamento Dizemos que uma matriz é bem condicionada se pequenos erros relativos nos dados conduzem a pequenos erros relativos na solução. Dizemos que uma matriz é mal condicionada se pequenos erros relativos nos dados dão origem a grandes erros relativos na solução. Exemplo: Modelos de Leontief • Modelos lineares que descrevem uma economia com n indústrias produtivas interdependentes, cada uma delas produzindo um bem. • Para produzir esses bens, cada uma das indústrias necessita dos bens produzidos pelas outras indústrias. • Cada indústria, além de produzir o necessário para abastecer as restantes, deve ainda satisfazer uma determinada procura final do bem. • Os dados vêm normalmente agregados por ramo de actividade, com diversos níveis de agregação, a seleccionar conforme a aplicação. • Os dados podem ser expressos em unidades produzidas ou em unidades monetárias, consoante a informação disponível. Formalização Sistema de Leontief Procura Final Nível de produção Exemplo “modificado” Industry Producing Industry Consuming Agriculture Food & Beverages Textiles Apparel Agriculture 10.86 15.7 2.16 0.02 Food & Beverages 2.38 5.75 0.06 0.01 Textiles 0.06 1.3 3.88 Apparel 0.04 0.2 1.96 0.15 0.1 Lumber & Wood Furniture & fixtures Paper & allied products Total Outlays 44.26 Paper & allied products Total Output 0.01 44.26 0.03 40.3 0.29 0.04 9.84 0.01 0.02 13.32 0.27 6 Lumber & Furniture & Wood fixtures 0.19 0.02 1.09 0.39 0.01 0.01 0.01 0.52 0.08 0.02 40.3 9.84 13.32 6 Source: Leontief (1947), Bureau of labour Statistics data. Units: BillionsOf US dollars. 2.89 0.02 2.6 2.89 7.9 7.9 Actividade 1. Construir uma matriz de coeficientes técnicos nesta situação, em que os disponíveis estão expressos em unidade monetárias, sem referência a quantidades produzidas ou ao custo unitário. 2. Identificar a procura final, por área de negócio, e resolver o sistema de Leontief correspondente. 3. Mediante os resultados obtidos, discuta a utilidade da resolução do sistema. 4. Discuta o condicionamento do sistema linear e estime o erro cometido na resolução do mesmo se as estimativas das procuras finais estiverem afectadas de um erro inferior a 10%.
