Slide 1

Sistemas de equações lineares
MCEF
2011/12
Sistemas Lineares
O Sistemas lineares constituem um caso particular dos sistemas não lineares, sendo que os
métodos estudados se aplicam também a estes. Chamamos sistema de equações lineares a
qualquer sistema do tipo:
Forma matricial
Os sistemas lineares podem ser escritos na sua forma matricial, tendo em conta a definição da
operações de multiplicação de matrizes.
Métodos Iterativos para sistemas lineares (um exemplo)
Vamos tentar resolver o um sistema linear utilizando o método do ponto fixo. Para tal devemos
reescrever o sistema na forma x = G(x), o que equivale a, em cada equação, isolar a respectiva
variável. Uma forma de o fazer pode ser a seguinte:
Método de Jacobi
O Processo descrito anteriormente conduz a um método conhecido como Método de Jacobi, que
pode ser descrito pelo seguinte algoritmo
Convergência do Método de Jacobi
O Método de Jacobi pode ser obtido de uma forma um pouco diferente da apresentada, se
começarmos por decompor a matriz A :
Método de Jacobi
Condições suficientes de convergência
Condições suficientes de convergência
Pensando nas duas normas matriciais que estudámos, elas serão inferiores a 1 para a matriz C
se o módulo de cada elemento na diagonal de A for estritamente superior a todos os elementos
na mesma linha ( no caso da norma infinito) ou na mesma coluna (no caso da norma 1). De
facto,
Este facto motiva a definição seguinte:
Condições suficientes de convergência: O resultado
Exemplo
Várias medidas do erro …
Método de Gauss-Seidel
Método de Gauss-Seidel
Convergência do método de Gauss-Seidel
Métodos diretos para sistemas lineares: Eliminação de Gauss
O Método de eliminação de Gauss consiste na transformação do sistema linear inicial, utilizando
apenas operações que não aletram as respectivas soluções, até chegar a um sistema de “fácil”
resolução.
Todos estes sistemas têm a mesma solução, sendo que o último é de resolução trivial.
Método de eliminação de Gauss
Comparação dos métodos (tempo de computação em segundos)
N
Elim. Gauss
Jacobi
Gauss-Seidel
20
0.00921
0.03241
0.01172
60
0.07166
0.24006
0.08748
100
0.21481
0.62817
0.22568
200
1.06938
2.45412
0.87843
500
9.29272
14.2578
4.97512
100
0
54.3801
53.8925
19.6915
200
0
357.582
209.954
79.383
Comparação dos vários Métodos
400
350
300
250
EG
200
J
GS
150
100
50
0
20
60
100
200
500
1000
2000
Condicinamento de sistemas lineares
Suponhamos que pretendemos resolver o sistema linear A x = b, mas apenas dispomos de uma
aproximação do segundo membro b. Isto ocorre frequentemente nas aplicações, estando
normalmente ligado a erros de medição, amostragem, estamação de parâmetros, etc.
O que podemos dizer sobre o erro inerente que afecta a solução deste sistema ?
Exemplo
Condicionamento
Dizemos que uma matriz é bem condicionada se pequenos erros relativos nos dados conduzem
a pequenos erros relativos na solução. Dizemos que uma matriz é mal condicionada se
pequenos erros relativos nos dados dão origem a grandes erros relativos na solução.
Exemplo: Modelos de Leontief
• Modelos lineares que descrevem uma economia com n indústrias
produtivas interdependentes, cada uma delas produzindo um bem.
• Para produzir esses bens, cada uma das indústrias necessita dos bens
produzidos pelas outras indústrias.
• Cada indústria, além de produzir o necessário para abastecer as
restantes, deve ainda satisfazer uma determinada procura final do bem.
• Os dados vêm normalmente agregados por ramo de actividade, com
diversos níveis de agregação, a seleccionar conforme a aplicação.
• Os dados podem ser expressos em unidades produzidas ou em unidades
monetárias, consoante a informação disponível.
Formalização
Sistema de Leontief
Procura Final
Nível de produção
Exemplo “modificado”
Industry Producing
Industry Consuming
Agriculture
Food &
Beverages
Textiles
Apparel
Agriculture
10.86
15.7
2.16
0.02
Food &
Beverages
2.38
5.75
0.06
0.01
Textiles
0.06
1.3
3.88
Apparel
0.04
0.2
1.96
0.15
0.1
Lumber &
Wood
Furniture &
fixtures
Paper & allied
products
Total Outlays
44.26
Paper &
allied
products
Total
Output
0.01
44.26
0.03
40.3
0.29
0.04
9.84
0.01
0.02
13.32
0.27
6
Lumber & Furniture &
Wood
fixtures
0.19
0.02
1.09
0.39
0.01
0.01
0.01
0.52
0.08
0.02
40.3
9.84
13.32
6
Source: Leontief (1947), Bureau of labour Statistics data.
Units: BillionsOf US dollars.
2.89
0.02
2.6
2.89
7.9
7.9
Actividade
1. Construir uma matriz de coeficientes técnicos nesta situação, em que os
disponíveis estão expressos em unidade monetárias, sem referência a
quantidades produzidas ou ao custo unitário.
2. Identificar a procura final, por área de negócio, e resolver o sistema de Leontief
correspondente.
3. Mediante os resultados obtidos, discuta a utilidade da resolução do sistema.
4. Discuta o condicionamento do sistema linear e estime o erro cometido na
resolução do mesmo se as estimativas das procuras finais estiverem afectadas
de um erro inferior a 10%.