Disciplina: Cálculo I Cód.: 1200003 Obs.: Se M 7 Aprovação Se 3,5

Disciplina: Cálculo I
Cód.: 1200003
Obs.:
Média _ Final 
2  1a Avaliação  3  2a Avaliação  4  3a Avaliação
9
Se M  7  Aprovação
Se 3,5  M < 7  Prova Final (PF)
Se M < 3,5  Reprovação.
Para ser aprovado com PF a nova média deve ser maior ou igual a cinco, considerando a
seguinte fórmula: Média Final (com PF) = (7 x M + 3 x PF)/10
Obs2.: Atendimento para tirar dúvidas com monitores em diversos horários. Professores
também estão disponíveis para atendimento. Tais atividades completam carga horária da
disciplina.
Dia 14/09/09 – 1ª. Avaliação. Assunto: Pré-Cálculo e limites;
Dia 19/10/09 – 2ª. Avaliação. Assunto: Derivadas: regras de derivação até taxas relacionadas;
Dia 25/11/09 – 3ª. Avaliação. Assunto: Aplicações das derivadas e integrais indefinidas;
Dia 30/11/09 – Avaliação de Reposição.
Dia 07/12/09 – 4ª. Avaliação.
Referências Bibliográficas: Quaisquer livros de Cálculo (Diferencial e Integral) I.
Observações (EM RELAÇÃO ÀS PROVAS):


Durante a realização delas, vocês terão os 15 minutos iniciais para tirar dúvidas quanto
ao enunciado de questões. Após este tempo, os professores não auxiliarão.
Ler e interpretar as questões faz parte do desenvolvimento da prova.
Lista de Exercícios (p/ 1ª. Avaliação)
Obs.: As questões ímpares estão resolvidas ou com sugestão de solução. Siga as instruções
destas para resolver as questões pares.
Primeira parte... PRÉ-CÁLCULO
01). A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do Equador)
em função da profundidade:
Profundidade (m)
0
100
500
1.000 3.000
Temperatura (oC)
27
21
7
4
2,8
Admitindo linearidade entre duas medições consecutivas, qual a temperatura prevista para a
profundidade de 400m ? E para uma profundidade p qualquer?
Solução:
Linearidade entre duas medições consecutivas significa que entre dois pontos vizinhos
eles são ligados por uma linha reta. Assim sendo, podem ser utilizadas três idéias:
1ª. Geometria Analítica
2ª. Geometria Plana
3ª. Função polinomial do Primeiro grau (pois seu gráfico é linear).
Independentemente da idéia, a solução é a mesma.
Utilizemos a terceira idéia.
Uma função polinomial do primeiro grau é do tipo y = ax + b.
Como 400 está entre 100 e 500, este intervalo será considerado.
Seja x a profundidade e y a temperatura. Assim, profundidade de 100 e temperatura de 21
implica x = 100 e y = 21. Idem para profundidade de 500 e temperatura de 7.
De x = 100 e y = 21, temos: 21 = 100a + b (trocar x por 100 e y por 21)
De x = 500 e y = 7, temos 7 = 500a + b (trocar x por 500 e y por 7).
Fazendo a diferença entre a primeira e a segunda equação, membro a membro, temos:
21 – 7 = (100a + b) – (500a + b)  14 = -400a  a = 14/(-400) = -0,035. Por conseguinte,
basta escolher uma das equações para substituir o valor de a para encontrar b.
De 21 = 100a + b, temos b = 21 – 100a = 21 – 100(-0,035) = 21 + 3,5 = 24,5.
Logo, para profundidade de 400, sendo y = -0,035x + 24,5, temos:
y = -0,035.400 + 24,5 = -14 + 24,5 = 10,5.
Siga esta idéia para os demais intervalos bem como para a questão 02.
02). A tabela abaixo mostra a variação do preço do dólar (cotação) em um determinado dia:
Preço (em R$)
1,98 1,96 1,98 1,95
Hora
08
11
14
17
Admitindo linearidade entre duas medições consecutivas, qual era o valor previsto para a
cotação do dólar às 9 horas. E às 15 horas?
03). Para produzir um objeto, uma firma gasta R$1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa
fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por
unidade. Qual é o número mínimo de unidades, a partir da qual a firma começa a ter lucro?
Solução:
O ganho por peça será o preço de vendo menos o gasto por unidade. Logo, o ganho é
de R$ 2,00 – R$1,20 = R$ 0,80.
Lucro é obtido quando os ganhos superam os gastos, ou seja, 0,80x > 4.000, onde x é a
quantidade produzida (a qual é um valor inteiro). Portanto, x > 4000/0,80  x > 5.000. Por
conseguinte, terá lucro a partir de 5.001 peças.
04). Duas funções importantes em finanças são: Receita total: RT = P x Q e Custo total: CT =
CF + CVU x Q, onde: P = preço de venda unitário; CF = custo fixo; CVU = custo variável
unitário e Q = quantidade produzida e vendida.
Certa metalúrgica produz uma peça, para a qual são conhecidos os seguintes dados mensais:
P = $ 5.000,00; CF = $ 100.000,00; CVU = $ 2.000,00 e lucro L = RT – CT = 800.000,00.
A fim de enfrentar seus concorrentes, decide reduzir em 20% o preço de venda unitário,
mas pretende obter o mesmo lucro, através do aumento em Q de… (em %).
05). Qual a notação que representa a função real assim definida: “Em uma conta de luz paga-se
um valor fixo de R$ 1,34, correspondendo à taxa de iluminação pública, e, por cada kwh
consumido, paga-se R$ 0,92.” Considere y o valor a se pagar e x o consumo em kwh.
Solução:
Y = 1,34 + 0,92x.
06). Um vendedor de uma loja ganha R$ 450,00 mais 2% de comissão sobre o preço de vendas.
Qual expressão indica os ganhos y deste vendedor. Considere x o valor das vendas em
determinado mês.
07). Equação de oferta (Eo) é uma função econômica que relaciona o preço de venda unitário
(p) com a quantidade (x) oferecida pelo produtor. Equação de demanda (Ed) é uma função
econômica que relaciona preço de venda unitário (p) com a quantidade (x) demandada pelo
consumidor.
Considere:
Eo = 2x + p – 10 = 0
Ed = p² – 8x – 5 = 0.
Determinar o ponto de equilíbrio (PE) entre as funções.
Obs.: 1). O PE é dado por um par de valores (x, p) que satisfaz as duas equações.
2). Em Economia, só interessam valores positivos de x e de p.
Solução:
X e p são os mesmos. De Eo, temos 2x = 10 – p. Substituindo em Ed, p² – 4(10 – p) – 5 = 0.
Desenvolvendo, p² + 4p – 45 = 0.
Usando...   b2  4ac  (4)2  4(1)(45)  16  180  196
Daí... p 
 b    (4)  196  4  14


5
2a
2(1)
2
A raiz negativa não foi considerada conforme observação da questão.
Assim, x = (10 – p)/2 = 5/2 = 2,5
08). Idem anterior se Eo = 2x + 3p – 5 = 0 e Ed = p² + 2x – 45 = 0.
09). Para evitar a perda de galináceos durante invernos rigorosos, alguns produtores resolvem
construir galinheiros dentro de grandes celeiros. Se deseja construir no formato de retângulo,
qual é o retângulo de maior área se o proprietário dispõe de uma tela de arame de 60 metros de
lado (não considere a altura da tela)?
Solução:
Sejam x e z os lados do galinheiro. Por ser um retângulo, sua área é xz. Perceba que há
uma relação entre x e z... 60 metros de tela de arame significa que o perímetro é 60.
Isto é, 2x + 2z = 60  x + z = 30  z = 30 – x.
Uma pergunta que se faz é... quaisquer valores de x servem para este problema? Ora,
por ser medida de lado, x > 0. Acontece que x não pode crescer indefinidamente porque z
também é medida. Assim, z > 0  30 – x > 0  x < 30.
Por conseguinte, z = 30 – x, 0 < x < 30.
A área será então: A = xz = x(30 – x) = 30x – x², com 0 < x < 30.
É uma função do segundo grau... como está sendo pedida a maior área, uma função do
segundo grau, que é do tipo y = ax² + bx + c, com a  0, terá seu ponto de máximo (ou de
mínimo) no vértice da parábola, desde que a < 0 (ou a > 0).
E quem é o x do vértice? Ora xv = -b/2a = -30/(-2) = 15.
Se x = 15  z = 15.
Conclusão: o retângulo de maior área é um quadrado.
10). Para evitar a perda de galináceos durante invernos rigorosos, alguns produtores resolvem
construir galinheiros dentro de grandes celeiros. Se deseja construir no formato de retângulo,
aproveitando uma parede retilínea como um dos lados, qual é o retângulo de maior área se o
proprietário dispõe de uma tela de arame de 60 metros de lado (não considere a altura da tela)?
QUESTÕES DESAFIO:
01). Considere um círculo de raio igual a x cm, se um quadrado está inscrito neste círculo,
determine a área A do quadrado em função de x. E como seria a área caso o quadrado estivesse
circunscrito?
Resp.: 2x² (inscrito) e 4x² (circunscrito)
02). Dado um pedaço de papelão quadrado com 8 cm de lado, tira-se de cada canto do papelão,
quadrados com x cm de lados e os bordos são dobrados de modo que forme uma caixa
sem tampa. Determine:
(a) O volume V da caixa em função de x;
(b) A área S da caixa em função de x.
Resp.: Idéia básica, pode desenvolver...
(a) V = x(8 – 2x)², 0 < x < 4
(b) S = (8 – 2x)² + 4x(8 – 2x), 0 < x < 4
03). O custo de produção de p unidades de um produto é dado por c(p) = p² + 2p reais e o
número de unidades produzidas, em função do tempo t, é dado por p(t) = 2t + 1, t em horas.
Qual é o custo (em R$) na 5a hora?
Resp.: c(p(5)) = c(11) = 143
04) Funcionários do departamento de engenharia de trânsito de um município resolveram
efetuar um levantamento sobre o número de pessoas que saíam do município por uma
determinada rodovia. Para tal, dividiram o problema em duas etapas: o número de veículos que
deixavam a cidade por minuto e quantas pessoas havia em cada veículo.
Quanto ao número de veículos por minuto, concluíram que, em média, 08 veículos deixavam
a cidade por minuto, ou seja, v(t) = 8t, onde t indica o número de minutos. Já o número de
pessoas por veículo obedecia à lei de formação p(v) = 3v + 1, sendo v o número de veículos e p
o número de pessoas.
Em média, após 08 minutos, quantas pessoas devem ter saído da cidade pela rodovia
observada?
Resp.: v(8) = 64  p(v(8)) = p(64) = 193
05). Se f é uma função tal que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para quaisquer x e y reais, então
f(1235) é:
Resp.: f(n) = nf(1) = 3n  f(1235) = 3705
06).Seja f uma função de variável real tal que f(x + y) = f(x).f(y), para quaisquer x e y reais. Se
f(1) = 2, determine f(5000).
Resp.: f(n) = [f(1)]n = 2n  f(5.000) = 25.000
SEGUNDA PARTE... LIMITES DE FUNÇÕES
Complete as tebelas dadas em relação à função f(x) =
2 x2  5x  3
. Note que x não
x 1
pode ser igual a um senão zera o denominador. Todavia, x = 1 também zera o numerador. E 0/0
é forma indeterminada.
E o que são formas indeterminadas? São expressões que podem assumir quaisquer
valores. Por exemplo, sabemos que 12 / 4 = 3 porque 12 = 4 x 3. Bem, se 0/0 = n, sehgue-se que
o zero do numerador será o produto do zero do denominador pelo n. Assim, 0 = 0.n. Todavia,
qualquer número multiplicado por zero dá... ZERO!
Assim, vamos considerar valores próximos de um para as tabelas dadas. Entretanto, se
x  1, segue-se que ou x < 1 ou x > 1. Logo, vamos nos aproximar por ambos os lados.
X
F(x)
Valores próximos de 1, sendo menores que este.
0,5
0,9
0,95
0,99
Para facilitar, 2x² – 5x + 3 pode ser reescrito como (x – 1)(2x – 3)... (escrever em
função das raízes!!!)
X
F(x)
Valores próximos de 1, sendo maiores que este.
1,5
1,1
1,05
Perceba que:
Se x = 0,5, então a diferença 1 – x será igual a “0,5”.
1,01
Se x = 0,9, então a diferença 1 – x será igual a “0,1”.
Se x = 0,95, então a diferença 1 – x será igual a “0,05”.
Se x = 0,99, então a diferença 1 – x será igual a “0,01”.
Também...
Se x = 1,5, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,5”.
Se x = 1,1, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,1”.
Se x = 1,05, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,05”.
Se x = 1,01, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,01”.
Vamos recordar a função módulo: f(x) = | x |. A interpretação geométrica dela é a
 x, x  0
 x , x  0
distância da origem até x. Assim sendo, é conveniente reescrever: f ( x)  
Traduzindo... a importância do médulo é deixar tudo positivo (O que se entende por este tudo?
Reflita).
Note que:
 | 1 – x | = 0,5 se x = 1,5 ou se x = 0,5.
 | 1 – x | = 0,1 se x = 1,1 ou se x = 1,1.
 | 1 – x | = 0,05 se x = 1,05 ou se x = 0,95.
 | 1 – x | = 0,01 se x = 1,01 ou se x = 0,99.
Conclusão: quanto mais próximo x estiver de “1”, mais próximo de “0” está | 1 – x |.
Além disso,
Perceba que f(x) está muito próximo de “– 1” à medida que x está próximo de “1”.
Seguindo idéia anterior... | – 3 – f(x) | está muito próximo de “0” à medida que x se
aproxima de “1”.
Em termos de símbolos: lim x 1
2 x2  5x  3
 1 .
x 1
Leia: “limite da função ... quando x se aproxima de ‘1’ é igual a ‘-1’ ”.
Obs.: só existe o limite no ponto se existirem e forem iguais os limites laterais. Limites laterais?
Sim, é o ato de aproximar-se de x = a por valores pela direita (maiores que a) ou pela esquerda
(menores que a).
Em símbolos:
Limite pela direita: lim x  a  f ( x )
Limite pela esquerda: lim x  a  f ( x )
Traduzindo... estamos tão próximos do valor indicado que, se substituir-mos a variável
pelo valor indicado o erro entre o valor aproximado e o valor real pratiacamente é zero. Logo,
basta substituir a variável pelo valor indicado.
Exemplos:
lim x  2 (3x  4)  3  2  4  10
x 2  25 0
x 2  25
( x  5)( x  5)
  lim x 5
 lim x 5
 lim x 5 ( x  5)  10
x5
0
x5
x5
u 2  6u  9 0
u 2  6u  9
(u  3) 2
(u  3) 0
lim u  3
  lim u  3
 lim u  3
 lim u  3
 0
2u  6
0
2u  6
2(u  3)
2
2
lim x 5
Nos exercícios abaixo, calcule os limites laterais da função indicada:
0 se x  1
;
01. f (x)  
1 se x  1
 x2 1

se  2  x  2 e x  1;
02. g ( x)   1  x

x se x  1
2

03. p(x)   x  21 se x  1 ou x  1;
 1  x se  1  x  1
 x 2 se  2  x  0

04. P(x)   x se 0  x  1 ;
 1 se 1  x  2
Solução...
01). No caso, a = 1.
lim x  a  f ( x)  lim x 1 1  1 Tender para ‘1’ pela direita significa que a função está definida
para valores maiores que ‘1’. Ou seja, f(x) = 1.
Analogamente... lim x  a  f ( x)  lim x 1 0  0
lim x  1 f ( x)  lim x  1 ( x 2  1)  0
03).
lim x  1 f ( x)  lim x  1 (1  x 2 )  0
lim x 1 f ( x)  lim x 1 (1  x 2 )  0
lim x 1 f ( x)  lim x 1 ( x 2  1)  0
nota: independentemente de ser pela direita ou pela esquerda, basta substituir a variável pelo
valor a qual ela tende.
05. Calcule:
a) lim x  (1  senx )
b) lim v 0 (1  senv)
Solução:
Basta trocar a variável pelo valor a qual tende. Logo, (a) 1 + sen = 1 + 0 = 1 e (b) 1, pois
sen(0) = 0..
Interessante...
Assim como podemos ter pessoas com mesmo peso e alturas distintas, segue-se que podemos ter
funções distintas com mesmo valor no cálculo de um limite.
Foi o que ocorreu com as funções da questão anterior. Considere, dada a expressão do item
(a), u = x – , a diferença entre a variável e o valor a qual ela tende. Por conseguinte, 1 + senx
= 1 + sen(u + ) = 1 + (sen(u)cos() + sen()cos(u)) = 1 – sen(u), que é a expressão do item
(b), se trocarmos u por v.
Isto ocorre com outras funções. Seja f(x) = 2x + 3. Se x  4, então f(x)  11. g(u) = 2u + 11
tende para 11 quando u  0. Com efeito, a função g(u) é obtida por meio da relação u = x – 4.
Mais adiante faremos uso desta idéia (**).
DESAFIO: Nos exercícios que se seguem, caso o limite exista, dê o seu valor:
 2 se x  1
01. f (x)  
 2 se x  1, lim f (x);
x1

Resp.: não existe, pois limites laterais são diferentes.
1 se x  2

02. g(x)   2
, lim g(x);
x  2 se x  2 x 2
Resp.: 2

lim F(x)
  1 se x  2
x 2

1 se x  2
, e
03. F(x)  
 x2  4
F(x);
 x  2 se x  2 e 2 xlim
2
Resp.: Se x  -2, então f(x)  -4
Se x  2, então f(x)  0
 x3  x
 x 2  x se x  1 e x  0

04. G(x)  
3 se 1  x  3 , lim G(x), lim G(x) e lim G(x).
x 0
x 1
x 3
 x2

2
x
se
x

3

2
Resp.: se x  0, então g(x)  1
Se x  1-, então g(x)  2 e se x  1+, então g(x)  3. Logo, não existe.
Se x  3-, então g(x)  3 e se x  3+, então g(x)  -1,5. Logo, não existe.
LIMITES INFINITOS E NO INFINITO
Considere a função y = 1/x. Com x diferente de zero. Ela tem grande importância
porque qualquer polinômio pode ser reescrito em termos dela.
Por exemplo: p(x) = x³ + 3x² + 2x.
Vamos colocar em evidência o x³. Isto é, dividir o membro direito da igualdade por x³.
x3 3x 2 2 x
3 2
1
1
Assim, p( x)  x ( 3  3  3 )  x3 (1   2 )  x3 (1  3   2  ( ) 2 ) .
x
x
x
x x
x
x
3
Vamos completar as tabelas:
Quando x decresce indefinidamente, isto é, x  - 
X
-1010
-10100
Y = 1/x
Quando x cresce indefinidamente, isto é, x  
X
1010
10100
Y = 1/x
-101.000
-10100.000
101.000
10100.000
Quando x se aproxima de zero por valores menores que zero, isto é, x  0X
-10-10
-10-100
-10-1.000
Y = 1/x
-10-100.000
Quando x se aproxima de zero por valores maiores que zero, isto é, x  0+
X
10-10
10-100
10-1.000
Y = 1/x
10-100.000
Percebemos que...
lim x  
lim x 0 
lim x 0 
1
1
 0  lim x 
x
x
1
 
x
1

x

 , n  0
  n  
 , n  0


, n  0
Algumas considerações sobre o “infinito”:   n  
 0, n  0


n



Por quê? Discuta com seus colegas...
Resultado importante: (*) lim x  
k
 0 se a constante k for diferente de zero e n > 0.
xn
Exemplos resolvidos...:
1  x2
1
1 2
2
2
1 x
x  1 0  1
1). lim x  
 lim x   x 2  lim x  
2
5x
5x
5
5
5
2
x
1
1
2). lim x  2 
   
x2 0
Dicas:
(1). Quando x  -  ou x  , basta dividir tudo pelo xn, onde n é o maior expoente de x (ou
da variável que aparece).
(2). Quando x  a-, lembrar que x < a  x – a < 0. Idem se x  a+.
Exercícios...
Determine o limite quando a variável x se aproxima de cada um dos extremos dos intervalos do
domínio de cada função:
01). f ( x)  x2  4 ;
02). g( x)  9  x2 ;
1
x 1
;
03). k ( x) 
04). m( x) 
;
1 x
2x
Solução:
01). O domínio da função é ]- ; -2]  [2; [, pois só faz sentido a raiz quadrada de alguma
expressão no universo dos números reais quando esta expressão não é negativa.
Ou seja, x² - 4  0
Desta feita, calcular limites quando x  - , x  - , x  -2- e x 2+.
lim x   f ( x)  
lim x   f ( x)  
lim x  2  f ( x)  0
lim x  2  f ( x)  0
03). O domínio é dado pelos valores de x tais que 1 – x > 0  x < 1
Logo, calcular limites quando x  -  e x  1-:
lim x  
lim x 1
1
1
1
1
1


 1  0
1 x
1  ()
  2 
1
1
  
1 x 0
Todas as passagens estão relacionadas implicitamente aos limites.
05. Para que valores de a e b tem-se lim x  
2x  1
1 ?
ax  bx  3
2
Solução:
Primeiramente, vamos supor a  0. Por quê? Para garantir que o grau do denominador seja
‘2’.
Assim sendo, vamos dividir numerador e denominador por x².
2x  1
2 1
 2
2
2x  1
0
lim x   2
 lim x   2 x
 lim x   x x
 0
b
3
ax  bx  3
ax  bx  3
a  2 a
2
x x
x
Como é dito no enunciado que o limite é igual a ‘1’, segue-se que supor a  0 não é verdadeiro.
Logo, a = 0.
Mesmo raciocínio... supor b  0.
lim x 
2x  1
 lim x 
bx  3
2x  1
1
2
x  lim
x  2  2 1 b  2
x 
bx  3
3 b
b
b
x
x
Resp.: a = 0 e b = 2.
06. Para que valores de a e b tem-se lim x  
bx  1
1
 ?
2
ax  x  3 3
07. Um importante resultado sobre limites é o teorema do confronto, ou do sanduíche. A idéia
básica é que, em um intervalo, se f(x) < g(x) < h(x) e lim x a f ( x)  L  lim x a h( x) então
lim x a g ( x)  L , mesmo que esta função g(x) não seja uma função usual ou conhecida.
Use este resultado para calcular lim x  g ( x) sabendo que, para todo x > 1,
(x – 1)² < (x² – 1)g(x) < (x + 1)².
Solução:
Como x > 1  x² > 1  x² – 1 > 0. Assim, vamos dividir ambos os membros da desigualdade
por x² – 1.
Assim,
( x  1) 2
( x  1) 2
( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1)

g
(
x
)


 g ( x) 
2
2
x 1
x 1
( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1)
x 1
x 1
 g ( x) 
x 1
x 1
Seja f(x) a função à esquerda e h(x) a função à direita de g(x).
Note que lim x  f ( x)  lim x  h( x)  1 . Chegamos neste resultado dividindo tanto o
numerador quanto o denominador de cada uma das funções por x e utilizando o resultado (*).
Logo, o limite procurado é 1.
08. Calcule o limite de g(x) = senx/x, quando x tende para zero, por meio de valores maiores
que zero. Sabe-se que cos x 
sen( x)
 1.
x
1
n
natural. Este resultado pode ser estendido para qualquer número real x.
1
Uma das utilidades do número e, com e = lim x (1  ) x , é a relação com a
x
n
Matemática Financeira. Isto é, M = C(1 + i) representa o montante M após n períodos que
um capital C, investido a uma taxa i, relativa a este período n (se o período é mensal, a taxa
é mensal, se o período é diário, a taxa é diária, etc.). Quando a capitalização é contínua,
temos M = C.ein.
Para chegar neste valor, procede-se da seguinte maneira, sendo n anual e i taxa anual.
 Se n for mensal, o novo período é multiplicado por 12 e a taxa correspondente é
dividida por 12.
 Passando a considerar n diário, o novo n será n x 12 x 30, e a taxa, que está dividida
por 12, i/12, fica dividida por 30, ou seja, i/(12 x 30).
 Passando a considerar valores a cada minuto, a cada segundo, etc. temos M =
i
C (1  ) nk .
k
Calcule o limite quando k tende para o infinito da função M e verifique que
M = C.ein
Um número especial – O número de EULER: e = lim n   (1  ) n sendo n um número
Sugestão:
Uma forma “genérica” do número ‘e’ é obtida mudando de variável. Seja y = 1/x.
1
1
Assim, x    implica que y  0. Por conseguinte, lim x   (1  ) x  lim y 0 (1  y) y .
x
i nk
Logo, em C (1  ) sendo que k  , seja y = i/k.
k
Daí,
in
i
1
n


i nk
i nk
y
lim k  C (1  )  C. lim k  (1  )  C. lim y 0 (1  y)  C.lim y 0 (1  y) y   C.ein
k
k


Exercícios: Determine:
1
a) lim u0 (1  u) u
resp.: e
3
b) lim x (1  ) x
resp.: e3
x
x 1 x
)
c) lim x (
resp.: e2
x 1
Sugestão: em (x + 1)/(x – 1), divida numerador e denominador por x...
Aplicação: Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo
bairro, após t dias é dado por L(t) =
100.000
1  19.900e  0,8t
Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
Resp.: 100.000
lim x 0  ln( x)  
 lim x  ln( x)  
Limites importantes: 
Para percebê-los, complete as tabelas, lembrando que ln(x) = logxe (logaritmo de x na base e)
Primeiro para x  
X
e
e25
e2.500
e25.000.000
Ln(x)
Agora, faça para x  0+
X
Ln(x)
e-1
e-50
e-5.000
e-5.000.000
LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Você lembra o que é um triângulo retângulo?
Desenhe um triângulo retângulo de hipotenusa
a e catetos b e c. Seja x ângulo oposto ao
cateto de medida b
Relações:
Teor. Pitágoras: a² = b² + c²
Sen(x) = b/a e cos(x) = c/a
Rel. fud. Trigonometria: sen²(x) + cos²(x) = 1
Tg²(x) + 1 = sec²(x) (#)
Ctg²(x) + 1 = csc²(x) (##)
Notas:






tangente de x, tg(x) = sen(x)/cos(x)
cotangente de x, ctg(x) = 1/tg(x) = cos(x)/sen(x)
secante de x, sec(x) = 1/cos(x)
co-secante de x, csc(x) = 1/sen(x)
(#) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, membro a membro, por cos²(x).
(##) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, membro a membro, por sen²(x).
Perceba que (#) e (##), bem como a relação fundamental da trigonometria estão todas,
direta ou indiretamente, relacionadas com sen(x). Observou-se que os limites que envolvem
funções trigonométricas passam pelo:
lim x 0
senx
1
x
Tal limite é considerado o limite fundamental da trigonometria. Pesquise o motivo deste
resultado.
Exemplos:
senx
( 2)
tgx (1)
senx 1 (3)
senx 1 ( 4 ) 1
cos x  lim
 lim x  0 


lim

 1  1
x 0 
x 0 
x
x
cos x x
x cos x
1
2
( 5)
(6)
(7)
(8)
1  cos x
1  cos x 1  cos x
1  cos x
sen 2 x
b) lim x  0

lim


lim

lim

x

0
x

0
x

0
x2
x2
1  cos x
x 2 (1  cos x)
x 2 (1  cos x)
a ) lim x  0 
lim x  0 (
(9)
senx 2
1
1 1
) 
 12  
x
1  cos x
2 2
Entendendo as “passagens”:
1) Já que dá 0/0, escrever a tg(x) como a razão entre sen(x) e cos(x).
2) Foi utilizada a divisão de frações.
3) Organizamos expressão para aparecer sen(x)/x.
4) Quando x  0 temos que cos(x)  1.
5) De sen²x + cos²x = 1, temos que sen²x = 1 – cos²x = (1 – cosx)(1 + cosx), pois a² - b² =
(a – b)(a + b).
6) Idéia anterior.
7) Substituição prevista em (5).
8) Fizemos aparecer sen(x)/x
9) Idem (4).
Exercícios:
1). Usando as idéias dos exemplos, calcule:
x
a) lim x0
tg ( x)
1  cos x
x
Resp.: (a) “1” e (b) “0”
b) lim x0
2). Fazendo a mudança u = x – a, onde ‘a’ é o valor a qual tende o limite, resolva os itens (b) e
(c) conforme o exemplo (a). Repare que em cada caso temos 0/0:
a) lim
1  senx



 u  x   x  u   sen( x)  sen(u  )
x
x
2
2
2
2

sen(a  b)  sen(a) cos(b)  sen(b) cos( a)  sen(u 



)  sen(u ) cos( )  sen( ) cos(u )  cos(u )
2
2
2
1  senx
1  cos(u ) 1  1
 lim u  0

0
x


x
2
u
0
2
2
tgx
b) lim x 
 x
cos x  1
c) lim x 
( x   )2
lim

Apoio:
tg (a)  tg (b)
1  tg (a)tg (b)
cos( a  b)  cos( a) cos(b)  sen(a) sen(b)
tg (a  b) 
FUNÇÃO
Seno
Co-seno
30º ou
(/6)
45º ou
(/4)
1
2
2
2
3
2
2
2
ÂNGULO
60º ou
90º ou
(/3)
(/2)
1
3
2
1
2
0
180º ou
()
0
-1
Tangente
1
3
3
3
Não existe
0
Resp.:(b) “-1” e (c) “½”.
CONTINUIDADE...
Dizemos que uma função é contínua em x = a quando: lim x a f ( x)  f (a) . E é contínua em
um intervalo quando é contínua em todos os pontos desse.
1). Encontre os valores das constantes a e/ou b, para que a função dada seja contínua em
( ,):
 x  a se x  2

b). h(x)  ax2  b se  2  x  2;
 b  x se x  2
a 2  x se x  1
a). f (x)   2
;
x  2 se x  1
Resposta:
Façamos o item (b).
Se x  -2-, então o limite pela esquerda fica – 2 – a.
Se x  -2+, então o limite pela direita fica 4a + b.
Assim, 4a + b = – a – 2.
Se x  2-, então o limite pela esquerda fica 4a + b.
Se x  2+, então o limite pela direita fica b - 2.
Assim, 4a + b = b – 2.
Daí,a = -1/2 e b = 5/2.
2). Para que valor de k a função é contínua em x = 0?
 senx
,

f(x) =  x
x0
 2 , x  0
.
k
Resp.: K = 0
3). A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, t minutos após a introdução de uma
 t 2  7,
toxina é dada pela função: f (t )  
t 5
 8t  72, t  5
Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em algum momento entre t =
1 e t = 7.
Resp.: Porque é contínua a função
E o mais importante:
Você tem valor porque você é amado(a) por DEUS.
Exercícios Adicionais
01). A conta de água de uma determinada região é assim composta:
 Para consumos até 10 m³, paga-se uma taxa de R$ 15,00.
 Para consumos que excedam os 10 m³ e não sejam superiores a 20m³, paga-se R$ 5,00
por cada m³ que excede os 10 m³ iniciais.
 Para consumos superiores a 20 m³, paga-se R$ 10,00 por cada m³ que excede os 20 m³.
Seja x o consumo em m³ e y o valor a ser pago em reais.
a) Expresse y em termos de x.
b) Verifique se a função é contínua em seu domínio
Resp.:
(a)
y = 15
se 0  x  10
Y = 15 + 5(x – 10) = 5x – 35
se 10 < x  20
Y = 5x – 35 + 10(x – 20) = 15x – 235 se 20 < x
(b) sim.
Nos exercícios abaixo, verifique se a função dada é contínua no valor indicado:
Lembre-se, verificar se lim x a f ( x)  f (a) , quando x  a. Para x < a ou x > a, limites
laterais.
x se x  1
02. j(x)  
Resp.: Sim
 1 se x  1, c  1;

2

 x  4 se x  2
03. m(x)   x  2
Resp.: Não
, c  2;

3 se x  2

2

x  1 se x  2
04. F(x)   3x
, c  2;

se x  2

 2
| x  1 | se x  1
, c  1;
05. G(x)  

1 se x  1

Resp.: Sim
Resp.: Sim
 x  1 se x  0

06. N(x)   1  x se 0  x  1, c  0 e c  1;
x 2  1 se x  1
Resp.: Não, em c = 0 e sim em c = 1.
3x  1 se x  0

07. p(x)  1  x 2 se 0  x  2 c  0 e c  2
 x  2 se x  2
Resp.:Sim em c = 0 e não em c = 2
 ( x   )2
, x

,c   ;
08. P( x)  1  cos x
 1, x  

Resp.: Não.
09): Calcule os seguintes limites:
a) lim n
1  n  n2
1  2  3  ...  n
Sugestão: o denominador é a soma dos termos de uma P.A.
Resp.: “2”
b) lim x 0 [ln x  ln(sen 5 x)]
Sugestão: ln(u) – ln(v) = ln(u/v). Um resultado útil é lim x  0
sen (kx) k
 . Para ‘provar’ este
mx
m
resultado basta fazer u = kx…
Resp.:-ln(5)
10). Determine o valor de b tal que:
n
lim n  (t  1). log 5p  4
t 0
onde p = b
( t 1).2 t
Resp.:b = 5.
Desejo a cada um de vocês a Matemática da vida, a qual consiste em somar ótimas amizades,
diminuindo as más preocupações, multiplicando os bons momentos vividos coma familia e os amigos,
dividindo amor e compreensão.
Que DEUS potencialize a sabedoria Dele no coração de cada um de nós.