Autovalores e Autovetores

Álgebra Linear – AL
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Autovalores e Autovetores
1 Definição e Exemplos
2 Polinômio Caracterı́stico
3 Diagonalização
Autovalores e Autovetores
Atenção: Nesta seção consideraremos somente matrizes quadradas, ou
seja, An×n.
Definição: Seja An×n. O número λ é chamado de autovalor de A se
existir um vetor não-nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx
(1)
Todo vetor x não-nulo que satisfaz (1) é chamado de um autovetor de A associado ao autovalor λ. Os autovalores também são
chamados de valores próprios, ou de valores caracterı́sticos; e
os autovetores também são chamados de vetores próprios ou de
vetores caracterı́sticos.
Autovalores e Autovetores: Exemplos
Exemplo (1) Se A é a matriz identidade In então o único autovalor é
λ = 1; todo vetor não-nulo em Rn é um autovetor de A associado
com o autovalor λ = 1:
Inx = 1x
1
0
Exemplo (2) Seja A = 1 2 . Então:
0
2
1 1 0 2
1
1
1
1
A
= 1
= 21 =
1
1
2 1
0
2
2
1
de modo que x1 =
é um autovetor de A associado ao autovalor
1
λ1 = 12 .
Exemplo (3) Considere a matriz
do
Exercı́cio (2). Calcule o autovalor
1
λ2, para o autovetor x2 =
.
−1
Autovalores e Autovetores – Exemplo (cont. 1)
0 0
Exemplo (4) Seja A =
. Calcule os autovalores λ1 e λ2 para
0 1
1
0
os autovetores x1 =
e x2 =
.
0
1
Observação: Embora o autovetor não possa ser o vetor nulo (definição), o autovalor pode ser o número zero.
1 1
Exemplo (5) Seja A =
. Encontre os autovalores de A e
−2 4
seus autovetores associados. Ou seja,
todos os números λ
encontre
x1
e todos os vetores não-nulos x =
tal que:
x2
1 1
x1
x1
=λ
−2 4
x2
x2
Calculando Autovalores e Autovetores
Definição: Seja An×n. O determinante

λ − a11 −a12
 −a21 λ − a22
f (λ) = det(λIn − A) = det 
...
...

−an1
−an2

· · · −a1n
· · · −a2n 

...
...

· · · λ − ann
é chamado de polinômio caracterı́stico de A. A equação
f (λ) = det(λIn − A) = 0
é chamada de equação caracterı́stica de A.


1 2 −1
Exemplo (6) Seja A =  1 0 1 . Encontre o polinômio carac4 −4 5
terı́stico.
Autovalores e Autovetores: Teorema
Teorema 1 Os autovalores de A são as raı́zes do polinômio caracterı́stico de A.
Demonstração Seja λ um autovalor de A com autovetor associado x.
Então Ax = λx, que pode ser rescrito como
Ax = (λIn)x
ou
(λIn − A)x = 0
um sistema homogêneo de n equações e n incógnitas. Este sistema
tem uma solução não-trivial se e somente se o determinante de sua
matriz de coeficientes se anular, isto é, se e somente se det(λIn −
A) = 0.
Reciprocamente, se λ é uma raiz do polinômio caracterı́stico de A,
então det(λIn − A) = 0, logo o sistema homogêneo (λIn − A)x = 0
tem solução não-trivial x. Portanto λ é um autovalor de A.
Autovalores e Autovetores: Exercı́cios e Procedimento


1 2 −1
Exercı́cio (7) Seja A =  1 0 1 . Calcule os autovalores e seus
4 −4 5
autovetores associados.
Exemplo (8) Calcule os autovalores e autovetores associados de


0 0 3
A =  1 0 −1  .
0 1 3
Procedimento Para encontrar os autovalores e autovetores associados
de uma matriz considere as seguines etapas:
Etapa 1 Determine as raı́zes do polinômio caracterı́stico f (λ) = det(λIn −
A). Estes são os autovalores de A.
Etapa 2 Para cada autovalor λ, encontre todas as soluções não-triviais para
o sistema homogêneo (λIn − A)x = 0. Estes são os autovetores
de A associados ao autovalor λ.
Diagonalização: Matrizes Semelhantes
Definição Uma matriz B é dita semelhante a uma matriz A se há
uma matriz invertı́vel P tal que
B = P −1AP.
1 1
Exemplo (9) Seja A =
(Exemplo (5)). Definimos P =
−2 4
2
−1
1 1
com P −1 =
. Assim,
−1 1
1 2
2 −1
1 1
1 1
2 0
=
B = P −1AP =
−1 1
−2 4
1 2
0 3
Propriedades Elementares válidas para semelhança:
1. A é semelhante a A.
2. Se B é semelhante a A, então A é semelhante a B.
3. Se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C.
Diagonalização: Definição
Definição Dizemos que a matriz A é diagonalizável se ela for semelhante a uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos também que A
pode ser diagonalizada.
Exemplo (10) Sejam A e B do Exemplo (9), então A é diagonalizável,
uma vez que é semelhante a B.
Teorema (2) Matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores.
Demonstração Sejam A e B semelhantes. Então B = P −1AP , para
alguma matriz P invertı́vel. Vamos provar que A e B têm os mesmos
polinômios caracterı́sticos, fA(λ) e fB (λ), respectivamente. Temos
fB (λ) =
=
=
=
=
det(λIn − B) = det(λIn − P −1AP )
det(P −1λInP − P −1AP ) = det(P −1(λIn − A)P )
det(P −1)det(λIn − A)det(P )
det(P −1)det(P )det(λIn − A)
det(λIn − A) = fA(λ)
Como fA(λ) = fB (λ), segue que A e B têm os mesmos autovalores.
Diagonalização: Teorema
Teorema 3 Uma matriz n×n é diagonalizável se e somente se ela tiver
n autovetores linearmente independentes.
Demonstração (=⇒) Suponha que A seja semelhante a D. Então
P −1AP = D, uma matriz diagonal, logo AP = P D. Seja


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 
D=
... 
 ...
,
0 · · · 0 λn
e seja xj , j = 1, 2, . . . , n, a j-ésima coluna de P . A j-ésima coluna
da matriz AP é Axj e a j-ésima coluna de P D é λj xj . Assim, como
AP = P D, temos:
Axj = λj xj .
Como P é uma matriz invertı́vel, suas colunas são L.I.. Portanto, λj
é um autovalor de A e xj é um autovetor correspondente.
Diagonalização: Teorema 3 (Continuação)
Demonstração (⇐=) Considere λ1, λ2, . . . , λn, como n autovalores de
A e que os autovetores x1, x2, . . . , xn correspondentes são L.I.. Seja
P = [x1 x2 . . . xn] a matriz cuja j-ésima coluna é xj . Como
as colunas de P são L.I., P é invertı́vel. De Axj = λj xj obtemos
AP = P D, que implica que A é diagonalizável.
Exemplo (11) Considere a matriz A do Exemplo (9), cujos autovalores
λ1 = 2 e λ2 = 3 foram encontrados no Exemplo (5).
1 1
Exemplo (12): Seja A =
. Os autovalores de A são λ1 = 1
0 1
e λ2= 1. Os autovetores associados a λ1 e λ2 são vetores do tipo
k
, k ∗ ∈ R. Como A não possui dois autovetores L.I., A não é
0
diagonalizável.
Diagonalização: Teorema 4
Teorema (4) Se as raı́zes do polinômio caracterı́stico de uma matriz
An×n são todas distintas, então A é diagonalizável.


0 0 1
Exemplo (13) Verifique se A =  0 1 2  é diagonalizável.
0 0 1


0 0 0
Exemplo (14) Verifique se A =  0 1 0  é diagonalizável.
1 0 1
Procedimento para Diagonalização de uma matriz
An×n
Etapa 1 Forme o polinômio caracterı́stico f (λ) = det(λIn − A) de A.
Etapa 2 Encontre as raı́zes do polinômio caracterı́stico de A.
Etapa 3 Para cada autovalor λj de A de multiplicidade kj , encontre
uma base para o espaço de (λj In − A)x = 0 (o auto-espaço associado a λj ). Se a dimensão do auto-espaço for menor do que kj ,
então A não é diagonalizável. Assim, determinamos n autovetores
L.I. de A.
Etapa 4 Seja P uma matriz cujas colunas são n autovetores L.I. determinados na Etapa 3. Então, P −1AP = D é uma matriz diagonal
cujos elementos da diagonal são os autovalores de A que correspondem às colunas de P .
The End !