Notas da Aula 8 - Professores da UFF

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
3- Autovalores e Autovetores.
3.1- Autovetores e Autovalores de uma
Matriz.
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores
e Autovetores de uma Matriz.
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Dada a matriz A n×n considere a transformação linear: y = Ax
onde x e y são vetores de um espaço n-dimensional.
Definição: Um vetor x ≠ 0 é dito ser autovetor da matriz A n×n
se a transformação linear deste vetor é colinear a este vetor. Ou
seja, se A n×n x = λ x. O escalar λ é chamado de autovalor da
matriz A n×n correspondente ao autovetor x .
Teorema: Toda transformação linear (matriz) em um espaço
vetorial complexo tem, pelo menos, um autovetor (real ou
complexo).
Note que ( A n×n − λ E)x = 0 esta equação tem solução diferentes
da nula ( x ≠ 0) se e somente se, seu determinante é zero
det( A n×n − λ E) = 0 (1) . Esta equação é chamada equação
característica e o polinômio em λ definido por ela se chama
polinômio característico. As raízes deste polinômio são os
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
autovalores da matriz A n×n e o conjunto de autovalores se
chama espectro da matriz. As soluções não nulas de (1) para
cada autovalor λi são os autovetores que correspondem a este
autovalor ( A n×n − λi E)x = 0 .
Pode ser provado que o número linearmente independente de
autovetores correspondentes a um autovalor não pode ser
maior que a multiplicidade deste autovalor (raiz do polinômio
característico). Consequentemente, se todos os autovalores são
distintos (não tem multiplicidade), então a cada autovalor
corresponde apenas um único autovetor, sendo as outras
possíveis soluções de ( A n×n − λi E)x = 0 linearmente dependente
deste único autovetor.
Teorema: Os autovetores de uma matriz correspondentes a
dois autovalores distintos são linearmente independente.
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Corolário: Se todos os autovalores de uma matriz de ordem n
são diferentes, então os correspondentes autovetores desta
matriz formam uma base no espaço n-dimensional.
Exemplo: Encontre os autovalores e autovetores da matriz
⎡2 1⎤ Primeiro devemos encontrar os autovalores solução
A=⎢
⎥ do polinômio característico: det( A n×n − λ E) = 0
1
2
⎣
⎦
1 ⎤
⎡2 − λ
2
det ⎢
(
)
=
⇒
−
− 1 = 0 ⇒ λ1 = 1 e λ2 = 3
0
2
λ
⎥
2− λ⎦
⎣ 1
Dados os autovalores, os autovetores devem ser encontrados
subtituindo cada autovalor na equação: ( A n×n − λi E)x = 0
⎡1 1⎤ ⎡ x1 ⎤
Para λ1 = 1 segue ⎢
= 0 ⇒ x1 + x2 = 0 ou x2 = − x1 onde
⎢
⎥
⎥
⎣1 1⎦ ⎣ x2 ⎦
x1 = c ≠ 0 é uma constante arbitrária. O autovetor x1 correspondente a λ1
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
⎡ c ⎤
⎡1⎤
é x = ⎢ ⎥ = c⎢ ⎥ =
⎣−c ⎦
⎣ − 1⎦
⎡ −1
Para λ2 = 3 segue ⎢
⎣1
1
⎡1⎤
⎢ − 1⎥ se c = 1.
⎣ ⎦
1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
= 0 ⇒ x1 − x2 = 0 ou x2 = x1 onde
⎢
⎥
⎥
− 1⎦ ⎣ x2 ⎦
x1 = c ≠ 0 é uma constante arbitrária. O autovetor x 2 correspondente a λ2
⎡c ⎤
⎡1⎤ ⎡1⎤
é x = ⎢ ⎥ = c ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ se c = 1.
⎣c ⎦
⎣1⎦ ⎣1⎦
2
Note que x1 e x 2 são linearmente independente e formam uma
base no espaço vetorial bidimensional.
Duas matrizes são dita ser similares se elas pode ser obtidas a
partir da outra, através de uma transformação efetuada por
alguma matriz não singular.
A = SBS −1 ⇔ B = S −1AS, onde det(S) ≠ 0
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Teorema: Matrizes similares possuem o mesmo polinômio
característico.
Corolário: Matrizes similares possuem os mesmos autovalores
incluindo a multiplicidade deles.
Corolário: Um vetor é autovetor de uma transformação linear
independentemente da escolha da base.
Teorema: Se uma matriz quadrada de ordem n A n×n tem n
autovetores linearmente independente, então escolhendo estes
autovetores como base obtemos uma matriz diagonal similar à
matriz A n×n .
Corolário: Toda matriz quadrada com autovalores distintos
pode ser reduzida a uma matriz diagonal através da
⎡λ1 0 0 ⎤
transformação de similaridade.
⎢
⎥
Λ3×3 = ⎢ 0 λ2 0 ⎥
⎢⎣ 0 0 λ3 ⎥⎦
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
2 1⎤
⎡
Exemplo: Reduza a matriz A = ⎢
a sua forma diagonal.
⎥
⎣1 2⎦
Já conhecemos os autovalores e autovetores desta matriz.
⎡1⎤
1
λ1 = 1 → x = ⎢ ⎥ → Ax1 = λ1x1
⎡ 2 1⎤
⎡ 1 0⎤
⎣ −1⎦
é similar a A = ⎢
Λ=⎢
⎥
⎥
0
3
1
2
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡1⎤
λ2 = 3 → x = ⎢ ⎥ → Ax2 = λ2x2
⎣1⎦
As matrizes A e Λ são similares se existe uma matriz S tal que
2
A = SΛS −1 ⇔ Λ = S −1AS, onde det(S) ≠ 0.
⎡ 1 1⎤
Construa S com os autovetores de A, S = ⎢
⇒ det S = 2
⎥
⎣ −1 1⎦
⎡ 1 3⎤
⎡1 0⎤
1 ⎡1 −1⎤
−1
−1
eS = ⎢
⇒ AS = ⎢
⇒ S AS = ⎢
= Λ.
⎥
⎥
⎥
2 ⎣1 1 ⎦
⎣ −1 3⎦
⎣ 0 3⎦
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Chamamos forma bi-linear da matriz real quadrada A n×n ao
produto escalar:
n
n
n
n
⎧ao espaço complexo
*
*
( A n×n x, y ) = ∑ ∑ a jk xk y j = ∑∑ akj x j yk , x, y ∈ ⎨
j =1 k =1
j =1 k =1
⎩n dimensional
T
Corolário: Se A n×n é real e simétrica ( A = A ), então
( A n×n x, y ) = ( x, A n×n y ) .
Teorema: Todos os autovalores de uma matriz real simétrica
são reais.
Ou seja, as raízes da equação característica de uma matriz real
simétrica são todas reais.
Teorema: Os autovetores correspondentes a distintos
autovalores de uma matriz real simétrica são ortogonais entre si
mesmos.
xi , x j = 0, onde λi → xi , λ j → x j e λi ≠ λ j
(
)
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Os autovetores de uma matriz real simétrica podem ser
assumidos reais.
Teorema: Toda matriz real simétrica pode ser reduzida a sua
forma diagonal através de transformações de similaridade.
Corolário: Para toda transformação linear definida por uma
matriz real simétrica existe uma base ortogonal na qual a matriz
de transformação é diagonal.
Note que a base ortogonal é formada pelos auovetores da
matriz e que todos são reais.
Corolário: Se a matriz é simétrica, então a todo autovalor está
associado um número de autovetores linearmente independente
igual à multiplicidade deste autovalor.
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Teorema (propriedade extremal dos autovalores): Seja A n×n
uma matriz real simétrica e todos seus autovalores λ1, λ2 ," , λn .
Seja λm = min(λ1, λ2 ," , λn ) e λM = max(λ1 , λ2 ," , λn ) , então para
todo vetor x se verifica: λm ( x, x ) ≤ ( A n×n x, x ) ≤ λM ( x, x ) .
Corolário: O menor e o maior autovalor de uma matriz real
simétrica A n×n , são respectivamente o menor e maior valor da
forma quadrática u = ( A n×n x, x ) na esfera unitária ( x, x ) = 1.
Uma matriz real simétrica é chamada positiva definida se sua
correspondente forma quadrática é positiva definida. Isto é,
n
n
se ∀x ≠ 0, u = ( A n×n x, x ) = ∑∑ aij xi x*j > 0.
i =1 j =1
Teorema: Uma matriz real simétrica é definida positiva se e
somente se todos seus autovalores são positivos.
3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz
Para uma matriz real quadrada de ordem n os coeficientes do
polinômio característico são reais. Em geral, as raízes λ1, λ2 ," , λn
(autovalores) deste polinômio são conjugados em pares, se eles
são complexos. Ou seja, dado um autovalor seu conjugado é
também autovalor da matriz com a mesma multiplicidade.
Pode ser que uma matriz real quadrada não tenha nenhum
autovalor real. Entretanto, se todos os elementos da matriz são
positivos aij > 0, então existe pelo menos um autovalor real (o
maior numericamente) e o autovetor associado a ele é formado
por coordenadas positivas.
A seguir, métodos para encontrar autovalores e autovetores!
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e
Autovetores de uma Matriz
Dividimos o problema em duas partes:
1- Encontrar os autovalores de uma matriz A n×n consiste em
determinar as raízes do polinômio característico:
det( A n×n − λ E) = 0.
2- Encontrar os autovetores associados a cada autovalor
consiste em determinar os vetores x ≠ 0 que são solução do
sistema linear homogêneo:
( A n×n − λi E)x = 0.
Abordaremos duas técnicas para resolver a primeira parte:
1.1- expandir o determinante Pn (λ ) = det( A n×n − λ E) = 0
em
polinômios de grau n e encontramos suas raízes usando algum
método aproximado,
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e
Autovetores de uma Matriz
1.2- aproximar as raízes da equação característica pelo Método
da Iteração sem expandir o determinante.
Técnica 1.1- Expansão do determinante em polinômios
"
(a11 − λ )
a12
a1n
Pn (λ ) = det( A n×n − λ E) =
a21
(a22 − λ ) "
a2n
"
"
"
"
an1
an 2
" (ann − λ )
=0
Pn (λ ) = (−1) n ⎡⎣λ n − σ 1λ n −1 + σ 2λ n −2 − σ 3λ n −3 + " + (−1) n σ n λ n − n ⎤⎦ = 0
Determinar os coeficientes σ i é equivalente a calcular
determinantes de varias ordens, que é uma tarefa trabalhosa
quando n é grande. Existem métodos (Danilevsky, Krylov,
Leverrier, etc) que contornam o calculo destes determinantes. O
método de Danilevsky exige menos operações aritméticas.
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e
Autovetores de uma Matriz
Técnica 1.2- Encontrar aproximadamente o maior autovalor
em valor absoluto e seu autovetor sem expandir o
determinante
Caso 1. Entre todos os autovalores existe apenas um (sem
multiplicidade) com maior valor absoluto. Suponha que é o
primeiro: λ1 > λ2 ≥ λ3 ≥ " ≥ λn . Lembre que para uma matriz
real com todos os elementos positivos seu maior autovalor é
real.
Seja y um vetor arbitrário representado como combinação
linear da base formada pelos autovetores da matriz A n×n :
n
y = ∑ c j x j , onde x1 , x2 ," , x n são autovetores de A n×n
j =1
e c j são coeficientes constantes.
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e
Autovetores de uma Matriz
n
n
Já que ( A n×n − λ j E)x j = 0 segue A n×n y = ∑ c j Ax j =∑ c j λ j x j .
j =1
j =1
Chamamos Ay de uma iteração do vetor y e formamos uma
2
3
m
sucessão de niterações Ay , AAy = A y , A y ," , A y , onde
y m = A m y = ∑ c j λ jm x j .
j =1
Escolha uma base e1, e2 ," , e n (não necessariamente unitária) e
descomponha os autovetores de A e o vetor y nesta base:
n
n
i =1
i =1
x j = ∑ xij ei e y m = ∑ yimei logo,
n
y = ∑ c jλ
m
j =1
n
m
j
n
xij e = ∑ e
∑
i =1
i =1
i
n
i
∑ c j xij λ
j =1
n
m
j
e y = ∑ c j xij λ jm
m
i
j =1
xj
n
similarmente temos yim +1 = ∑ c j xij λ jm +1
j =1
yim +1
e construimos m .
yi
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e
Autovetores de uma Matriz
n
yim +1
=
m
yi
m +1
c
x
λ
∑ j ij j
j =1
n
m
c
x
λ
∑ j ij j
j =1
c1xi1λ1m +1 + " + cn xin λnm +1
=
c1xi1λ1m + " + cn xin λnm
m +1
m +1
⎛ λ2 ⎞
⎛ λn ⎞
c x + c2 xi 2 ⎜ ⎟ + " + cn xin ⎜ ⎟
m +1
m +1 1 i1
yi
λ1
⎝ λ1 ⎠
⎝ λ1 ⎠
= m
m
m
m
λ
yi
⎛ λ2 ⎞
⎛ λn ⎞
1
N
c1xi1 + c2 xi 2 ⎜ ⎟ " + cn xin ⎜ ⎟
= λ1
⎝ λ1 ⎠
⎝ λ1 ⎠
Se c1 ≠ 0 e xi1 ≠ 0 podemos transformar a expressão anterior na
m +1
m +1
forma:
c2 xi 2 ⎛ λ2 ⎞
cn xin ⎛ λn ⎞
1+
⎜ ⎟ +" +
⎜ ⎟
m +1
c
x
λ
c
x
yi
1 i1 ⎝ 1 ⎠
1 i1 ⎝ λ1 ⎠
= λ1
m
m
m
yi
c2 xi 2 ⎛ λ2 ⎞
cn xin ⎛ λn ⎞
1+
⎜ ⎟ "+
⎜ ⎟
c1xi1 ⎝ λ1 ⎠
c1xi1 ⎝ λ1 ⎠
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e
Autovetores de uma Matriz
Note que para garantir que c1 ≠ 0 e xi1 ≠ 0 é suficiente fazer uma
1 2
n
escolha apropriada do vetor y e da base e , e ," , e . Note que
m
⎛ λj ⎞
λj
< 1 ∀j > 1 já que λ1 e o maior autovalor de A. Logo lim ⎜ ⎟ = 0.
m →∞ ⎜ λ ⎟
λ1
⎝ 1 ⎠
Consequentemente, se passamos ao limite no processo
iterativo obtemos:
m +1
m +1
⎡
c2 xi 2 ⎛ λ2 ⎞
cn xin ⎛ λn ⎞ ⎤
⎢ 1+
⎜ ⎟ +" +
⎜ ⎟ ⎥
m +1
c1xi1 ⎝ λ1 ⎠
c1xi1 ⎝ λ1 ⎠ ⎥
yi
⎢
= λ1 ,
lim m = lim ⎢λ1
m
m
⎥
m →∞ y
m →∞
i
c2 xi 2 ⎛ λ2 ⎞
cn xin ⎛ λn ⎞
⎢
⎥
1+
"+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
c1xi1 ⎝ λ1 ⎠
c1xi1 ⎝ λ1 ⎠
⎣
⎦
m +1
i
m
i
y
λ1 =
y
m +1
⎛ ⎛ λ ⎞m ⎞
y
+ O ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ou λ1 ≈ i m (i = 1, 2," , n).
⎜ ⎝ λ1 ⎠ ⎟
yi
⎝
⎠
(2)
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e
Autovetores de uma Matriz
Se o número de iterações m é suficientemente grande, o
processo iterativo (2) proporciona o autovalor de maior valor
absoluto da matriz A , com a precisão desejada. Para fazer isto
devemos escolher o vetor inicial y .
Nos casos que a escolha de y não é adequada o processo
iterativo (2) pode não convergir. Esta não convergência pode
ser observada quando os valores do cociente oscilam. Neste
caso devemos fazer uma nova escolha do vetor inicial y.
1
x
Note que o autovetor
associado ao autovalor λ1 é
1
m
m
aproximadamente x ≈ y = A y , já que
⎡
n c ⎛λ
j
j
A m y = ∑ c j λ jm x j = c1λ1m x1 + ∑ c j λ jm x j = c1λ1m ⎢ x1 + ∑ ⎜
⎜
⎢
j =1
j =2
j = 2 c1 ⎝ λ1
⎣
n
n
⎞ j⎤
⎟⎟ x ⎥
⎥
⎠
⎦
m
3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e
Autovetores de uma Matriz
m
⎛ λj ⎞
= 0 ∀j > 1, consequentemente A m y ≈ c1λ1m x1.
⎜
⎟
Como mlim
→∞ ⎜ λ ⎟
⎝ 1 ⎠
m
Ou seja, para uma iteração m suficientemente grande A y se
diferencia do autovetor x1 apenas por um fator (são paralelos).
Lembrando o Corolário: Um vetor é autovetor de uma
transformação linear independentemente da escolha da base.
Exemplo: Encontre o maior autovalor e seu autovetor da matriz?
⎡ 2 1⎤
A=⎢
⎥
1
2
⎣
⎦
Feito com Excel
Frase do Dia
“Since a general solution must be judged
impossible from want of analysis, we must
be content with the knowledge of some
special cases, and that all the more, since
the development of various cases seems to
be the only way to bringing us at last to a
more perfect knowledge.”
Leonhard Euler