Homework 03

Homework 03
(Revisão Álgebra Linear)
Felippe de Souza
1) Para cada uma das transformações lineares T: V → V’ abaixo (i, ii e iii), verificar o
seguinte:
Qual é a matriz T que representa a transformação?
( Nota: usar a base canónica {e1, e2, …, en} );
Determinar o domínio de T = D (T), o contra-domínio de T,
a imagem de T = Im (T), e N (T) = kernell (T) = núcleo ou kernell de T;
Calcular o posto (ou ‘rank’) de T = ρ (V) = rank (V) e verificar que corresponde à
dim (Im (T));
Calcular a nulidade (ou ‘nullity’) de T = dim (N (T)) e verificar que
dim (V) = rank (T) + nullity de T
Verificar se T é injetora, sobrejetora e/ou bijetora.
i) T: V → V’, onde V = R2 e V’ = R.
(x1 , x2) → x1.
ii) T: V → V’, onde V = R e V’ = R2.
x → (x , 2x).
iii) T: V → V’, onde V = V’ = R2.
(x1 , x2) → rotação de 90º no sentido horário.
2) Considere o operador linear A1: R2 → R2 representado pela matriz abaixo,
− 3
A1 = 
 0
1

− 3
Calcular o polinómio característico ∆(λ), os autovalores e os autovetores de A1;
Agora considere o operador linear A2: R2 → R2 representado pela matriz abaixo,
− 3
A2 = 
 0
0

− 3
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(Revisão Álgebra Linear)
Felippe de Souza
Verifique que A2 possui o mesmo polinómio característico ∆(λ) e os mesmos
autovalores de A1 mas não os mesmos autovetores;
Verifique que A1 e A2, apesar de possuírem o mesmo polinómio característico ∆(λ)
e os mesmos autovalores, não são similares;
Encontre uma matriz que seja similar à A1 e uma matriz que seja similar à A2.
3) Funcionais são utilizados em otimização. Encontre um funcional não linear f1: R3 → R
para o qual o elemento (3, 3, 3) ∈ R3 é um mínimo, isto é,
f1 (3, 3, 3) ≤ f1 (x1, x2, x3),
∀ (x1, x2, x3) ∈ R3
Encontre um funcional não linear f2: R3 → R para o qual o elemento (3, 3, 3) ∈ R3 é
um máximo, isto é,
f2 (3, 3, 3) ≥ f2 (x1, x2, x3),
∀ (x1, x2, x3) ∈ R3
Mostre que não é possível encontrar um funcional linear f: R3 → R para o qual o
elemento (3, 3, 3) ∈ R3 é um máximo ou um mínimo.
4) Considere o operador linear A: R3 → R3 representado pela matriz abaixo,
0

A= 0

− 1
0
1
0
2

0

3
Calcular o polinómio característico ∆(λ), os autovalores e autovetores de A;
Encontre uma matriz que seja similar à A;
Calcular a matriz (λI – A) para cada autovalor λ de A e observe que
rank (λI – A) < n.
neste caso n = 3, claro.
Isso significa que pelo menos uma das 3 equações em Av = λv é redundante.
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(Revisão Álgebra Linear)
Felippe de Souza
5) Considere o operador linear A: R4 → R4 representado pela matriz abaixo,
2

0
A=
0

0
0,5
− 3,5
− 2,5
1,5
0,5
− 1,5
− 2,5
− 3,5
0

0

0

− 3
Calcular o polinómio característico ∆(λ), os autovalores e autovetores de A;
Encontre uma matriz que seja similar à A;
Calcular a matriz (λI – A) para cada autovalor λ de A e observe que
rank (λI – A) < n.
neste caso n = 4, claro.
Isso significa que pelo menos uma das 4 equações em Av = λv é redundante.
6) Considere o operador linear A: R5 → R5 representado pela matriz abaixo,
− 3

0

A= 0

0

 0
0
0
−2
−3
0
4
0
−3
0
0
0
−1
0
0
−2
2

− 4

0

− 2

− 1 
Calcular o polinómio característico ∆(λ), os autovalores e autovetores de A;
Encontre uma matriz que seja similar à A;
Calcular a matriz (λI – A) para cada autovalor λ de A e observe que
rank (λI – A) < n.
neste caso n = 5, claro.
Isso significa que pelo menos uma das 5 equações em Av = λv é redundante.
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(Revisão Álgebra Linear)
Felippe de Souza
7) Verifique que U e X abaixo são espaços vetoriais. Mostre então que T: U → X
abaixo é de facto uma transformação linear de U em X, onde:
U = { conjunto das funções contínuas por partes no intervalo [0, tf] }
X = { (x1(·), x2(·)) pares funções contínuas no intervalo [0, tf] }

e ( t −τ )
 3e t 
t


x ( t ) = T( u (⋅))( t ) = 
+
 ∫
 e t + 2e −2 t  o  1 (e ( t −τ ) − e −2 ( t−τ ) )
 3


 1
 
   u ( τ)dτ
e −2 ( t−τ )   0 

0
8) Verifique que U e Y abaixo são espaços vetoriais. Mostre que T: U → Y abaixo
é de facto uma transformação linear de U em Y.
U = { conjunto das funções contínuas por partes no intervalo [0, tf] }
X = { conjunto das funções contínuas no intervalo [0, tf] }
Y = { conjunto das funções contínuas no intervalo [0, tf] }
T : U → Y,
y( t ) = T(u(⋅))(t) = C ⋅ Ψ ( t ) x o +
∫
t
0
G( t − τ) u ( τ) dτ
onde Ψ: X → X , G: U → Y e C: R2 → R2 são transformações lineares.