Slides da aula 13 e 14

Matemática para
Economia III
2013.2
Aula 13 e 14:
Transformações lineares (continuação)/
Autovalores e Autovetores/ Diagonalização
de Operadores
Matriz de uma transformação
linear
Sejam T: V→W uma transformação linear, A uma base de V e B
uma base de W. Sem perda de generalidade consideremos dim
V=2 e dim W=3.
Sejam A={v1,v2} e B={w1,w2,w3}, um vetor v ϵ V pode ser expresso
como
(1)
Note que [v]A=(x1,x2)
A imagem T(v) ϵ W pode ser expressa como
(2) Note que [T(v)]B=(y1,y2,y3)
Por outro lado aplicando T em (1) obtemos
(3)
Matriz de uma transformação
linear
Sendo T(v1) e T(v2) ϵ W eles são combinações lineares
dos vetores de B:
(4)
(5)
Substituindo em (3) temos que
Matriz de uma transformação
linear
Portanto:
Ou na forma matricial:
Ou simbolicamente:
Matriz de T em relação as bases A e B
Matriz de uma transformação
linear
Na prática o que fizemos:
1) Escrevemos os vetores T(v1) e T(v2) como combinação linear
do vetores de B
2) Tomamos os escalares de T(vi) na base B e os colocamos como
a coluna i da matriz
[T(v)]B
[T(v1)]B [T(v2)]B
[v]A
Matriz de T em relação as bases A e B
Matriz de uma transformação
linear
Exemplo: Dada a transformação linear T: IR2→IR3 dada por
T(x,y)=(x+y,x-y,y),
E considere as bases A={(1,1),(-1,0)} e B={(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}
para o IR2 e IR3 respectivamente. Determine:
a) T BA
b) Sendo v=(5,1) (coordenadas em relação à base canônica do IR2),
calcular [T(v)]B utilizando a matriz encontrada em a)
Matriz de Mudança de Base
Se considerarmos I: V→V a transformação linear identidade,
I(v)=v.
Ao escrevermos a matriz desta transformação em relação às bases A e
B (A uma base de V e B outra base de V). Obteremos
[I(v)]B= I BA[v]A
Ou ainda:
[v]B = I BA [v]A
Matriz de mudança de base de A para
base B
Autovetores e Autovalores
Seja T:V→V um operador linear. Um vetor v ϵ V, v≠0, é autovetor
do operador T se existe λ ϵ IR tal que
T(v)= λv.
(6)
Seja M a matriz desta transformação em relação à base canônica então (6)
pode ser rescrito como
Mv=λv
λv-Mv=0
ou ainda
λIv-Mv=0
(λI-M)v=0.
(7)


Determinar se operador T possui um autovetor v≠0 equivale a determinar
para quais valores de λ o sistema homogêneo (7) tem solução não trivial,
tal valor de λ é chamado autovalor de M.
Se λ é um autovalor de M então cada solução não trivial de (7) será o
autovetor de M associado ao autovalor λ, ou seja será autovetor do
operador T.
Autovetores e Autovalores
De acordo com o que já estudamos
M é invertível ↔ Mv=0 tem somente solução trivial
logo
(λI-M)v=0 tem solução não trivial ↔ (λI-M) não é invertível,
ou seja,
det(λI-M)=0
Exemplo:
(b) Seja M=[T], encontre os autovalores de M e dê exemplo de autovetores
associados a cada autovalor
Autovetores e Autovalores
Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são
equivalentes:
a)
A é invertível.
b)
Ax=0 só tem a solução trivial.
c)
A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.
d)
A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
e)
Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.
f)
Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1.
g)
det(A)≠0.
h)
A tem posto n.
i)
As linhas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.
j)
As colunas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.
k)
Zero não é um autovalor de A.
Diagonalização de operadores
Seja T: V→ V um operador linear. Dizemos que T é um operador
diagonalizável se existe uma base β de V cujos elementos são
autovetores de T.
A matriz que representa T na base β é uma matriz diagonal cujos
elementos são os autovalores de T, ou seja:
1  0 
[T ]   0  0 
 0  n 
Diagonalização de operadores
Seja M=[T] a matriz canônica do operador T e D a matriz de T na
base β de autovetores, dizemos que T é diagonalizável se existe uma
matriz P tal que
D = P–1MP.
Onde P é a matriz cujas colunas são os autovetores de T e D=[T]β .
Assim, a matriz D é obtida pela matriz P, quando ela existe, sobre a
matriz M. Dizemos então que a matriz P diagonaliza M ou que P é
a matriz diagonalizadora (P a matriz de mudança da
base canônica para base de β).

Quando sabemos que é possível encontrar a matriz P e obter D?
Diagonalização de operadores
Teorema: Se M=[T] possui todas as raízes de seu polinômio
característico reais e distintas então M é diagonalizável.
Obs:
raízes do polinômio característico reais e distintas
autovetores associados a autovalores distintos são L.I
existe uma base de autovetores para V
Temos o seguinte resultado para matrizes simétricas:
Teorema: Se M é uma matriz simétrica de ordem n então existe uma
matriz ortogonal P tal que P–1MP=D, D uma matriz diagonal. Os
autovalores de M são elementos da diagonal D.
(Lembrete: Matriz ortogonal P-1=PT).
Diagonalização de operadores
Exemplo: