Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores
Maria Luísa B. de Oliveira
SME0300 – Cálculo Numérico
24 de novembro de 2010
Introdução
Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os
vetores v que sejam paralelos a Av.
Introdução
Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os
vetores v que sejam paralelos a Av.
Sendo A uma matriz de ordem n × n, definimos um
autovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe um
vetor v (n × 1) não-nulo tal que
Av = λv.
Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado
um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.
Introdução
Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os
vetores v que sejam paralelos a Av.
Sendo A uma matriz de ordem n × n, definimos um
autovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe um
vetor v (n × 1) não-nulo tal que
Av = λv.
Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado
um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.
Para determinar λ, como
Av = λv ⇔ (A − λIn ) v = 0,
então devemos resolver a equação
det (A − λIn ) = 0.
Para cada valor de λ devemos determinar (pelo menos)
um v correspondente.
Introdução
Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores de
3 4
A=
.
2 1
Solução: Vamos calcular primeiro det(A − λIn ) = 0.
(3 − λ)
4 = 0 ⇒ (3 − λ)(1 − λ) − 8 = 0
2
(1 − λ)
⇒ λ2 − 4λ − 5 = 0 ⇒ (λ − 5)(λ + 1) = 0.
Então λ é autovalor de A se e somente se λ = 5 ou
λ = −1.
Para calcular v = [v1 , v2 ]T correspondentes, resolver
(3 − λ)
4
v1
0
=
.
2
(1 − λ) v2
0
Introdução
¨
−2v1 + 4v2 = 0
−2 4
v1
0
λ=5:
=
⇒
2 −4 v2
0
2v1 − 4v2 = 0
2
⇒ v1 = 2v2 ⇒ v = v2
, ∀v2 ∈ R.
1
¨
4v1 + 4v2 = 0
4 4 v1
0
λ = −1 :
=
⇒
2 2 v2
0
2v1 + 2v2 = 0
−1
, ∀v2 ∈ R.
⇒ v1 = −v2 ⇒ v = v2
1
Métodos Numéricos – Introdução
Métodos numéricos para determinar os autovalores e
autovetores correspondentes de uma matriz A de
ordem n, sem calcular o determinante.
Três grupos:
i) métodos que determinam polinômio
característico;
ii) métodos que determinam alguns
autovalores:
iii) métodos que determinam todos os
autovalores:
Métodos Numéricos – Introdução
Métodos numéricos para determinar os autovalores e
autovetores correspondentes de uma matriz A de
ordem n, sem calcular o determinante.
Três grupos:
i) métodos que determinam polinômio
característico;
ii) métodos que determinam alguns
autovalores: método das potências e da
potência inversa;
iii) métodos que determinam todos os
autovalores: método de Jacobi.
Método das Potências
Objetivo: Determinar o autovalor de maior valor
absoluto λ1 de uma matriz A e seu autovetor v
correspondente.
Suponha que, para a matriz A de ordem n,
|λ1 | > |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn |,
isto é, λ1 é o autovalor de maior valor absoluto de A.
Também suponha que os autovetores são linearmente
independentes.
Se há uma sequência de vetores yk definida por
yk+1 = Ayk ,
k = 0, 1, . . .
com y0 arbitrário, então
λ1 = lim
k→∞
(yk+1 )r
(yk )r
e v = lim (yk ).
k→∞
Método das Potências
Para determinar λ1 , seguimos o seguinte algoritmo:
Dado um vetor y0 qualquer, não nulo, construímos
1
zk+1 ;
k = 0, 1, 2, . . . ,
zk+1 = Ayk ;
yk+1 =
αk+1
com αk = max1≤r≤n |(zk+1 )r |.
(k)
A cada k = 0, 1, . . . determinar o vetor λ1 =
Se, para qualquer componente r,
(k−1) (k)
λ1 − λ1
r
< ϵ,
(k) λ1 r
(k)
então λ1 = (λ1 )r e v = yk .
(zk+1 )r
.
(yk )r
Método das Potências
Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor
absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
3 4
A=
.
2 1
Tomemos y0 = [1, 1]T . Então
Método das Potências
Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor
absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
3 4
A=
.
2 1
Tomemos y0 = [1, 1]T . Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T ;
α1 = max (|7|, |3|) = 7.
”
—T
(0)
λ1 = (z1 )r / (y0 )r = [7, 3]T ; y1 = z1 / α1 = 1, 37 .
Método das Potências
Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor
absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
3 4
A=
.
2 1
Tomemos y0 = [1, 1]T . Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T ;
α1 = max (|7|, |3|) = 7.
”
—T
(0)
λ1 = (z1 )r / (y0 )r = [7, 3]T ; y1 = z1 / α1 = 1, 37 .
”
—
33 17 17 T
33
k = 1 : z2 = Ay1 = 33
,
;
α
=
max
7 , 7 = 7 .
2
7
7
—T
”
—T
”
(1)
λ1 = (z2 )r / (y1 )r = 33
, 17
; y2 = z2 / α2 = 1, 17
.
7
3
33
Método das Potências
Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor
absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
3 4
A=
.
2 1
Tomemos y0 = [1, 1]T . Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T ;
α1 = max (|7|, |3|) = 7.
”
—T
(0)
λ1 = (z1 )r / (y0 )r = [7, 3]T ; y1 = z1 / α1 = 1, 37 .
”
—
33 17 17 T
33
k = 1 : z2 = Ay1 = 33
,
;
α
=
max
7 , 7 = 7 .
2
7
7
—T
”
—T
”
(1)
λ1 = (z2 )r / (y1 )r = 33
, 17
; y2 = z2 / α2 = 1, 17
.
7
3
33
(0) (1)
λ1 − λ1 0,485
r
≈
; ...
(1) 0,471
λ1 r
Método da Potência
Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo
autovetor v) de A?
Método da Potência Inversa
Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo
autovetor v) de A?
Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivo
autovetor).
Método da Potência Inversa
Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo
autovetor v) de A?
Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivo
autovetor).
Dado y0 , resolver
Azk+1 = yk
para zk+1 e
yk+1 =
para determinar
1
λn
1
αk+1
h
= limk→∞
zk+1
(zk+1 )r
(yk )r
i
e v = limk→∞ (yk ).
Método de Jacobi
Objetivo: Determinar todos os autovalores e
autovetores de uma matriz simétrica A.
Seja

upp = uqq = cos φ


upq = −uqp = sen φ
Uk =


uii = 1,
uij = 0,
i 6= p, i 6= q
no resto
,
i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n
uma matriz de rotação de um ângulo φ no plano dos
eixos p e q, tal que Uk−1 = UTk .
Método de Jacobi
Se D = diag(λ1 , . . . , λn ) = V−1 AV e λ1 , . . . , λn são
autovalores de A, então as colunas de V são
autovetores vi de A correspondentes aos autovalores
λi .
O Método de Jacobi utiliza as matrizes Uk para, a cada
passo k, zerar um par de elementos fora da diagonal da
matriz A, com Ak+1 = UTk Ak Uk , A1 = A e assim obter
uma matriz equivalente diagonal.
Então,

λ1


λ2


 ≈ Am+1 = UT · · · UT AU1 · · · Um .
D=
.


m
1
..


λn
Método de Jacobi
Algoritmo:
Para cada k, até que Ak+1 seja diagonal:
1) Determinar o elemento de maior módulo de
Ak fora da diagonal. Esse elemento tem
coordenadas linha p e coluna q.
2) Calcular:
a
−a
i) ϕ = qq2a pp ;
( pq 1
ii) t =
ϕ+sinal(ϕ)
p
,
ϕ2 +1
ϕ 6= 0;
;
ϕ=0
1,
iii) cos φ = p 1
;
iv) sen φ = p
;
1+t 2
t
1+t 2
3) Calcular Ak+1 = UTk Ak Uk , com A1 = A e Uk
sendo a matriz de rotação de ângulo φ no
plano p, q.
Método de Jacobi
Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores de
4 2
A=
.
2 1
Seja A1 = A.
Como a12 = 2 é o elemento de maior módulo de A1 ,
= − 34 ;
então p = 1 e q = 2. Assim: ϕ = a222a−a11 = 1−4
4
t=
1
Æ
− 34 − 25
16
=
1
−2
= − 12 ; cos φ =
12
1
Æ
1+ 14
=
2
p ;
5
senφ = − p1 .
5
Então,
− p1
U1 =
2
p
 15
p
5
A2 =
UT1 A1 U1

⇒ λ1 = 5, v1 =
h

5 ;
2
p
5
2
1
p ,p
5
5
2
p
 51
−p
5

UT1 =
1
p
5 ;
2
p
5

5 0
=
(diagonal).
0 0
iT
h
iT
; λ2 = 0, v2 = − p1 , p2
5
5