Aula 13 - Moodle UFSC

ÁLGEBRA LINEAR
Valores Próprios (Autovalores) e
Vetores Próprios (Autovetores)
Prof. Susie C. Keller
Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores de um Operador Linear
Seja T:V→V um operador linear. Um vetor v  V, v ≠ 0,
é vetor próprio (autovetor) do operador T se existe   IR tal
que:
T(v) = v
O número real  é denominado valor próprio (autovalor)
de T associado ao vetor próprio v.
Autovalores e Autovetores

Observações:



v e T(v) tem a mesma direção;
dependendo do valor de , o operador T dilata v, contrai v,
inverte o sentido ou o anula ( = 0);
na Fig. (1) T dilata v, na Fig. (2), v não é autovetor de T.
Figura 1
Figura 2
Autovalores e Autovetores

Exemplo:
Autovalores e Autovetores

Determinação dos autovalores e dos autovetores:
1) Autovalores:
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores

A equação det(A - I) = 0 é denominada equação
característica do operador T ou da matriz A, e suas raízes são
os valores próprios do operador T ou da matriz A.
2) Autovetores:
A substituição de  pelos seus autovalores no sistema
homogêneo das equações lineares permite determinar os
autovetores.
Autovalores e Autovetores

Exemplo:
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores

O sistema homogêneo de eq. lineares que permite a
determinação dos autovetores é:
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores

Propriedades dos Autovalores e Autovetores:
Se v é um autovetor associado ao autovalor  de um
operador linear T, o vetor v, para qualquer real  ≠ 0, é
também autovetor de T associado ao mesmo .
I.
De fato:
T(v) = v
e
T(v) = T(v) = (v)
ou
T(v) =  (v)
o que prova que v é o autovetor associado ao autovalor .
Autovalores e Autovetores

Observação:
 Como v é o autovetor associado ao autovalor , fazendo
1

v
obtém-se um vetor próprio unitário.
II. Se  é um autovalor de um operador linear T:VV, o conjunto
S de todos os vetores v  V, inclusive o vetor nulo, associados
ao autovalor , é um subespaço vetorial de V.
De fato, se v1, v2  S:
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2= (v1 + v2)
e portanto v1 + v2  S.
Autovalores e Autovetores
Analogamente, se verifica que v  S para todo   IR.
O subespaço
S = {v  V/ T(v) = v}
é denominado subespaço associado ao autovalor  ou espaço
característico de T correspondente a  ou auto-espaço associado a .
Por exemplo, como foi visto ao autovalor  = 6 correspondem os
autovetores do tipo v = x(5,2). Assim, o auto-espaço associado a 6 é:
S6 = {x(5,2)/xR} = [(5,2)]
que representa uma reta que passa pela origem.
Autovalores e Autovetores
III. Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico e,
por isso, os mesmos autovalores.
De fato:
Sejam T:V→V um operador linear e A e B bases de V. Sabe-se
que a relação entre matrizes semelhantes é:
Então:
Autovalores e Autovetores
Diagonalização de Operadores
 Diagonalização de Operadores



Dado um operador linear T:V→V, a cada base B de V
corresponde uma matriz [T]B que representa T na base B.
Nosso objetivo é obter uma base do espaço de modo que a
matriz de T nessa base seja a mais simples representante de T.
Essa matriz é uma matriz diagonal.
Propriedade:
“Autovetores associados a autovalores distintos de um operador
linear T:V→V são linearmente independentes”
Diagonalização de Operadores
Corolário:
Sempre que tivermos um operador T:IR2→IR2 com 1 ≠ 2, o
conjunto {v1, v2}, formado pelos autovetores associados, será uma
base do IR2. Esse conceito pode ser estendido para qualquer espaço
vetorial, isto é:
“Se T:V→V é linear, dim V = n e T possui n autovalores
distintos, o conjunto {v1, v2, ..., vn} formado pelos correspondentes
autovetores, é uma base de V.”
Diagonalização de Operadores
Exemplo:
Diagonalização de Operadores
Diagonalização de Operadores
Assim o conjunto {(1, -1), (-1,0)} é uma base do IR2.
Diagonalização de Operadores

Propriedade:
Diagonalização de Operadores
Diagonalização de Operadores

Exemplo:
Diagonalização de Operadores
Diagonalização de Operadores
Diagonalização de Matrizes
Simétricas
Propriedades:
I.
A equação característica de uma matriz simétrica tem apenas
raízes reais.
II. Se T:V→V é um operador linear simétrico com autovalores
distintos, então os autovetores são ortogonais.
III. De forma geral uma matriz A é diagonalizada pela matriz P dos
autovetores a partir da relação:
D = P-1AP
Se A for simétrica, P será uma base ortogonal. Caso P seja
composta de vetores ortonormais, pode-se usar a relação P-1 = Pt e
dessa forma:
D = PtAP
Diagonalização de Matrizes
Simétricas
Exemplo:
1) Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A:
 7 2 0 
A   2 6  2
 0  2 5 
Inicialmente efetua-se o cálculo dos autovalores e autovetores associados
a matriz, os quais são:
1 = 3 com v1 = (x, 2x, 2x)
2 = 6 com v2 = (x, x/2, -x)
3 = 9 com v3 = (x, -x, x/2)
Diagonalização de Matrizes
Simétricas
Fazendo x = 1 nos autovetores e normalizando-os temos:
v1 = (1, 2, 2)
v2 = (1, 1/2, -1)
v3 = (1, -1, 1/2)
Logo
=>
=>
=>
1
3
2
P
3
2
 3
u1 = (1/3, 2/3, 2/3)
u2 = (2/3, 1/3, -2/3)
u3 = (2/3, -2/3, 1/3)
2
3
1
3
2

3
2 
3 
2
 
3
1 
3 
Diagonalização de Matrizes
Simétricas
E, como D = PtAP
1
3
2
D
3
2
 3
2
3
1
3
2

3
2 
1
3   7  2 0  3
2
2 

    2 6  2  
3
3


0

2
5
1  
 2
 3
3 
3 0 0 
D  0 6 0
0 0 9
2
3
1
3
2

3
2 
3 
2
 
3
1 
3 