Aula 19

Autovalores e Autovetores
Juliana Pimentel
[email protected]
http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel
Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2
Matrizes Semelhantes
Daqui pra frente as matrizes serão sempre
quadradas e as transformações serão operadores
lineares.
Matrizes Semelhantes
Daqui pra frente as matrizes serão sempre
quadradas e as transformações serão operadores
lineares.
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma
ordem n. Dizemos que A é semelhante a B se
existe uma matriz inversı́vel P tal que:
B = P −1 AP
Matrizes Semelhantes
Daqui pra frente as matrizes serão sempre
quadradas e as transformações serão operadores
lineares.
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma
ordem n. Dizemos que A é semelhante a B se
existe uma matriz inversı́vel P tal que:
B = P −1 AP
É fácil ver que se A é semelhante a B então B é
semelhante a A.
Exemplos
A=
−1 0
0 1
B=
1 0
−2 −1
Propriedades
Sejam A e B = P −1 AP , para alguma matriz
invertı́vel P . Então:
I A e B têm o mesmo determinante;
I A é invertı́vel se, e somente se, B é invertı́vel;
I A e B têm o mesmo posto;
I A e B têm a mesma nulidade.
Importante
Toda transformação T corresponde uma matriz
A.
Importante
Toda transformação T corresponde uma matriz
A.
Vale a recı́proca:
Importante
Toda transformação T corresponde uma matriz
A.
Vale a recı́proca:
Dada uma matriz quadrada A , existe um
operador linear T onde [T ] = A.
Matrizes do mesmo operador linear T em bases
diferentes são semelhantes.
Exemplo
T : R2 → R 2
Exemplo
T : R2 → R 2
T (x, y) = (x + y, −2x + 4y)
Exemplo
T : R2 → R 2
T (x, y) = (x + y, −2x + 4y)
A matriz de T em relação à base canônica C é
dada por
Exemplo
T : R2 → R 2
T (x, y) = (x + y, −2x + 4y)
A matriz de T em relação à base canônica C é
dada por
1
1
[T ]CC = [T ]C =
−2 4
Considere a base B = {(1, 1), (1, 2)}. A matriz de
T (x, y) = (x + y, −2x + 4y) em relação à base B é
dada por
Considere a base B = {(1, 1), (1, 2)}. A matriz de
T (x, y) = (x + y, −2x + 4y) em relação à base B é
dada por
2
0
[T ]B
B = [T ]B =
0 3
As matrizes [T ]C e [T ]B são semelhantes
Considere a base B = {(1, 1), (1, 2)}. A matriz de
T (x, y) = (x + y, −2x + 4y) em relação à base B é
dada por
2
0
[T ]B
B = [T ]B =
0 3
As matrizes [T ]C e [T ]B são semelhantes
P
−1
2 −1
1 1
1 1
[T ]C P =
=
−1 1
−2 4
1 2
2 0
=
= [T ]B
0 3
Exercı́cio
T : R2 → R 2
Exercı́cio
T : R2 → R 2
T (x, y) = (x + y, −y)
Exercı́cio
T : R2 → R 2
T (x, y) = (x + y, −y)
E = {(1, −1), (1, 0)}
F = {(1, 2), (3, −1)}
Verifique que as matrizes de T em relacão à base
E e à base F são semelhantes.
A matriz invertı́vel P coincide, nesse caso, com a
matriz mudança de base de E para F .
Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz n × n.
Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz n × n. Um vetor não nulo
x ∈ Rn é chamado um autovetor de A se existe
um escalar λ tal que
Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz n × n. Um vetor não nulo
x ∈ Rn é chamado um autovetor de A se existe
um escalar λ tal que
Ax = λx
Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz n × n. Um vetor não nulo
x ∈ Rn é chamado um autovetor de A se existe
um escalar λ tal que
Ax = λx
Neste caso, λ é chamado autovalor de A, e
dizemos que x é um autovetor associado a λ.
Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz n × n. Um vetor não nulo
x ∈ Rn é chamado um autovetor de A se existe
um escalar λ tal que
Ax = λx
Neste caso, λ é chamado autovalor de A, e
dizemos que x é um autovetor associado a λ.
Matrizes semelhantes possuem os mesmos
autovalores.
Exemplo
O vetor x =
2
1
é um autovetor da matriz
Exemplo
O vetor x =
2
1
é um autovetor da matriz
A=
4 −2
1 1
correspondente ao autovalor λ = 3, pois
4 −2
2
6
2
Ax =
=
=3
1 1
1
3
1
Equação e Polinômio caracterı́sticos
Seja A uma matriz n × n. A equação
caracterı́stica de A é definida por
det(A − λIn ) = 0
Os escalares λ que satisfazem esta equação são os
autovalores de A.
Quando expandido, o determinante det(A − λIn )
é um polinômio p(λ), que é chamado polinômio
caracterı́stico de A.
Exemplo
Encontre os autovalores de


0 1 0
A =  0 0 1 .
4 −17 8
Exemplo
Encontre os autovalores de


0 1 0
A =  0 0 1 .
4 −17 8
O polinômio caracterı́stico de

λ

0
det(λI − A) = det
−4
A é

−1
0
λ
−1  =
17 λ − 8
= λ3 − 8λ2 + 17λ − 4
Os autovalores λ de A, portanto, satisfazem a
equação cúbica
λ3 − 8λ2 + 17λ − 4 = 0.
Reescrevendo o polinômio, obtemos
(λ − 4)(λ2 − 4λ + 1) = 0.
Assim, os autovalores de A são
√
√
λ = 4, λ = 2 + 3, λ − 3.
Exercı́cios
1) Encontre os autovalores e autovetores da
matriz
3 3
A=
2 −2
Exercı́cios
1) Encontre os autovalores e autovetores da
matriz
3 3
A=
2 −2
2) Idem para a matriz


2 −3 1
A =  1 −2 1 
1 −3 2