Exercícios de álgebra linear II

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ- UESC
Lista de exercı́cios - Álgebra Linear- 2005.2
P rof.a Cláudia Santana
1. Ache os autovalores e autovetores das matrizes em R:
1 2
(a) A =
0 −1
1 1
(b) A =
1 1


3 −3 −4
5 
(c) A =  0 3
0 0 −1


2 0 1 0
 0 2 0 1 

(d) A = 
 12 0 3 0 
0 −1 0 0
2. Calcule o polinômio

−5 4
 −2 3

A = 
 4 −3
 4 −2
1
0
e minimal da seguinte matriz:

−6 3
8
−2 1
2 

4 −1 −6 

4
0 −4 
−2 1
2
3. Calcule o polinômio mı́nimo das matrizes do exercı́cio 1.
4. Se A e B são matrizes de ordem n.
(a) Mostre que 0 é autovalor de A se e somente se A é singular.
(b) AB e BA têm os mesmos autovalores.
(c) Se A é não singular e λ um autovalor de A, mostre que λ−1 é um auto
valor de A−1 .
5. Mostre que as raı́zes de uma matriz idempotente são 0 ou 1, e que o posto de
A é o número de raı́zes caracterı́sticas iguais a 1.
1
6. Se A satisfaz a equação x2 − 5x − 2I = 0. Mostre que:
(a) A−1 =
(A−5I)
2
(b) A4 = 145A + 54A
(c) A5 = 779A + 290I
7. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares
sobre R:
(a) T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (2x, y)
(b) T : R3 −→ R3 tal que T (x, y, z) = (x + y, x − y + 2z, 2x + y − z)
(c) T : M2X2 −→ M2X2 tal que T (A) = At
8. Sejam A e B matrtizes semelhantes. Mostre que A e B têm o mesmo polinômio
caracterı́stico, logo os mesmos autovalores.
9. (a) Verifique que < u, v >= x1 y1 + 5x2 y2 + 2x3 y3 é um produto interno em R3 ,
onde u = (x1 , x2 , x3 ) e v = (y1 , y2 , y3 ).
(b) A partir da base { (0, 0, 1); (1, 0, 1); (0, 1, 1 )} obtenha uam base ortogonal
de R3 .
(c) Se W = [(1, −1, 2)] determine uma base de w ⊥ e interprete o resultado
geometricamente.
(d) Determine uma transformação linear T : R3 −→ R3 tal que Im(T ) = W e
núcleo (T ) = W ⊥ .
10. Seja T (x, y, z) = (2x + y, x + y + z, y) de R3 em R3 linear com o produto interno
canônico.
(a) Escreva T na forma matricial.
(b) Mostre que existe uma base ortonormal α tal que [T ]αα é diagonal. Deter0
mine a mudança de coordenadas x = P x que diagonaliza T .
11. Classifique e trace um esboço do gráfico da quádrica −5y 2 +2xy −8xz +2yz = 0.
12. Mostre que a matriz [aij ]4x4 tal que aij =
ortogonal.
2
−1
2
se i = j e aij =
1
2
se i 6= j é