Lista de exercícios – Trigonometria

Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
Fundamentos de Matemática III
Unidade de Aprendizagem: Medindo distâncias inatingíveis e descomplexificando o estudo de trigonometria, dos
números complexos e polinômios.
Quest(ix)
Números Complexos (ℂ)
Exercícios
Pense no problema a seguir e tente dar a sua solução
(resolva-o): “divida 10 em duas partes tais que o produto
de uma pela outra seja 40”...
Alguns estudiosos definiram formas de representar
esses tipos de soluções. Dentre as representações
propostas pelo matemático Euler, destacamos o i
1) Resolva as equações no universo dos números
complexos (dê a resposta em z):
substituindo
 1 (e  1 vem a ser a unidade
imaginária). Euler passou a estudar números da forma
z  a  bi
(forma algébrica de um número complexo)
onde a e b são números reais e i  1 . Esses números
são chamados de números complexos. Temos também
que:
 a é a parte real de z : Re(z) = a;
2

b
é a parte imaginária de
z : im(z) = b.
Conjugado de um número complexo ( z )
z  a  bi
Exemplo:
z  a  bi


z  4  5i
a)
b)
c)
x 2  6 x  10  0
x 2  100  0
x 2  8x  25  0
2) Para cada número complexo a seguir, qual o valor de
Re(z) e Im(z)?
a)
z  8  3i
c)
b)
z  9i  5
d)
z  4i
2
z   5i
3
3) Dê o conjugado dos números complexos abaixo:
a)
b)
z  3  4i
z  12  5i
c)
d)
z  4  5i
z  6  6i
2
z i
3
4) Efetue:
Operações com números complexos
Sejam
z1  a  bi
e
z2  c  di
a) (4 + 9i) + (3 – 5i)
b) (100 – 18i) – (66 – 7i)
c) (2 + i) + (3 – 4i) – (20 – 3i)
Adição
z1  z2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i
Multiplicação (procedemos como na multiplicação
d)
1  1 
  i     i   2  2i 
3  4 
5) Efetue:
algébrica)
z1  z2  (a  bi).(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i
a) (1 + 2i) (3 – 4i)
b) (5 – i) (5 – i)
c) (3 + i) (3 - i) (2 + 5i)
6) Efetue:
Divisão
z1 z1  z 2

z2 z2  z2
a)
3  7i
3  4i
b)
2i
1 i
c)
1
3 1
é chamado de Plano Complexo ou ainda Plano de ArgandGauss.
Exercícios diversos (vestibular)
Im (eixo imaginário)
1) O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
P (afixo de z)
a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
y
0
2) Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:
a) zero
c) – i
b) i
d) 1
3) Sendo i a unidade imaginária, (1 - i
a) 1
b) –i
c) 2i
e) -1
)-2
é igual a:
d) -i/2
e) i/2
O ponto P é a imagem do complexo z  x  yi .
Dizemos que o afixo do ponto P é o complexo por ele
representado. Nesse sentido, tomamos que o vetor OP é
o módulo de z.
OP  x 2  y 2    z
4) A potência (1 - i )16 equivale a:
a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256
E o ângulo formado pelo vetor OP com o eixo real é
x e
y
tal que cos 
ou cos 
sen 
z


x
5) (Cefet – 2006/2) Numa progressão geométrica, em que
o primeiro termo é 1 – i e a razão é i, o décimo termo será:
a) 2i
b) 1 + i
c) 1 – i
d) –1+ i
e) –1 – i
6) O número complexo
a) – i
b) – 1
c) + i
d) (24/25)i
e) (24/7)i
b) 2i
2  i 2
4  3i
c) 2

ou
y . O ângulo é chamado de argumento de z.

z
Isolando-se  no cosseno e no seno, temos que
x    cos e y    sen , e como z  x  yi , temos:
z    cos    sen  i , ou, fatorando:
sen 
z   cos  i  sen 
é igual a:
Essa é a forma trigonométrica ou polar de um número
complexo.
Vamos escrever o número
7) O número complexo
a) 1
Re (eixo real)
x
1  i 5
1  i 3
é igual a:
d) – 2
e) – 2i
z  4  4 3i na forma
trigonométrica.
Respostas
01. C
02. A
03. E
05. B
06. A
07. E
Calculamos o módulo e argumento de z.
 
2
  z  42  4 3  8
04. E
Representação geométrica de números
complexos e forma trigonométrica
Faz-se, para cada
número complexo,
uma
correspondência a um par ordenado em um plano
cartesiano, sendo que Re(z) = x (eixo real) e Im(z) = y (eixo
imaginário). O plano que representa um número complexo

4 3
3
 sen  
sen 
8
2

4
1
cos   cos 

8
2
 60º
Ficamos com a forma trigonométrica de z como:
z  8cos60ºi  sen60º 