Aula4 - José Fajardo

Capital Asset Pricing Model
CAPM
Prf. José Fajardo
EBAPE-FGV
Referências
• Sharpe, W. F. 1964. Capital Asset Prices: A
Theory of Market Equilibrium Under
Conditions of Risk. Journal of Finance
19:425–42.
• Lintner, J. 1965. Security Prices, Risk, and
the Maximal Gains from Diversification.
Journal of Finance 20:587–615.
Outras Referências
• Mossin, Jan. (1966). Equilibrium in a
Capital Asset Market, Econometrica, Vol.
34, No. 4, pp. 768-783.
• Treynor, Jack L. (1961). Toward a Theory
of Market Value of Risky Assets.
Unpublished manuscript
http://ssrn.com/abstract=628187
1
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
• Até aqui modelos de escolha individual
• Modelo de equilíbrio
• Derivada usando o princípio da diversificação
com hipóteses simples
Hipóteses
• Investidores individuais tomadores de preços
• Horizonte de investimento de 1período
• Investimentos são limitados aos ativos
financeiros
• Sem impostos ou custos de transação
(sem frições)
Hipóteses (cont.)
• Informação é gratuita e disponível a todos
os investidores
• Investidores são racionais e otimizadores de
média e variância
• Expectativas homogêneas
2
Implicações
O CAPM assume uma especificação particular da utilidade: a utilidade da
distribuição da riqueza depende apenas dos dois primeiros momentos da
distribuição de probabilidade (média e variância).
·
Retorno Esperado
Curvas de Indiferença
Util. Crescente
Variância
Implicações
A hipótese a respeito da utilidade garante que, independentemente do nível de
investimento,
• investidor desejará a menor variância possível para cada nível de retorno esperado.
• embora o retorno da carteira escolhida dependa da utilidade do investidor, ela será
aquela carteira que minimiza a variância para um dado nível de retorno.
O problema de todos os investidores pode ser colocado como:
A A
min ∑ ∑ w a w b σ ab
w 1 ,..., w A a = 0 b = 0
s.a.:
A
∑ waRa = R
e
a =0
A
∑wa = 1
a=0
Resultados
Se o portifólio de mercado é eficiente, o retorno de qualquer
ativo a pode ser escrito como:
Ra = R0 +
σ am
(R − R0 ) ∀ a,
σ mm m
que é o principal resultado do CAPM.
3
Resultados
Resumindo:
• prêmio de risco é proporcional a covariância do ativo com o portifólio de mercado.
• não é o risco idiosincrático do ativo que importa, mas como o seu retorno contribui
para o risco total do portifólio dos agentes.
σ am
é o coeficiente angular da regressão de Ra em Rm, escreve-se a equação
σ mm
acima como:
Como
R a = R 0 + β a (R m − R 0 )
onde: β a =
σ am
σ mm
ou seja, para determinar o retorno esperado do ativo, basta saber o β do ativo.
Condições de Equilíbrio Resultantes
• Todos investidores carregarão a mesma carteira de
ativos arriscados – a carteira de mercado
• A carteira de mercado contém todos os ativos, e a
proporção de cada ativo é o seu valor de mercado
como percentagem do valor total do mercado
Condições de Equilíbrio Resultantes
• O prêmio de risco de um ativo individual é uma função
de sua covariância com o mercado
Ra − R0 =
(R
m
− R0 )
σ mm
σ am
• O prêmio de risco do ativo individual é função da
covariância do retorno com os ativos que compõe a
carteira de mercado
(~
~
)
~
A
~ 
A
σ am = cov Ra , Rm = cov Ra , ∑ wbm Rb  = ∑ wbmσ ab

b =0

b=0
4
O Beta do Mercado
A
Como para qualquer carteira c: β c =
∑w β
c
a
a
, para a
a =1
carteira de mercado m:
A
β m = ∑ wam β a .
a =1
Mas:
βm =
σ mm
=1 ⇒
σ mm
A
∑w
m
a
βa = 1
a =1
Risco sistemático e idiosincrático
Do CAPM resulta que para todo ativo a:
r~a − r0 = β a (~
rm − r0 ) + ε~a
ou:
com
cov (ε~a , ~
rm ) = 0
σ a2 = β a2σ m2 + var (ε~a ).
onde: β a σ m é o risco sistemático e var (ε~a ) é o risco nãosistemático (ou idiosincrático, ou específico).
2
2
• Todo risco específico pode ser reduzido pela diversificação.
Relações na SML
βi = [COV(ri,rm)] / σm2
Inclinação da SML = E(rm) - rf
= prêmio de risco do mercado
SML = rf + β[E(rm) - rf]
Betam = [Cov (rm,rm)] / σm2
= σm2 / σm2 = 1
5
Linha do Mercado de Ativos
(Security Market Line – SML)
E(r)
SML
E(rM)
rf
ß
M
ß
= 1.0
Cálculos para a SML
E(rm) - rf = .08 rf = .03
βx = 1.25
E(rx) = .03 + 1.25(.08) = .13 or 13%
βy = .6
E(ry) = .03 + .6(.08) = .078 or 7.8%
Gráfico dos Cálculos
E(r)
SML
Rx=13%
.08
Rm=11%
Ry=7.8%
3%
.6
ß
y
1.0
ß
m
1.25
ß
ß
x
6
Exemplo de Desequilíbrio
• Suponha que um ativo com β de 1.25 está
oferecendo um retorno esperado de 15%
• De acordo com a SML, deveria ser de 13%
• Sub-avaliado: oferecendo uma taxa de retorno
muito alta para o seu nível de risco
Exemplo de Desequilíbrio
E(r)
SML
15%
Rm=11%
rf=3%
1.0
1.25
ß
Excel(SML)
• Com frequencia mensal e diária.
• http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_
Page/datafile/Betas.html
7
Testando o CAPM
Regressão Linear
Apêndice de regressão linear simples
Seja o processo y definido por:
y t = α + βx t + ε t
∀ t = 1,2,..., T ,
onde: x t é uma variável observável; α e β são não-observáveis; eε t é o
[ ]
componente aleatório, com E[ε t ] = 0 e E ε 2t = σ 2
Regressão Linear
y4
y
y1
y2
x1
x2
y3
x3
x4
x
Como α, β e o εt são não-observáveis, só vemos os pontos yt e xt.
8
Regressão Linear
y4
y
E[y] = α + β x
E[y4]
y1
ε1
E[y1]
α
α + βx1
x1
y3
y2
x3
x2
x
x4
Cada realização de y tem um componente não-aleatório, α + β x, e
um componente aleatório, ε. A primeira observação está
decomposta nos dois componentes.
Regressão Linear
y4
y
^ = a + bx
y
y1
y3
y2
a
x1
x3
x2
x
x4
Podemos utilizar os pontos y para traçar uma linha que seja uma
aproximação de y = α + β x.
Se escrevermos y = a + bx, a é uma estimativa de α, e b é uma
estimativa de β.
Regressão Linear
y
y (valor realizado)
ŷ (valor ajustado)
^
y - y = e (resíduo)
e1 y1
ŷ1
a
x1
y4
^ = a + bx
y
e4
ŷ 4
e3
e2
y2
x2
y3
x3
x4
x
A diferença entre o valor realizado e o ajustado é o resíduo.
Que critério utilizar para traçar a reta y = a + bx ?
9
Regressão Linear
Critério do Mínimos Quadrados:
Escolha a e b de forma a minimizar a soma dos quadrados dos
resíduos:
(
)
T
T
2
min e12 + ... + eT2 = min ∑ e 2t = min ∑ ( y t − a − bx t )
a ,b
a , b t =1
a , b t =1
Que após derivar e igualar a zero, em relação a a e b resulta em:
T
b=
∑ (y t − y )(x t − x )
t =1
T
2
∑ (x t − x )
=
cov( y, x )
var(x )
e
t =1
a = y − b ⋅ x.
Regressão Linear
Observe que b tem a mesma fórmula do β do ativo, derivado do
CAPM.
Portanto, podemos entender o retorno de qualquer ativo como sendo
dado por:
(R at − R 0 ) = α − β(R Mt − R 0 ) + ε t
onde o CAPM implica α = 0.
Para obter o β do ativo, basta fazer uma regressão linear simples
de (Ra - R0) em (RM - R0) mais uma constante. Ou seja:
T
2
min ∑ [(R at − R 0 ) − a − b(R Mt − R 0 )]
a , b t =1
O coeficiente b assim obtido é a estimativa do β do ativo.
Linha de Mercado de Ativos
E[R]
Security Market Line
SML
E[Rm]
R0
1.0
(E[Ra]
β
- R0) = R0 + βa (E[Rm] - R0)
10
Modelo de 1 fator
ri = E(Ri) + ßiF + e
ßi = índice de sensibilidade do ativo ao fator
F= algum fator macro; neste caso F é o movimento não
antecipado comum ao retorno dos ativos
Hipótese: um índice abrangente do mercado como
IBOVESPA é o fator comum
Relação entre o Modelo de
1 Fator e o CAPM
•
Modelo de 1 Fator:
•
Onde
é o retorno do ativo i na data t e
É o retorno do índice de mercado. Agora
para transformar este modelo de 1 fator
numa regressão CAPM faremos:
1. Seja
a verdadeira carteira de mercado
2. Seja rf a taxa livre de risco,logo:
Relação entre o Modelo de
1 Fator e o CAPM
3. Somar e subtrair βirf
Onde
4. A SML do CAPM:
Implica que para todo ativo i:
11
Testes da Regressão do CAPM
• Para cada ativo i, use a regressão linear;
• Faça o seguinte teste de hipótese para cada ativo:
(CAPM vale)
(CAPM Não vale)
• Que acontece quando rejeitamos o Ho?
α i * > 0 ⇒ C o m p re a tiv o h o je
α i * < 0 ⇒ V e n d a a tiv o h o je
Como fazer o teste ?
• Para fazer o teste:
• Trata-se de um teste bicaudal, isto é para rejeitar Ho, o
valor estimado de α* tem que ser muito maior que 0 ou
muito menor que 0. Para determinar isto usamos a
estatísitca t:
• Onde
é o estimador de mínimos quadrados de
E
é o erro padrão estimado. Para saber quão grande
tem que ser
para que rejeitemos Ho, usamos o fato :
Com T-2 graus de liberdade
Como fazer o teste ?
• Se escolhemos o nível de significância
(probabilidade de rejeitar Ho dado que seja
verdadeira) do nosso teste a um nível de
5%, Então a regra de descisão será:
• Rejeito
ao 5% de confiança se
12
Exemplo
• Imagine que tivesse mos o seguinte resultado
usando uma amostra de 60 meses:
• Façamos o teste:
• A um nível de 5% temos
podemos rejeitar Ho:
, daqui não
Crítica de Roll
• Os testes realizados com qualquer carteira que
não seja a do mercado não são realmente testes
do CAPM, eles simplesmente testam a eficiência
do índice escolhido como carteira do mercado.
• A escolha entre versões do CAPM é
extremamente sensível á escolha do índice.
• O CAPM só poderá ser testado caso se conheça
a composição exata da carteira de mercado
Arbitrage Pricing Theory
(APT)
José Fajardo
EBAPE-FGV
13
Arbitrage Pricing Theory
• Ross, Stephen A. (1976). The Arbitrage
Pricing Theory of Capital Asset pricing,
Journal of Economic Theory 13, 341-360.
• Mas de 3000 citações em
scholar.google.com
APT
O APT começa supondo o processo gerador dos retornos, com fatores comuns. Por
exemplo:
~
~
~
R a = b 0a + b1a f1 + b 2a f 2 + ~εa ∀ a ;
~ ~
onde: f 1 e f 2 são os fatores comuns aos ativos,
b1a e b2a as sensibilidades do ativo a aos fatores 1 e 2, e
~
εa é um componente idiossincrático do ativo a.
~
~
~ ~
~
~
Por construção E f1 = E f 2 = E[~εa ] = 0 e E f1 ⋅ f 2 = E f1 ⋅ ~εa = E f 2 ⋅ ~εa = 0 .
[] [ ]
[
] [
] [
]
Estudemos o caso de um fator, sem risco idiossincrático:
~
~
R a = b 0a + b1a f1
~
~
E f1 = 0 implica b oa = E R a = R a .
[ ]
[ ]
APT
Risco Idiossincrático:
É possível efetuar a construção acima se além dos riscos
gerais, os ativos apresentarem riscos específicos ( ~
εa ≠ 0 )?
~
~
Ra = b0a + b1a f1 + ε~a
Resp.: Aplica-se a Lei dos Grandes Números a carteiras
altamente diversificadas.
14
APT
~
~
Ra = b0a + b1a f1 + ε~a
Medindo os Componentes do Risco:
σi2 = b1i2 σ12 + σ2(ei)
onde:
σi2 = variância total
b1i2 σ12 = variância sistemática
σ2(ei) = variância não-sistemática
O APT e a Lei dos Grandes Números
Para uma carteira P:
~
R P = b 0 P + b1 P ⋅ f 1 + e P
N
b1 P = 1
b0 P = 1
eP = 1
σ
2
P
N
∑
N
∑
b1i
i=1
N
b0i
i =1
N
N
∑
ei
i =1
= b 12P σ
2
1
+σ
2
?
(eP )
O APT e a Lei dos Grandes Números
Redução do Risco com a Diversificação
Dv.Padrão
Risco específico:
1
i =1  n 
n
2
1
n
2
σ 2 (e p ) = ∑   σ 2 (ei ) = σ (e )
b1P2σ12
Risco Sistemático
Número de
Ativos
15
Examinando a Participação da Variância
Risco Total = Risco Sistemático + Risco Nãosistemático
(Risco sistemático/Risco Total) =
= b1i2 σ 12 / σi2
= b1i2 σ 12 / (b1i2 σ 12 + σ2(ei))
Previsão Prática do Beta
• Exemplo da Merrill Lynch
– Usa retornos e não o prêmio de risco
α tem uma interpretação diferente
α = α + rf (1-β)
• Prever o beta com uma função do beta passado:
βt = a + b βt-1
• Prever o beta como uma função do tamanho,
crescimento, alavancagem, etc.:
βt = a + b1βt-1 + b2tamanhot-1 + b3alavancagemt-1
Modelo Multifatores
Categorias de fatores:
– Externos: produção industrial, inflação esperada, etc.
– Extraídos: de informações conhecidas sobre os retornos dos
ativos.
– Específicos: valores específicos das firmas como razões
dividendo/preço, preço/receita, valor contábil/valor de
mercado (book-to-market).
16
Modelo Multifatores
• Use fatores em adição ao retorno do mercado
– Exemplos incluem produção industrial, inflação
esperada, etc.
– Estime um beta para cada fator utilizando regressão
múltipla
• Fama & French (J. Finance 1993,427-466)
– Retornos como função do tamanho (capitalização de
mercado) e book-to-market além do retorno de
mercado
ri - rf = ßim(rm - rf) + ßis(rs - rb) + ßil(rh - rl)
Modelo Multifatores
Company Size vs. Average Return
Average Return (%)
25
20
15
10
5
Company size
0
Smallest
Largest
Modelo Multifatores
BookBook-Market vs. Average Return
Average Return (%)
25
20
15
10
5
Book-Market Ratio
0
Highest
Lowest
17
Fama e French 1993
• As três variáveis explicativas do modelo são
mercado, tamanho (PMG) e valor (valor
contábil / preço – VMC).
• As carteiras PMG (“pequeno menos grande”)
e VMC (“alto valor contábil / preço menos
baixo valor contábil / preço”).
Fama e French 1993
• As ações analisadas neste estudo podem ser
classificadas segundo a categorização proposta
por Fama e French. As ações de menor valor
contábil / preço podem ser consideradas como
ações do tipo crescimento.
• No extremo oposto, ações de maior valor
contábil / preço podem ser chamadas de ações
do tipo valor.
Fama e French 1993
• As carteiras compostas de ações de valor /
pequeno (VP) é usualmente considerada de
alto risco, enquanto a de crescimento / grande
(CG) é usualmente consideradas de baixo
risco.
• As carteiras compostas de ações de valor /
grande (VG) e crescimento / pequeno (CP) são
usualmente consideradas de risco
intermediário.
18
Fama e French 1993
•http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html
Fajardo e Fialho (2010):
“OS TRÊS FATORES DE FAMA E FRENCH, CICLO DE NEGÓCIOS E
INFLAÇÃO NO BRASIL”
Modelo Multifatores
•
Um modelo de fatores (ou o APT) só funciona bem
se:
(a) identificarmos um número relativamente pequeno de
fatores macroeconômicos;
(b) medirmos o prêmio de risco esperado de cada fator;
(c) medirmos a sensibilidade das ações individuais a cada
fator.
•
Apesar de ser “mais arte que ciência”, alguns critérios
estatísticos podem ajudar na seleção. Por exemplo,
componentes principais.
19
No Brasil
Fajardo e Eboli (2010): “Selecionar fundos por alpha agrega
valor? Um estudo para a indústria de fundos hedge
brasileira”.
Índice Ibovespa, Diferença de retornos entre S&P 500 – Índice Ibovespa, Taxa
Swap Pré x DI 180 dias (Referencial BM&F), Taxa Swap Pré x DI 360 dias
(Referencial BM&F), Taxa Swap de 2 anos (Pré x DI), Taxa Swap de 5
anos (Pré x DI), IRF-M[1], IMA-B[2], Taxa de Câmbio real/dólar PTAX,
Goldman Sachs Commodity Index (Índice de commodities elaborado pelo
Banco Goldman Sachs), Índice VIX (Índice de volatilidade da bolsa
americana), Taxa Treasury 10 anos (Título de renda-fixa do Governo
Americano), Taxa Treasury 2 anos (Título de renda-fixa do Governo
Americano), ZAR (moeda da África do Sul), Ouro (Futuro genérico no
bloomberg), Petróleo (Futuro genérico no bloomberg), Fatores de risco ao
quadrado (para capturar market timing).
No Brasil
[1] O IRF-M representa a valorização dos títulos públicos federais
pré-fixados, ou seja, as Letras do Tesouro Nacional (LTNs) – sem
cupons – e as Notas do Tesouro Nacional série F (NTNs-F) – com
cupons. Para maiores detalhes consultar o endereço
http://www.andima.com.br/ima/arqs/ima_cartilha.pdf.
[2] O IMA-B é associado aos títulos públicos federais atrelados ao
Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA). Tais títulos são as
Notas do Tesouro Nacional série B (NTNs-B). O IPCA é o índice
que mede oficialmente a inflação no Brasil. Além do IPCA, as
NTNs-B são remuneradas a uma taxa de juros pré-fixada. Para
maiores detalhes consultar o endereço
http://www.andima.com.br/ima/arqs/ima_cartilha.pdf.
20