matemática

MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Números
Complexos:
Operações Algébricas
Operações Algébricas
Adição e subtração
A necessidade da introdução de um número i
cujo quadrado fosse igual a –1 foi sentida pelos matemáticos do século XVI (Cardano e Bombeli), a fim
de que tivessem soluções as equações do 3.º grau. A
partir dessa época começaram a ser feitos cálculos
com as expressões do tipo a + bi (a e b reais) embora
sem uma justificativa satisfatória. Somente a partir
do século XIX, graças a Cauchy e Gauss, esses números foram tratados de maneira correta.
Conceito
``
Exemplo:
z = 2 +4i, w = 3 – 2i
z + w = (2 + 3) + (4 + (–2))i = 5 + 2i
z – w = (2 – 3) + (4 – (–2))i = –1 + 6i
Multiplicação
C = {a + bi | a, b ∈ R ∧ i = –1 }
Igualdade
Sejam z e w números complexos, tais que z =
a+bi e w = c+di
z=w⇔a=c∧b=d
Conjugado
Seja z um número complexo, tal que z = a + bi
z = a + bi ⇔ z = a – bi
Sejam z e w números complexos tais que z = a
+ bi e w = c + di.
z . w = (ac – bd) + (bc+ad)i
``
Exemplo:
z = 2 + 4i, w = 3 – 2i → z . w = (2.3–4.(–2)) + (4.3 +
2.(-2))i = 14 + 8i
Divisão
Sejam z e w números complexos, tais que z = a +
bi e w = c + di
z ÷ w = ac + bd + bc - ad i
c2+d2c2+d2
Módulo
EM_V_MAT_018
Sejam z e w números complexos, tais que
z = a + bi e w = c + di
z ± w = (a ± c) + (b ± d)i
``
Seja z um número complexo, tal que z = a + bi
| z | = a2 + b2
Exemplo:
z = 2 + 4i, w = 3 - 2i
2.3+4.(-2)
3 +(–2)
2
2
+
z÷w=
4.3 - 2.(-2) i
3 + (-2)
2
2
=–
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2
13
+
16 i
13
1
Teorema
Plano de Argand-Gauss
∀z ∈ C, z. z = |z|2
``
Demonstração:
com efeito,
seja z = a + bi
z = a+bi → z = a – bi →
→ z·z = (a+bi)·(a–bi) = a2+abi–abi+b2 =
a2+b2 = |z|2
Forma trigonométrica
Teorema
``
z = a + bi
a
cos θ = → a = ρ cos θ
ρ
b
senθ = → b = ρsenθ
ρ
z = ρ cos θ + ρsenθi = ρcisθ
z
∀z ∈ C, z–1 =
|z|2
Demonstração:
com efeito,
z
z
z–1 = 1 → z–1 =
→ z–1 =
z
z.z
|z|2
Potências de “i”
i =1
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2 . i = (–1) . i = –i
i4 = i3 . i = (–i) . i = –i2 = – (–1) = 1
i4k = i0 = 1
i4k+1 = i1 = i
k Z, i4k+2 = i2 = i
i4k+3 = i3 = i
``
z =1 + i
ρ = 12 +12 = 2
0
``
2
cos θ =
1
2
=
2
2
sen θ =
π
1
2
=
→ θ = π / 4 → z = 2 cis
2
4
2
1. Ache todos os valores de z que satisfazem a igualdade
z2 + | z | = 0
``
Solução:
z2 + | z | = 0
Seja z = a + bi ⇒ z2 = a2 + 2abi + b2i2 = (a2 – b2) + 2abi
| z | = a2 + b2
Então: (a2+b2) + 2abi + a2 + b2 = 0
(a2–b2) + 2abi = – a2 + b2 (1)
Igualdade de complexos: igualam-se parte real e parte
imaginária. De (1), temos:
EM_V_MAT_018
Exemplo:
i273 = i4.68+1 = i1 = i
Toda a teoria dos números complexos pode
ser desenvolvida aritmeticamente, sem utilizarmos
nenhuma representação geométrica.
Entretanto, é conveniente mostrar que a criação
destes novos números foi em parte motivada pela
necessidade de poder representar numericamente os
pontos de um plano, da mesma forma como surgiram
na mente dos matemáticos os números reais.
Exemplo:
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a2–b2 = – a2 + b2
2ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0
``
Se a = 0, –b2 = – a + b
2
Solução:
2
Soma
nula
b2 = a2 + b2
i=1
i=i
i 2 = -1
i 3 = -i
i4=1
i5=i
i 6 = -1
i 7 = -i
...
...
...
...
i 2000 = 1
i 2001 = i
i 2002 = -1
i 2003 = -i
i 2004 = 1
i 2005 = i
b4 = a2+b2 ⇒ b4–b2 = 0 ⇒ b = ±1
Somando, obtemos: i + i + i 2 + i 3 + ... + i
0 + 0 + ... + 0 + 1 + i = 1 + i
Se b = 0, a2 = – a2 + b2 ≤ 0 (impossível)
2005
=
Logo, a = 0 e b = ± 1; sendo assim, S = {-i; i} z = ± i
2. Calcule 3+4i .
``
Solução:
Seja z = 3+4i = a + bi.
⇒ 3+4i = (a+bi)2 = (a2–b2) + 2abi
``
3 = a2–b2
4 = 2ab
5. (UFRJ) Dados os números complexos a = 2.(cos 30o +
i.sen 30o) e b = 3.(cosD+ i.senD), determine o menor
valor positivo de D, de modo que o produto a . b seja um
número real.
2
a =2
3=
a = 2 cis 30° b = 3 cis D
2 –b2
b
a . b = 6 cis (30° + D) = 6 cos (30° + D) + [6 sen (30° +D)] i
⇒ b4+3b2 – 4 = 9, b ∈ R
a . b real ⇒ 6 sen (30° +D) = 0 ⇒ 30° + D = 180° k ⇒ k = 1,
y = b2 ⇒ y2+3y-4=0 ⇒ Δ = 9+16 = 25 ⇒ y = –3±5 y = 1
2 y = -4
temos D =150°
6. (ITA) O conjunto A definido por A ={z C; ( z − i)( z − i) = 4}
representa no plano complexo:
• b2 = 1 ⇒ b = ±1
• b2 = –4 (impossível, porque b é real)
b=1⇒a=2
Por isso, z = ± i+a ⇒
⇒ z = 2+i
b = –1 ⇒ a = –2
ou –2 – i
a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos i e –i.
b) uma circunferência de centro no ponto (0, 1) e raio 2.
c) uma circunferência de centro no ponto (0, 0) e raio 4.
Logo, V = {–2 – i, 2 + i}
d) um par de retas que se cortam no ponto (1, 1).
3. Um imaginário puro é um complexo cuja parte real é
2 + ai
nula. Determine a real para que
seja um imagi1–i
nário puro.
``
e) nenhuma das anteriores.
``
2–a
2
=0⇒a=2
Solução: B
z = a + bi ou z = x + yi
Solução:
a∈R
2+ai (2+ai)(1+i) (2–a)+(2+a)i
z=
=
=
1– i
(1– i)(1+i)
2
z imaginário puro ⇒
Solução: D =150°
Utilizemos a segunda notação:
( z − i )( z − i ) = ( x + ( y −1 )i )( x + ( y −1 )i ) = x 2 + ( y −1 ) 2 = 4
No plano complexo, essa equação representa uma
circunferência de centro (0, 1) e raio = 2.
7.
Demonstrar que:
a) z = ( 6 + 2 ) + ( 6 − 2 ) .i = 4  cos

b) z = 10 + 2 5 + ( 5 − 1) .i = 4  cos
EM_V_MAT_018

4. Calcule
1 + i + i2 + i3 +....+ i2005
c) z = ( 5 + 1) +
π
π
+ i.sin 
12
12 
π
π
+ i.sin 
10
10 
( 10 − 2 5 ) i = 4  cos 210π + i.sin 210π 
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3
Solução:

 π
 π 
z = α cos   + i sen    , w = z2 ,
 2
 2

a) ( 6 + 2 ) + ( 6 − 2 ) i = z1
sendo
um número real fixo, 0 <
< 1.
ρ2 = ( 6 − 2 ) 2 + ( 6 + 2 ) 2 = ( 6 + 2 ) . 2 = 16 ⇒ ρ = 4
6− 2
sen
sen 15 °
6− 2
4
=
=
=
tg α =
cos 15 ° cos
6+ 2
6+ 2
4
Logo, z1 = 4 cis
π
12
π
12
π
12
Determine a hora do jantar.
``
b) z 2 = 10 + 2 5 + ( 5 −1 ) i
Sabemos que cos 18 ° =
* 18° = π
10
Solução: 9h ou 21h.
z = α cis
5 −1
10 + 2 5
, sen 18 ° =
4
4
π
π
π

= α  cos + i sen  = 2 i
2
2
2


ω = z 2 = α 2 i 2 = −α 2 < 0
0 < α <1


Então, z 2 = 4  sen
π
π
π
i + cos  = 4 cis

10
10
10
Como α < 1, α 2 < α
c) z3 = ( 5 +1 ) + ( 10 − 2 5 ) i
5 −1
, logo:
4
( 5 −1 ) 2 8 − 5 + 2 5 −1 2 + 2 5
5 +1
cos 36 ° = 1-2 sen 2 18 ° = 1-2 .
=
=
=
16
8
8
4
Sabemos que sen 18 ° =
( 5 −1 ) 2 8 − 5 + 2 5 −1 2 + 2 5
5 +1
=
=
=
16
8
8
4
sen 2 36 ° =1-cos 2 36 ° ⇒ sen 36 ° =

2π
10-2 5 *
2π
36° =
4
10
2π 
Logo, o tamanho do ponteiro “ −α 2 ” é menor que o
do ponteiro “ αi ”, ou seja, o ponteiro “ −α 2 ” é o das
horas e o “ αi ” é o dos minutos.
+ i sen  .
Logo, z3 = 4  cos

10
10 
8. (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora
em que as extremidades dos ponteiros do relógio
forem representadas pelos números complexos z
e w a seguir:
4
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EM_V_MAT_018
en 2 18 ° = 1-2 .
``
1. Coloque na forma algébrica os seguintes números
complexos.
a) (1,2)
b) (-1,
2
c)
3 + 4i
2+i
d)
(1 + i) (2 + 3i)
1–i
10. Se z1 = 1 – 3i e z2 = 2 + 5i, determine:
d) (2x,-y)
a) | z1 | + | z2 |
e) ( 3,0).
b) | z1z2 |
2. Dados os números complexos z1 = (1,3) e z2 = (-2,1),
calcule:
a) z1 +z 2
c)
| z1 |
| z2 |
d) | z1 + z2 |
b) z1.z2
e) | z1 || z2 |
c) z12
11. Determine a representação geométrica e a forma trigonométrica do número complexo dado:
d) z1/z2
3. Calcule z 1 - z 2 , dados os números complexos
z1 = (2,3) e z2 = (-1,4).
4. Determine o valor real de x para que o número complexo:
a) z = 1 + i
b) z = 1 + i 3
c) z = -1 + i
a) z = (1 - 2x ) + 3i seja um número imaginário puro.
d) z = 2i
b) z = (8 - x) + (2x - 3)i seja um número imaginário
puro.
e) z = -3
c) z = 6 - (3x - 5)i seja um numero real.
d) z = (1 - x) + (x - 1)i seja o número real zero.
5. Efetue as operações indicadas:
a) (6 + 5i) + (3 - 4i)
b) (1 - i) - (3 - 2i)
12. Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos:


a) z =  cos
+ i sen
4

b) z = 3  cos



d) i1, i2, i3, i4, i5, i6
π
2
7π
6
π

4
+ i sen
+ i sen
π

2
7π 
6

13. Determine o valor do argumento dos números com-
e) (3 - i)
plexos:
f) (2 - 3i) - (3 - i)2i.
a)
z =
b)
z =
3
6. Encontre z tal que
z
+ 2zi - 1 = 2.
Resolva a equação x2 + 4x + 5 = 0.
8. Calcule:
a)
π
c) z = 8  cos
c) (1 + i).(1 - i)
EM_V_MAT_018
(2 + 3i)
i
)
c) (0,-1)
7.
b)
1–i
1+i
1+i
1–i
2 + i (i – 2i)2
b)
1+i
i
9. Determine o módulo de cada um dos complexos:
−2
1+ i 3
i
−2 − 2i
14. Determine o conjunto das imagens dos complexos z,
tais que:
a) Re(z) = 2
b) Re(z) = Im(z)
c) 1 ≤ Im(z) ≤ 4
d) |z| = 1
a) (3 – i)(2 + 2i)
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5
e) |z + 1| = 1
f) |z – z0| = a2, onde z0 é um complexo dado e a é um
real positivo dado
1
c) i
h) Re(z2) = 1
d) – i
i) |z + i| + |z – i| = 2
j) |z + i| + |z – i| = 1
z +i
k) Re 
=0
 z − 1
e) – 2i
5. (ITA) Sejam z1 e z2 números complexos com |z1| = |z2| =
4. Se 1 é uma raiz da equação z1z6 + z2z3 – 8 = 0 então
a soma das raízes reais é igual a
a) – 1
l) |z + 1| = 2|z|
m)
z −1
b) – 1 + 21/2
≤1
c) 1 – 21/3
15. Determine os valores máximo e mínimo de |z + i| quando
|z – 2| = 1.
16. Representar na forma trigonométrica
a) cos θ − i sen θ
b) − cos θ − i sen θ
d) 1 + 31/2
e) – 1 + 31/2
 2
6. (ITA) O valor da potência  
 1+ i
a)
c) sen θ − i cos θ
d) 1 + cos θ + i sen θ (0 < θ < π )
b)
c)
1. (Fuvest) Sabendo que x é um número real e que a parte
imaginária do número complexo (2+i)/(x+2i) é zero,
então x é:
a) - 4
d)
7.
93
é:
−1 + i
2
1+ i
2
−1 − i
2
93
( 2) i
e)
93
( 2) + i
Determine o número z em cada caso.
a) 3z + 4i = z – 6i20
b) 3zi = z + i
b) - 2
3z - z = 1- i
 1 2
8. Resolva o sistema de variáveis z1 e z2 5z - 2z = 1+ 3i
2
 1
c) 1
d) 2
e) 4
2. (Fuvest) Mostre que os números complexos z = 1 + i e
z = 1 – i são soluções da equação z2 – 2z + 2 = 0.
3. (Naval) Sendo i a unidade imaginária dos números
complexos, o valor do número natural n, tal que
(2i)n + (1 + i)2n = 64i é:
9. (UFPE) As soluções complexas da equação z6 =1 são
vértices de um polígono regular no plano complexo.
Calcule o perímetro deste polígono.
10. (ITA) Sejam x e y números reais tais que:
3
2
x - 3 xy
 2
3
3 x y - y
=1
=1
b) 5
Então, o número complexo z = x + iy é tal que z3 e | z |
valem respectivamente:
a) 1 – i e 6 2
c) 6
b) 1 + i e
d) 7
c) i e 1
e) 9
d) – i e 1
a) 4
6
é igual a:
b) – 1
é real
z
z +1
1987
e) 1 + i e
6
3
2
2
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EM_V_MAT_018
g) z +
1− i
4. (Unesp) O número complexo  
 1+ i
a) 1
11. Determine o conjunto das imagens dos complexos z
para quais
z −1
z +1
é:
a) real
b) imaginário puro.
12. Considere o número complexo u =
i =
−1 .
3
2
+
1
2
i
em que
Encontre o número complexo v cujo módulo é
igual a 2 e cujo argumento principal é o triplo do argumento principal de u.
13. Prove que |z + w| + |z – w| = 2(|z| + |w| ). Interprete
o resultado geometricamente.
2
2
2
19. Dada a equação do segundo grau x2 + 2bx + c = 0
onde b e c são números reais, verifica-se facilmente que
as suas raízes (isto é, os valores de x que satisfazem à
equação acima) são:
x1 = -b + b 2 − c e x2 = -b - b 2 − c
Se só dispusermos de números reais, pode não ser
possível efetuar a operação b 2 − c . Entretanto, usando
complexos, toda equação do segundo grau tem duas
raízes. Achar as raízes complexas de:
a) x2 + 9 = 0
b) x2 + 2x + 6 = 0
2
14. Sob que condições se tem |z + w| = |z – w|2. Interprete
geometricamente o resultado.
15. |z| = 3 e |w| = 4. O que se pode afirmar sobre |z + w|?
16. (ITA-SP) O conjunto A definido por A = {z C;
( z − i )( z − i ) = 4 } representa no plano complexo:
a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos
i e – i.
b) uma circunferência de centro no ponto (0, 1) e raio 2.
c)
1
x +3
=
1
x
+
1
3
20. (ITA) Sejam w = a + bi com b ≠ 0 e a, b, c ∈ ℜ. O conjunto dos números complexos z que verificam a equação
wz + wz + c = 0, descreve:
a) um par de retas paralelas.
b) uma circunferência.
c) uma elipse.
d) uma reta com coeficiente angular m = a/b.
c) uma circunferência de centro no ponto (0, 0) e raio 4.
d) um par de retas que se cortam no ponto (1, 1).
e) nenhuma das anteriores.
17. (ITA-SP) Considere as famílias de curvas do plano complexo, definida por Re(1/z) = C, onde z é um complexo
não-nulo e C é uma constante real positiva. Para cada
C temos uma:
a) circunferência com centro no eixo real e raio igual
a C.
b) circunferência com centro no eixo real e raio igual
a 1/C.
c) circunferência tangente ao eixo real e raio igual a
1/(2C).
d) circunferência tangente ao eixo imaginário e raio
igual a 1/(2C).
18. A igualdade 1 + |z| = |1 + z|, onde z ∈ C, é satisfeita:
a) para todo z ∈ C que Re(z) = 0 e Im(z) < 0.
b) para todo z ∈ C que Re(z) ≥ 0 e Im(z) = 0.
c) para todo z ∈ C que |z| = 1.
EM_V_MAT_018
d) para todo z ∈ C que Im(z) = 0.
e) para todo z ∈ C que |z| < 1.
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7
c) x = 5/3
d) x = 1
5. 1. a) 9 +i
a) z = 1 + 2i;
2
b) -2 + i
i;
c) 2
c) z = -i;
d) i, -1, -i, 1, i, -1,
d) z = 2x - yi;
e) 18 - 26i
e) z = 3
2. a) -1 +4i
f) -7 - 18i
6. -1 - 2i
b) -5 - 5i
7.
c) -8 + 6i
8.
d) 1− 7i
3. 3 - i
a) x = ½
b) x = 8
8
−4 ± 2i
2
a) 0
5
4. x=
9 3
b) 2 - 2 i
9.
a) 4 5 b) 13
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EM_V_MAT_018
b) z = -1 +
c)
j) Vazio.
5
k) A circunferência de centro (1/2, -1/2) e raio 2 /2,
excluído o ponto (1,0).
d) 13
10.
l) A circunferência de centro (1/3,0) e raio 2/3.
a) 10 + 29
m) O semi-plano x ≤ 0.
b) 290
29
d) 13
a) cos( −θ ) + i sen( −θ ); .
e) 290
b) cos(
θ + π ) + i sen(θ + π ); .
11.
c) cos(θ + 3π / 2) + i sen(θ + 3π / 2); .


π
a) z = 2  cos


b) z = 2  cos
4
π




d) z = 2  cos
+ i sen
+ i sen
3
3π
c) z = 2  cos
4
π
2
π
π

3
+ i sen
+ i sen
d)

4
3π 
4

π

2
e) z = 3 (cos π + i sen π )
12. z
=(
b) z = i
2 +i
2. Demonstração
3. B
4. C
5. C
6. A
2 /2
a) -3 - 2i
b) 3/10 - 1/10i
3
8. z1 = 1 - 5i e z2 = 2 - 14i
c) z = −4 3 − 4i
9. 6
13.
10. B
a) 2π
11.
3
b) 5π
a) z real e diferente de -1.
4
b)
z = 1, z ≠ −1.
a) A reta x = 2.
12. v = 2i
b) A reta y = x.
13. Demonstração
c) A região entre as retas y = 1 e y = 4, inclusive.
14. z = z .(cos q + isenq )
d) O círculo de centro (0, 0) e raio 1.
e) O círculo de centro (-1,0) e raio 1.
f) O círculo de centro z0 e raio a.
EM_V_MAT_018
1. E
7.
(
a)
14.
5±1
15.
16.
c) 10
é æ
æ
pö
p öù
w = w . êcos ççq ± ÷÷÷ + isenççq ± ÷÷÷ú
ç
êë çè
è
2ø
2 øúû
Os vetores que representam z e w são perpendiculares
entre si.
g) A união da circunferência de centro (0,0) e raio 1
com o eixo das abscissas, excluída a origem.
15. 1£ z + w £ 7
h) A hipérbole x - y = 1.
17. D
2
2
16. B
i) O segmento (fechado) de extremidades i e -i.
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9
18. B
19.
a) ±3i;
b) -1± 5 i;
c) (-3 ± 3 3 i)/2.
10
EM_V_MAT_018
20. D
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Números
Complexos:
Operações
na Forma
Trigonométrica
Inverso de um complexo
1
z
Multiplicação e divisão são as principais operações efetuadas na forma trigonométrica. Poucos livros
de Ensino Médio abordam que, na verdade, quando
multiplicamos ou dividimos complexos, estamos efetuando rotações de vetores e outras transformações
no plano complexo com grande aplicação em outras
áreas da Matemática.
Multiplicação
Sejam z e w números complexos tais que:
z =r1 cis a e w =r2 cis b.
z.w = (r1 cis a).(r2 cis a) = r1r2.(cis a).(cis b) =
r1.r2.(cos a+ i sen a).(cos b+ i sen b)
= r1.r2.(cos a cos b + i cos a sen b + i sen a
cosb + i2 sen a sen b)
EM_V_MAT_019
= r1.r2.((cos a cos b - sen a sen b) + i (sen a
cos b + cos a sen b))
+ b)
= r1.r2.(cos(a+ b) + i sen(a + b)) = r1.r2 cis(a
Concluímos que para calcular o produto de dois
complexos basta multiplicar os módulos e somar os
argumentos.
=
1
a +bi
=
a - bi
a - bi
z
= 2
= 2
2
(a + bi)(a- bi) a +b
z
Divisão
w≠ 0
w
z
= z . w-1 = z
=
| w |2
w
= (ρ1cisα)(ρ2 cis(− β)) = ρ1 (cisα )( cis(−β)) = ρ1 cis(α + (−β))
ρ22
ρ2
ρ2
= ρ1 cis(α − β)
ρ2
Concluímos que para dividir dois complexos basta dividir os módulos e diminuir os argumentos.
Primeira fórmula de Moivre
Pode-se dizer que a potência de ordem n de um
número complexo escrito na forma trigonométrica é
o número complexo cujo módulo é igual ao módulo
do número elevado a n e, cujo argumento é igual ao
argumento do complexo multiplicado por n.
Essa fórmula tem diversas aplicações na dedução de fórmulas em trigonometria e na resolução de
problemas de geometria plana.
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1
Considerando-se o complexo z = r (cos q + i.sen q)
e seja dado o número natural n, tem-se:
zn = rn(cos nq + i.sen nq)
``
Exemplo:
z = 3 + i ⇒ z = 2[cos (p/6) + i.sen (p/6)]
1. (Cesgranrio) A figura mostra, no plano complexo, o
círculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de
cinco números complexos.
z4 = 24[cos (4p/6) + i.sen (4p/6)] =
r
w
16[cos (2p/3) + i.sen (2p/3)] =
1
+
2
3
2
z
ù
i ú = - 8 + 8 3 +i i
ú
ûú
Segunda fórmula de Moivre
O complexo 1/z é igual a:
a) z
4
Nos números reais sabemos que 16 = 2 .
No corpo dos números complexos temos que
24=16; (-2)4=16, (2i)4=16; (-2i)4=16.
Então, o número 16 em C tem 4 raízes quartas .
Dados complexo z=r(cosq+i.senq) e o número
natural n (n≥2), então existem n raízes enésimas de
z que são da forma:
wk=
n

 θ 2kπ  
 θ 2kπ 
z = n ρ. cos  +

 + i. sen +
n
n
n  

n


com k (inteiro) variando de 0 até n-1
Como n ρ é constante e os argumentos diferem
de 2p/n (para valores consecutivos de n), conclui-se
que as imagens das n raízes de um número complexo são vértices de um polígono regular de n lados,
inscrito numa circunferência de centro na origem e
raio n ρ , tendo uma das raízes o argumento q/n.
``
Exemplo:
b) w
c) r
d) s
e) t
``
Solução: E
Como z é inteiro ao círculo, pode-se concluir que o
módulo de z é menor que 1.
z = a cis q ⇒
1 1
1
= cis( −q ), a < 1 ⇒ >1
z a
a
Como 1 >1, sabe-se que o ponto 1 está fora do círz
culo. a
Vejamos o ângulo:
cis( −q ) = cos( −q ) + isen( −q ) = cos q − isenq
Determinar as raízes cúbicas de z = 8
2
2
∴ | z | = 8 + 0 = 8 ∴ cosq = 1 senq = 0
⇒ q = 0 ∴ z = 8(cos 0 + i.sen 0)
0 + 2kπ
0 + 2kπ 
2 kπ
2k π 


wk = 3 8 cos
+ i .sen
= 2  cos
+ i. sen
3
3 
3
3 


O número k deve variar entre 0 e 2
k = 0 ⇒ w0 = 2(cos 0 + i.sen 0)= 2(1 + 0i) = 2
k = 1 ⇒ w1 = 2(cos 2p/3 + i.sen 2p/3)= 2(-1/2 + 3 i/3) = - 1
+ 3i
2
t
s
Logo, 1 é um rebatimento com relação ao eixo real
⇒
z
1
=t .
z
2. (Fuvest) Seja z um número complexo de módulo 2 e
argumento principal 120°. O conjugado de z é:
a) 2 − 2i 3
b) 2 + 2i 3
c) −1− i 3
d) −1+ i 3
e) 1+ i 3
k = 2 ⇒ w2 = 2(cos 4p/3 + i.sen 4p/3)= 2(-1/2 - 3 i/2) = 1- 3 i
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EM_V_MAT_019
16
é
ê–
ê
ëê
``
Solução: C
z =2
 1
3
z = 2 cis120º = 2(cos120º +isen120º ) = 2  − + i
 = −1 + i 3
2
2


z = −1 − i 3
3. Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número
complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.
Pelo desenho, pode-se escrever:
z = r cis a
w = r cis (a + 120°) = r cis a cis 120° = z cis 120°
É verdade que:
a) o argumento principal de z é 5p .
b) a parte imaginária de z é i.
r = r cis (a+ 240°) = r cis a cis 240° = z cis 240°
6
→ z2 + w2 + r2 = z2 + z2 cis2 120° + z2 cis2 240° =
z2 (1 + cis 240° + cis 480°)
c) o conjugado de z é 3 + i .
d) a parte real de z é 1.
``
e) o módulo de z é 4.
→ zw + zr + wr = z (z cis 120°) + z (z cis 240°) +
(z cis 240°) =
Solução: A
2
2
2
2
2
= z 2 cis
120
12
4360
4
3° = z + z cis 240 ° + z cis 480 °.
1
42
4
3° + z cis 240 ° + z cis
cis 480 °
⇓
cis ( 360°+120° )
z = − 3 + i , pois, no plano de Argand-Gauss, o eixo x é
o eixo real, e o eixo y, o eixo imaginário.
1
2
2
2
2
2
= z 2 cis
120
12
4360
4
3° = z + z cis 240 ° + z cis 480 °.
1
42
4
3° + z cis 240 ° + z cis

3 1 
5
p
480 °
1
Logo, z = 2  −
+ i  = 2 cis cis
(150
° ) = 2 cis
⇓
6
cis ( 360°+120° )
 2 2 
Logo, z2 + w2 + r = zw + zr + wr.
a) → verdadeira
b)→ a parte imaginária é, no caso de a + bi, o número
real b. No caso, b = 1.
c) → z = − 3 − i
p
4
p
4
5. Dado o número z = 2(cos + i.sen ), calcule Z7:
``
d)Re(z) = − 3
Solução:
z = 2 cis
e) | z | = 4 = 2
π
4
7π
= 27 cis (315 ° ) = 27 cis (-45° ) =
4
 2
2 
i  = 64 ( 2 − 2i )
−
128 
2 
 2
z7 = 27 cis
4. Mostre que as imagens dos complexos se z, w e s
são vértices de um triângulo equilátero então z2 + w2
+ r2 = zw + zr + wr.
EM_V_MAT_019
``
Solução:
z, w e r vértices de um triângulo equilátero.
6. Calcule: (1 - i)10
``
Solução:
10
7π 

10
((1-i)
1− 1)10
=  2 cis
 =

4
32 cis 3150 ° = 32 cis (360 ° × 8 + 270° ) =
z2 + w2 + r2 = zw + zr + wr
32 cis (270°) = 32 (cos 270° + i sen 270°) = -32 i
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3
7.
Determine o menor valor natural n, n > 0, tal que
(2 3i + 2)n é real e positivo.
``
Solução:
9. Um hexágono regular está inscrito na circunferência de
equação x2 + y2 = 4 e um de seus vértices é o afixo
de z = 2i. Determine os outros 5 vértices.
``
(2 3i + 2)n é real e positivo.
n.π
n . π

n
n
2 (1+ 3i) =2 n(2 cis 60 ° ) n = 4 n  cos
+ i sen


3
3 
n.π
Real → sen
= 0 ⇒ n = 3, 6, 9,...
...
3
n = 3 não serve, pois cos π = - 1
n.π
Positivo → cos
> 0⇒
n = 6 → cos 2π = 1
3
Solução:
A
A
F
60°
60°
60°
0
Logo, o menor n que satisfaz o enunciado é n = 6.
60°
60°
E
B
60°
C
D
π
 
A = (0, 2) = 2 cis  
2
π
 3
+i .

 2

1
 = ( 3 , 1)
2
π
π

a)z1 = cis 1, z2 = cis
z1z2 = cis
sen 2) =
1
cis
2
(cos 1 cos 2 - sen
sen 2 cos 1) =

 3
 π
−i .
−  = 2 
 6
 2
2
= (cos
+ i sen 1)(cos
1
2
+i
π
1
 = ( 3 , −1)
2
π
sen 2) + i(sen
1
cos
2
+



 π π
E = 2 cis − −  = 2 cis
 2
cos ( 1 + 2) + i sen ( 1 + 2)
3

3
 5 π
−i .
−  = 2  −
2
 6 

b)z = cos 48° + i sen 48°
1
 = ( − 3 , − 1)
2
 5π π 
 −7 π 
−  = 2 cis 
=
 6 
6
3


F = 2 cis −
z10 + z5 + 1 = 0
y2 + y + 1 = 0
π


 
D = 2 cis  − −  = 2 cis −  = 2(0 − i) = (0, − 2)
6 3
2

1
 


C = 2 cis  −  = 2 cis
6 3
Solução:
y = z5 ⇒
π

Mostre que o número complexo z = cos 48º + i sen
48ºé raiz da equação z10 + z5 + 1 = 0.
``
π


 
B = 2 cis  −  = 2 cis   = 2
2 3
6
8. (Fuvest) a) Se z1 = cos 1 + i sen 1 e z2 = cos 2 +
i sen 2, mostre que o produto z1z2 é igual a cos ( 1
+ 2) + i sen ( 1 + 2).
⇒
 1
− +
1± 1− 4
1± 3i  2
y=−
=−

2
2  1
− −
 2
5π
3
i = cis 120°
2
3
i = cis 240°
2
3
1
10. Supondo 0 < q < p escreva na forma trigonométrica o
complexo 1+ cisq
1+ cis ( −q)
z = cis 48°
y = z5 = (cis 48°. 5) = cis 240°, que é raiz da
equação.

 
= 2 cis  6  = 2 − 2 + i, 2  = (− 3 , +1)
 


``
Solução:
0<q<p
4
EM_V_MAT_019
1 + cis q
(1 + cis q ) 2
(1 + cis q ) 2
=
=
2
1 + cis (-q )
2+2 cos . q
1 + cis (-q )
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y2 + y + 1 = 0 D = 1 - 4 = -3 ⇒
Por (I) e (II); temos:

1
y= − +
1± 3i 
2
y=

2 
1
y= − −
2

2
q

2 + i .2tgq 
q
q
1 + tg 2 
2
2 =
q

1 − tg 2


2
2. 1 +

2 q
1 + tg 

2

1 − tg 2

1 +
2
 1 + tg

1
3
i
 x = cis 60° = +

2 2
x 2 = cis 120° ⇒ 
 x = cis 240° = − 1 − 3 i

2 2
q
q
+ 2i .tg 2
2
2 = cisq
q
1 + tg 2
2
1 − tg 2
Logo, as raízes de x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 são:
1
(I)
θ
2
cos θ =
2 θ
1+ tg
2
(II)
3
-1,± 2 ± 2 i
Sabemos que:
θ
2
sen θ =
2 θ
1+ tg
2
3
i = cis 120°
2
3
i = cis 240°
2

1
3
i
 x = cis 120° = − +
2 2
x = cis 240° ⇒ 
 x = cis 300 °= 1 − 3 i

2 2
2 tg
2
1− tg 2
11. (Unicamp) Mostre que as raízes de x5 + x4 + x3 + x3 +
x2 + x + 1 = 0 são também raízes de x6 - 1 = 0.
12. Um antigo mapa dava instruções para localizar um
tesouro enterrado em certa ilha...
E calcule essas raízes.
``
“Ande da palmeira até a entrada da caverna. Lá
chegando, vire 90º à direita e caminhe o mesmo
número de passos. No fim desse trajeto coloque
uma marca e retorne à palmeira. Agora, caminhe em
direção à pedra. Lá chegando, vire 90º à esquerda
e caminhe o mesmo número de passos que foram
dados da palmeira à pedra. Coloque uma marca no
fim desse trajeto. O tesouro está no ponto médio das
duas marcas.” quando chegamos à ilha, a palmeira
não existia mais. Como fazer para achar o tesouro?
Solução:
x6 - 1 = (x - 1)(x5 + x4 + x3 + x3 + x2 + x + 1)
Se y é raiz de x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0, então y5 +
y4 + y3 + y2 + 1 = 0. Logo, y6 - 1 = (y - 1) . 0 = 0, ou
seja, y também é raiz de x6 - 1 = 0.
As raízes de x6 - 1 = 0 são:
→1
``
→ raízes de x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0
Solução:
Escolhamos os eixos coordenados:
x6 - 1 = 0 ⇒ x6 = 1
Seja x = a + bi ⇒ (a + bi)6 = 1
Marca 2
x = 1 e x = -1 são raízes. Logo, fazendo Briot-Ruffini, ficamos
com:
−1
x5
+ x4
+ x3
+ x2
1
1
+1
0
1
1
1
0
+ x
P (XP, YP)
+ 1
1
1
1 || 0
T
Tesouro
C (XC, YC)
EM_V_MAT_019
Palmeira
Logo, x6 - 1 = (x + 1)(x - 1)(x4 + x2 + 1)
x6 - 1 = 0 ⇒ x + 1 = 0 ou x - 1 = 0 ou x4 + x2 + 1 = 0
x4 + x2 + 1 = 0 y = x2
Marca 1
Seja um sistema de eixos X0Y centrado na palmeira
(0,0), sendo C (XC,YP) as coordenadas da caverna e
P (XP,YP), as da pedra.
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5
c) 1
As coordenadas da marca 1 serão dadas por:
d) 2
(XC + YC ; YC - XC)
e) 4
Enquanto que as da marca 2: (XP - YP ; YP + XP)
O ponto médio entre as marcas, onde é encontrado
o tesouro é:
5. (Fuvest) Se z 1 = cos θ 1 + i sen θ 1 0 e K
z2 = cos θ2 + i sen θ2,
 xc + x p + yc − y p y p + yc + x p − xc 
T =
;

2
2

a) Mostre que o produto z1z2 é igual a cos (θ1 + θ2) +
i sen (θ1 + θ2).
podendo ser escrito também por:
b) Mostre que o número complexo z = cos 48o + i
sen 48o é raiz da equação z10 + z5 + 1 = 0.
 xc + x p yc − y p y p + yc x p − xc 
T =
+
;
+
;
2
2
2
 2

cos a + i sin a
6. Simplifique:
7.
e cuja interpretação é:
•• andar até o ponto médio entre a pedra e a caverna, saindo da primeira, na direção da segunda;
•• chegando ao ponto médio do caminho entre as
duas, virar 90º à direita e andar a mesma distância, chegando a T (tesouro).
Conclusão: não é necessário saber onde se localizava
a palmeira.
cos b − i sin b
.
Qual é a relação que liga os argumentos de z1 = 3 - 2i e
z2 = -3 + 2i?
8. Um imaginário puro é um complexo cuja parte real é nula.
2 + ai
Determine a real para que
1− i
puro.
9. Dado o número


z = 2  cos
p
4
+ i sen
seja um imaginário
p
7
 determine z .
4
10. Calcule a potência (1 - i)10.
11. Determine o menor valor de n ∈ N *, para o qual
n
( 2 3i + 2 ) é real e positivo.


p
1. Calcule o produto z1z2 com z 1 = 2  cos
+ i sen
2
2. Calcule o quociente


z 2 = 3  cos
p
4



p
para z 1 = 2  cos
z2
4
b)


2p


p
z 1 = 2  cos
z 1 = 4  cos
3
6
+ i sen
+ i sen
+ i sen
p
 e
4
p

2p 
3
p
 e
 e
6


z 2 = 3  cos


z 2 = 2  cos
3p
4
p
4
z1
z2
para:
+ i sen
+ i sen
p

4
3p 
4

4. (Fuvest) Sabendo que α é um número real e que a
parte imaginária do número complexo
então α é:
a) - 4
b) - 2
6
13. Determine o produto z1z2 e dê sua interpretação geométrica:


a)
z 1 = 2  cos
b)
z 1 =  cos


p
3
3p
4
+ i sen
+ i sen
p
 e
3
3p 
4
 e


p


2p
z 2 = 5  cos
z 2 =  cos
2
3
+ i sen
p

2
+ i sen
2p 
3

14. Calcule os valores das potências z2, z3 e z9, sabendo
2 .
3. Determine o produto z1z2 e o quociente
a)
e
4
2
z1
+ i sen
2
p
p
2+i
a + 2i
é zero,
que


p
z = 2  cos
3
+ i sen
p
.
3
15. Usando Moivre, calcule as potências:
a) (1 - i)3
b) (3 - 3i)5
c) ( 2 + i 2 )7
100
d) ( −1 − 3i )
e) (1 + 3i )9
f)
 1
 − 2 +
3
2

i

8
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EM_V_MAT_019


z 2 = 2  cos
p
+ i sen
12. Seja z um número complexo, tal que z4 é igual ao conjugado de z2. Determinar o módulo e o argumento de z.
16. Determine as raízes cúbicas de -i e interprete-as
geometricamente.
17. Encontre as raízes quartas do número complexo 1 + i.
18. Determine as raízes quadradas dos seguintes números
complexos:
1. Verifique as seguintes igualdades:
a)
2 - i - i (1 - i 2 ) = -2i.
b) (2 - 3i) (-2 + i) = -1 + 8i.
a) -4
b) - i
c)
c) 1 - i
5
(1 − i )(2 − i )(3 − i )
=
1
2
i.
2. Verifique as seguintes igualdades:
19. Determine as raízes quartas dos seguintes números
complexos e dê sua representação geométrica:
a)
a) -1
1 + 2i
+
3 + 4i
2−i
5i
=
6 − 8i
25
b) z + 3i = z - 3i.
b) -1 - 3 i
(2 + i )
2
c) -i
c)
d) -8 - 8 3 i;
20. Calcule as raízes sextas de 729.
21. Um hexágono regular está inscrito na circunferência de
equação x2 + y2 = 4 e um de seus vértices é o afixo de
z = 2i. Determine os outros cinco vértices.
22. Das afirmações abaixo sobre a equação
z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano
complexo:
I. A equação possui pelo menos um par de raízes
reais.
II. A equação possui duas raízes de módulo 1, uma
raiz de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo
maior que 1.
III. Se n ∈ N* e r é uma raiz qualquer desta equação,
k
n
1
r
então ∑ 3 < 2 .
k =1
é (são) verdadeira(s):
a) nenhuma;
b) apenas I;
c) apenas lI;
d) apenas III;
e) apenas I e III.
3 − 4i
=1
3. Escreva as expressões abaixo na forma a + bi.
a) (4 - i) + i - (6 + 3i) i
b) (7 + 4i) (2 - 3i) + (6 - i) (2 + 5i)
3–i
c)
4 + 5i
2
d) (2 – i)
(3 + i)2
e) 2 + 6i - (5 + 3i)
f) (3 + 2i) (2 – 3i)
g) (4 – i) (1 – 4i)
4. Determine as raízes quadradas de:
a) -4
b) 3 - 4i
c) i
5. (Fuvest)Determine os números complexos z, tais que
z + z = 4 e z . z = 13 z .z = 13, onde z é o conjugado de z.
6. Sabendo que z1 = 2(cos 30º + i cos 30º) e z2 = 3 (cos 150º
+ i sen 150º), determine:
a) z1z2
b) z 1
z2
c) z13
EM_V_MAT_019
d) z299
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7
Calcule o valor das seguintes potências:
a)
 1− i 
 5 
i
8
| z − 1 | + | z + 1 | −3
3 −i 
pertence ao conjunto dos números reais. Interprete (ou
identifique) este conjunto geometricamente e faça um
esboço do mesmo.
200
15. Calcule 1+2i+3i2+4i3+...+21i20

1− i
z+ z +2
w=
3
(1 + i )
b)
2
(1 − i )

c) 

14. Determine o conjunto dos números complexos z para
os quais o número
16. Resolva a equação:
8. O lugar geométrico das imagens dos complexos z, tais
que z2 é real, é:
a) um par de retas paralelas.
b) um par de retas concorrentes.
c) uma reta.
z4+2z2+4=0
17. (ITA) Sejam ak e bk números reais com k = 1, 2, …, 6.
Os números complexos zk = ak + i bk são tais que |zk| =
2 e bk ≥ 0, para todo k = 1, 2, …, 6. Se (a1, a2, …, a6)
é uma progressão aritmética de razão - 1/5 e soma 9,
então z3 é igual a:
d) uma circunferência.
a) 2i
e) uma parábola.
b) 8/5 +6i/5
9. Seja L o afixo do número complexo a = 8 +i em um
sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine
o número complexo b, de módulo igual a 1, cujo afixo
M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo
LOM é reto.
10. Mostre que se z = (cos q + i sen q ) então
z = r (cos( -q ) + i sen( -q ).
11. Se x +
1
= 2 cos a , prove que x n + 1 = 2 cos n a .
n
x
x
12. Escreva na forma a + bi o número complexo
 9 p
= 2  cos
+i
  12
1
z

sen  
12  
p
36
13. Seja z = c + di um número complexo, não nulo, com
argumento e módulo indicado por |z|, isto é, z = |z| (cos
x + i sen x). Para que se tenha z2 = a + bi, com b ≠ 0,
é necessário que:
3 +i
c)
d)
-3 3
73
+
i
5
5
e)
4 2 2 17
+
i
5
5
18. (ITA) Considere, no plano complexo, um polígono regular
cujos vértices são as soluções da equação z6 = 1. A área
deste polígono, em unidades de área, é igual a:
a) 3
b) 5
c) π
d) 3 3 /2
e) 2π
19. Considere, no plano complexo, um hexágono regular
centrado em z0 = i. Represente por z1, z2, ..., z6 seus
vértices, quando percorridos no sentido anti-horário.
Se z1 = 1 então 2z3 vale:
a) 2 + 4i
Lembre-se que: sen 2x = 2 senx cosx
a) cos 2x = 0
b) ( 3 - 1) + ( 3 + 3)I
b) sen 2x = 0
d) (2 3 - 1) + (2 3 + 3)i
c) senx + cosx ≠ 0
e)
d) senx ≠ 0
c)
6
+ ( 2 + 2)i
2 + ( 6 + 2)
e) cos x = 0
8
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EM_V_MAT_019
7.
20. Considere os números complexos z =
w = 1+ i 3 .
6
4
Se m = w + 3z + 4i
2
3
2 +i 2
e
2
z + w + 6 − 2i
, então m vale:
a) 34
b) 26
Seja ν o volume de um cubo de aresta x, e ν ' o volume
de um paralelepípedo retângulo cuja área da base é
3, e cuja altura é igual a x. Determinar x de modo que
ν = ν '+ 1.
26. As cinco raízes quintas de z = 16 - 16 3 i têm o mesmo módulo e seus argumentos formam uma PA cuja
razão é:
c) 16
a) 60°
d) 4
b) 120°
e) 1
21. Determine as raízes quadradas de:
a) -4.
c) 204°
d) 69°
e) n.d.a.
b) 3 - 4i.
c) i.
22. Sabendo que 1 - i é raiz da equação:
x4 - 6x3 + 11x2 - 10x + 2 = 0, achar todas as suas raízes.
23. Considere as afirmações:
I. (cos θ + isen θ)10 = cos (10θ) + isen (10θ), para todo
θ∈ℜ
II. (5i)/(2 +i) = 1 + 2i
III. (1 - i)4 = - 4
()
2
IV. Se x2 = z então z é real ou imaginário puro
V. O polinômio x4 + x3 - x - 1 possui apenas raízes
reais
Podemos concluir que:
a) todas são veradeiras;
b) apenas quatro são verdadeiras;
c) apenas três são verdadeiras;
d) apenas duas são verdadeiras;
e) apenas uma é verdadeira.
24. Resolva as equações:
a) z3 = i
b) z4 = - 16
c) z + z2 + z3 + z4 + z5 = 0
d) z6 + 7z3 - 8 = 0
EM_V_MAT_019
25. Existe uma fórmula chamada de Fórmula de Cardano (matemático italiano da época da Renascença)
que fornece as raízes da equação do terceiro grau;
y 3 + ay + b = 0. A fórmula é a seguinte:
b
b2 a3 3 b
b2 a3
y=3− +
+
+ − −
+
.
2
4 27
2
4 27
Resolver usando a fórmula de Cardano:
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9
8. 2
9.
2.
6 cis
11. n = 6
4
 cos
3
7p
4
+ i sen
12.
7p 
4

13.
a)
3.


a) 6  cos


b) 8  cos
11p
12
11p
12
+ i sen
+ i sen
11p 
 e
12 
2
5p
 cos
3
12
 17p
 e 2  cos 12
12
11p 
+ i sen
+ i sen
5p 

12 
b)
17p 
12

a) Demonstração
b) Demonstração
cis ( a + b )
7.
q1 + p = q2
+ i sen
17p 
12

z3 = -8
z9 = -512
5.
6.
 17p
 cos
12
14. z2 = -2 + 2 3 i
4. E
10
= 64 2 − 64 2i
10. z10 = -32i
3p
2
7
15.
a) -2 -2i
b) -972 + 972i
c) 64
2-
64
2i
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EM_V_MAT_019
1.
z
d) -299 - 299 3 i
20. ± 3; 3 ± 3 3 i ; - 3 ± 3 3 i
2
e) -512
16. z0 = i
17.
21.
1 i 3
− −
2 2
f)
z1 = -
3
2
−i
1
z2 =
2
3
2
+
1
2
2
2
2
æ 5P ö
æ 7P ö
2.cis ççç ÷÷÷ ; 2.cis ççç ÷÷÷ ; -2i;
è 6 ø
è 6 ø
æPö
æ11P ö÷
2.cis ççç
÷ e 2.cis ççç ÷÷÷
è6ø
è 6 ÷ø
i
p
p
8 
z 0 = 2  cos
+ i sen 
 16
16 
22. D
9p
9p 
8 
z 1 = 2  cos
+ i sen 
 16
16 
17p
17p 
8 
z 2 = 2  cos
+ i sen


16
16 
z3 =
8
 25p
2  cos

16
1.
a) V
25p 
+ i sen
16

b) V
c) V
18.
2.
a) 2i e -2i
2
b)
2
c)
4
+
2
2


2  cos
i e
7p
2
2
+ i sen
8
2
−
2
a) V
i
7p 
e
8
b) V
4


2  cos
15p
8
+ i sen
c) V
15p 
8

3.
a) 7 - 6i
19.
b) 43 + 15i
2
2
2
2
2 2 2 2
+
i;i;
i
+
i;2
2
2
2
2 2 2 2
a)
7 - 19i
41
1
d) - i
2
c)
b) 4 2  cos p +isen p 


3
3
4 2  cos 5p +isen 5p 

6
6 
4 2  cos 4p +isen 4p 

3
3 
4 2  cos 11p +isen 11p 

6
6 
c)  cos 3p +isen 3p 



8
e) -3 + 9i
f) 12 - 5i
g) 17i
4.
8
a) ±2i
7p
7p 

+isen 
 cos
8
8
b) 2 - i e -2 +i
11p
11p 

cos
+isen

8
8 
15p
15p 

 cos 8 +isen 8 
EM_V_MAT_019
d) 2  cos p +isen p 


c)
2
2
2
2
+i
e -i
2
2
2
2
5. z = 2 + 3i ou z= 2 - 3i
6.
3
3
5p
5p 

2  cos
+isen 

6
6
4p
4p 

2  cos
+isen 

3
3
11p
11p 

2  cos
+isen

6
6 
a) -6
b) c) 8i
3
1
-i
3 3
d) 399i
7.
a) 16
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11
b) -1 -i
c) 299 + 299 3 i
8. B
9.
10. Demonstração
11. Demonstração
12. -16
13. D
14.
y
F2(–1;0)
F2(1;0)
x
15. 11 -10i
16.
±
2
2
±
6
2
i
17. B
18. D
19. B
20. A
21.
a) ±
2i;
b) ±(2 - i)
c) ±(
2 /2 +
2 /2 i)
22. 1 ± i, 2 ± 3
23. B
24.
a) z = ± 3 / 2 + 1/ 2 i ou z = −i;
b) z = ± 2 ± 2i;
c) z = ±1/2 ± 3/2i;
d) z = 1 ou z = -1/2 ± ( 3/2)i ou z = - 2 ou z = 1± 3i;
25. x = 2 cos 20o ≈ 1879
,
.
12
EM_V_MAT_019
26. E
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