Gravitação

Gravitação
1. INTRODUÇÃO
Dedução das leis empíricas de Kepler a
partir da mecânica newtoniana– Newton
O sistema geocêntrico é um modelo de
visão do mundo que admite a Terra no
centro do universo e os demais planetas, a
Lua e o Sol giram ao seu redor. Esse sistema
teve como principal defensor o astrônomo,
geógrafo e matemático Cláudio Ptolomeu
(100-170 d.c).
O sistema heliocêntrico é um modelo de
visão do mundo que admite o Sol no centro
do universo e os planetas girando ao seu
redor em trajetórias circulares. Esse sistema
teve como principal defensor o monge
polonês Nicolau Copérnico (1473-1543).
A controvérsia gerada pelas duas teorias
criou um estímulo maior para que os
astrônomos procurassem alcançar, nas suas
observações, dados mais precisos. Foi então
que o dinamarquês Tycho Brahe (15461601) compilou uma série de dados que
posteriormente
foram
analisados
e
interpretados por um de seus discípulos,
Johannes Kepler (1571-1630).
Kepler encontrou certas regularidades
importantes no movimento dos planetas.
Essas regularidades que passaremos a
estudar são conhecidas como leis de Kepler.
2. LEIS DE KEPLER
Nota:
As leis de Kepler eram empíricas, sem
nenhuma interpretação teórica. Kepler não
dava o conceito de força.
A partir das leis do movimento e da lei da
gravitação de Newton as leis de Kepler foram
deduzidas.
O segmento de reta que une o centro do Sol
ao centro do planeta varre áreas iguais em
tempos iguais.
O movimento dos planetas em torno do Sol
(e também o de um satélite em torno de um
planeta) está regido pelas leis de Kepler.
a) 1ª lei: Leis das órbitas
Todo planeta descreve em torno do Sol uma
órbita elíptica na qual o Sol ocupa um dos
focos.
Observações:
• A 1ª Lei de Kepler não exclui a
possibilidade teórica de uma órbita ser
circular, pois a circunferência pode ser
encarada como um caso particular de elipse
em que os focos coincidem.
• O ponto mais próximo do planeta em
relação ao Sol toma o nome de periélio,
enquanto o mais afastado toma o nome de
afélio.
b) 2ª lei: Leis das áreas
Resumo:
Ptolomeu – Geocêntrico
Copérnico – Heliocêntrico
Observações e dados – Brahe
Análise dos dados e leis empíricas – Kepler
Podemos notar que se a área A1 varrida de A
para B é igual à área A2 varrida ao mesmo
tempo de C para D, então o planeta teve que
percorrer mais velozmente o arco AB que o
arco CD.
Como conseqüência da 2ª lei de Kepler,
podemos enunciar o seguinte:
se entende o quociente entre a área varrida
(A) e o tempo gasto em varrê-la (t).
A velocidade de translação de um planeta é
função decrescente da distância do planeta
ao Sol.
Isso significa que, à medida que o planeta se
aproxima do Sol, sua velocidade de
translação aumenta. Da mesma forma, à
medida que o planeta se afasta do Sol, sua
velocidade de translação diminui.
Observações:
Vareolar 
A
t
Assim:
Para o planeta 1 (no exemplo, a Terra)
temos:
Vareolar 
A1
(I)
t1
Para o planeta 2 (no exemplo, a Saturno)
temos:
Observe a figura:
Vareolar 
A2
(II)
t2
Dividindo (I) por (II), temos:
Vareolar
Vareolar
Observemos que se a órbita for circular, o
planeta estará sempre à mesma distância do
Sol e portanto deverá ter sempre velocidade
de intensidade constante, ou seja, estará em
movimento uniforme.
Podemos observar ainda que em dois pontos
simétricos em relação ao eixo maior, o
planeta estará a uma mesma distância do
Sol e, portanto, terá velocidades de mesma
intensidade.
Resumo:
A1
A
A
t
 1 1  2
A2
t1 t2
t2
c) 3ª lei: Leis dos períodos
O quadrado do período de qualquer planeta é
diretamente proporcional ao cubo de seu
raio médio ao Sol.
T 2  k  R3
A constante de proporcionalidade k depende
somente da massa do Sol.

Planeta no periélio: V  máximo

Planeta no afélio: V  mínimo

Órbita circular: V  cons tan te
Pontos de órbitas simétricos em relação ao


eixo maior: V1  V2
Nota:
Alguns autores preferem se referir a essa lei
dizendo que “a velocidade areolar do
planeta é constante”. Por velocidade areolar
rmédio 
rmín  rmáx
2
Chamaremos de raio médio ( rmédio ) da órbita
de um planeta à média aritmética entre a
distância do Sol ao periélio ( rmín ) e a
distância do Sol ao afélio ( rmáx ).
De acordo com a terceira lei de Kepler,
quanto mais afastado está o planeta do Sol,
maior é seu período de translação em torno
do Sol.
Nota:
O período de revolução de um planeta (o seu
ano) depende de sua órbita, assim:
Para o planeta A (no exemplo, a Terra),
temos:
TA2  k  RA3 (I)
Para o planeta B (no exemplo, Saturno),
temos:
TB 2  k  RB 3 (II)
Dividindo (I) por (II), temos:
Observações:
• A distância média da Terra ao Sol
denomina-se unidade astronômica (UA) e é
usada como escala do Sistema Solar.
1UA  1, 49 1011
• Entre Marte e Júpiter encontra-se a famosa
“faixa de asteróides”, onde existe um grande
número de planetóides.
• Os planetas que possuem satélites
conhecidos são: Terra (um), Marte (dois),
Júpiter (doze), Saturno (dez), Urano (cinco) e
Netuno (dois).
GRAVITAÇÃO
UNIVERSAL
F
GM m
d2
Onde G é uma constante, cujo valor depende
do sistema de unidades escolhido e que toma
o nome de constante de gravitação universal
ou constante de Gauss.
No sistema MKS, o valor de G determinado
por Lord Cavendish é o seguinte:
G = 6,67. 10-11 N.m2/kg2
TA2 RA3
TA2 k  RA3



TB 2 RB 3
TB 2 k  RB 3
3. LEI DA
NEWTON
Matematicamente, sendo m e M as massas
que se atraem, e d a distância que as separa,
essa lei pode ser assim representada:
DE
Examinando as leis de Kepler, Newton
chegou à lei da gravitação universal, que é a
seguinte:
A força gravitacional entre dois corpos tem
intensidade diretamente proporcional ao
produto de suas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distância que
separa seus centros de massa.
Essa constante não depende do meio: seu
valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualquer
outro meio interposto entre corpos.
Nota:
Como a constante G é muito pequena, a
força F só tem intensidade apreciável se ao
menos uma das massas for elevada, como a
de um planeta. Para corpos de pequenas
massas (pessoas, objetos, veículos), a
atração gravitacional F tem intensidade
desprezível.
Curiosidades:
O Sol:
• A luz do nosso astro-rei demora 8 min e 15
s para chegar até nós.
• A distância entre o Sol e a Terra é de
148,45 milhões de quilômetros.
• Sua massa é 334,672 vezes maior que
massa da Terra, e ele é 109 vezes maior que
ela.
• Na sua superfície a temperatura chega a
5500 oC.
• Calcula-se que no seu centro a
temperatura chega a 15 milhões ºC.
• Ele sempre nasce do lado leste.
A Terra:
• A massa do planeta é 5,9 sextilhões de
toneladas!
• A população é de 5,2 milhões de
habitantes.
• A Terra é o único planeta que possui água
no estado líquido e uma combinação de
fatores (oceanos, atmosfera, etc..) que levam
ao desenvolvimento de formas de vida.
• Distância média da Terra à Lua: 382.166
km.
mg 
GM
GM
GM m
ou g 
g
2
2
2
d
d
h  R
Essa última expressão nos mostra de que
forma varia a aceleração da gravidade g em
função da altura h.
Caso seja considerado o ponto na superfície
terrestre a expressão fica:
A Lua:
• A lua é um satélite natural da Terra e é o
astro mais próximo dela.
• Ela não tem brilho próprio. A luz que
vemos é a do Sol refletida nela, luz que
demora 1,25 segundos para chegar até a
Terra.
4. ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE TERRESTRE
Conforme a figura abaixo, vamos considerar
M como sendo a massa da Terra, e m a
massa de um corpo situado a uma distância
d do centro da Terra.
gs 
GM
R2
Onde:
g s = aceleração da gravidade na superfície da
Terra.
Nota:
Para h << R (pequenas alturas): g h  g s
A seguir, temos uma tabela da aceleração da
gravidade superficial dos planetas:
Onde:
h = altura do corpo para a superfície da
Terra.
R = raio da Terra
Assim:
d  hR
Esse corpo ficou sujeito a uma força
gravitacional F, calculada pela lei da
gravitação universal como sendo:
F
GM m
d2
Porém, essa força nada mais é que o peso do
corpo (F = P), podendo ser então substituída
por m  g . Isto nos leva a igualdade:
g(m/s2)
3,6
8,6
9,8
3,7
25,9
11,3
11,3
11,6
3,9
Planeta
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Plutão
Observação:
A equação g 
GM
h  R
2
não é válida quando
o corpo está localizado no interior da Terra.
Nesse caso, o peso varia linearmente com a
distância d para o centro da Terra,
considerada homogênea e esférica.
Demonstração:
Considerando um ponto A interno à Terra,
pertencente a uma esfera imaginária de raio
r, e seja M a massa dessa esfera.
O campo gravitacional em A é devido apenas
a essa massa M.
Assim, aplicando a fórmula para pontos na
superfície esférica de raio r, temos:
gA 
G  M
(I)
r2
5. EFEITO
M
4
, sendo V   r 3 o volume da
V
3
esfera imaginária à qual pertence A.
4
3
Portanto: M  d  V M  d   r 3
Fcf  m   2  R
A intensidade da força gravitacional é:
4
G  d   r3
4

3
gA 
 g A   G d  r ou
2
r
3

gA  k  r
Como
é
uma
NO VALOR
Consideremos inicialmente um corpo em um
ponto do equador terrestre. Se adotarmos
um referencial na Terra (referencial não
inercial ), age no corpo uma força centrífuga
( Fcf ), cuja intensidade é dada por:
Substituindo em (I), temos:
4
G d
3
TERRA
DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
A densidade d da esfera pode ser escrita:
d
DA ROTAÇÃO DA
constante
F
(k),
concluímos que a aceleração da gravidade
em pontos internos da Terra é diretamente
proporcional à distância r do ponto
considerado
ao
centro
da
Terra.
Particularmente no centro da Terra, r = 0 e
gc = 0.
Em resumo, a aceleração da gravidade g, a
partir do centro da Terra, varia com a
distância d, de acordo com o gráfico
seguinte:
GM m
R2
O peso do corpo nessa
intensidade dada por:
posição
terá
PE  F  Fcf
Veja:
Sendo P  m  g E , onde g E é a aceleração da
gravidade no equador, teremos:
GM m
 m 2  R
2
R
GM
gE 
 2  R
2
R
70°
80°
90°
m  gE 
O termo
GM
 g0 corresponde ao valor da
R2
aceleração da gravidade, sem considerar a
rotação, isto é, em decorrência apenas da
atração gravitacional. Então:
g E  g0   2  R
Nos pólos da Terra não há influencia da
rotação e, portanto, a parcela  2  R não
comparece na expressão da gravidade g P :
g P  g0  g P 
9,82608
9,83059
9,83217
6. CORPOS EM ÓRBITA
Vamos considerar um caso de dois corpos de
massas M e m tais que M  m (M é muito
maior que m). É o caso, por exemplo, do Sol
e um planeta ou de um planeta e um
satélite. Desse modo, é possível que o corpo
de massa m gire em uma órbita
aproximadamente circular em torno do corpo
de massa M à altitude h. A força de
interação gravitacional entre M e m é
responsável pela força centrípeta necessária
para manter m em órbita. Essa força é a
própria força gravitacional à altitude h.
GM
R2
Podemos concluir, então, que a aceleração
da gravidade é máxima nos pólos e mínima
no equador.
Observação:
Para pontos da superfície da Terra, situados
a uma latitude 𝜑, ela terá valores
intermediários a g P e g E , conforme a tabela.
Sua direção não passa pelo centro da terra.
m  v2 G  M  m
GM
FCP  F 

 v2 

2
d
d
d
Observe a figura:
v
GM
GM
ou v 
d
hR
Onde:
d = raio da órbita do planeta
R = raio do Sol
A partir dessa igualdade, podemos também
determinar o período de revolução do planeta
em torno do Sol.
Latitude(  )
0°
10°
20º
30°
40°
45°
50°
60º
g(m/s2)
9,78039
9,78195
9,78641
9,79329
9,80171
9,80665
9,81071
9,81918
FCP  F  m   2  d 
Sendo  
GM m
d2
2
, vem:
T
4 2 3
 2  G  M
2


T

d  T 2  kd 3


3
d
GM
 T 
2
Onde:
k
4 2
(constante)
GM
Observação:
• A velocidade e o período independem da
massa m do satélite;
• A velocidade e o período dependem da
massa do Sol M e da distância d;
• A fórmula do período é a própria terceira lei
de Kepler. Para o sistema solar, M é a massa
4 2
do Sol e a constante k 
é comum para
GM
todos os planetas, independentemente de
suas massas.
• Conhecida a velocidade do satélite, a uma
determinada altura, determinamos sua
energia cinética:
GM
GM
v
 v2 
d
d
Como Ec 
m  v2
, temos:
2
Ec 
m
GM
d  Ec  G  M  m
2d
2
• Demonstra-se que a energia potencial
gravitacional, adotando-se referencial no
infinito, é dada por:
EP  
GM m
d
O sinal negativo significa que, em todos os
pontos do campo gravitacional, a energia
potencial gravitacional é menor do que no
infinito.
No campo gravitacional, a energia mecânica
se conserva, isto é, EM  EC  EP .
7. VELOCIDADE DE ESCAPE
Velocidade de escape é a menor velocidade
com que se deve lançar um corpo da
superfície terrestre para que este se livre da
atração da Terra, isto é, chegue ao infinito
com velocidade nula.
Para o cálculo dessa velocidade ( V0 ),
desprezando a resistência do ar, aplicamos o
princípio da conservação da energia
mecânica.
Corpo na Terra: Ec 
m  v0 2
GM m
, EP  
2
d
Corpo no infinito: EC  0 ; EP  0 (referencial
no infinito)
Portanto:
m  v0 2 G  M  m

 0
2
d
v0 
2G  M
d
Substituindo os valores de G, M (massa da
Terra) e R (raio médio da Terra), vem:
v0  11,3km / s
Planeta
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Plutão
V0(km/s)
4,2
10,3
11,23
5,0
60,5
35,2
21,7
24,0
5,0
8. IMPONDERABILIDADE
Imponderabilidade é o estado em que não
podemos discernir se estamos em um campo
de gravidade zero
ou em queda livre.
Também é descrita como a sensação de
ausência de peso. Considerando-se por
exemplo uma pessoa no interior de uma
nave espacial que cai livremente, observa-se
que a taxa de aceleração desta pessoa e da
nave espacial são as mesmas, e que a pessoa
aparentemente não tem peso
e flutua
livremente. Durante a maior parte das fases
de uma viagem espacial, os astronautas
estão em estado de imponderabilidade. O
corpo humano não está acostumado a este
estado e em viagens muito longas, exercícios
especiais devem ser realizados para que não
haja efeitos negativos a longo prazo. Alguns
cosmonautas da antiga União Soviética
passaram um ano sob condições de
imponderabilidade e parece que nenhum
efeito de longo prazo resultou disso. Mas
atenção
o
verdadeiro
estado
de
imponderabilidade só pode ser atingido no
espaço distante, longe de qualquer estrela ou
planeta.
9. SATÉLITE GEOESTACIONÁRIO
Além disso, a irregularidade do campo
gravitacional
terrestre,
junto
com
perturbações orbitais (tanto gravitacionais,
como as atrações da Lua e do Sol, quanto
forças não-inerciais, como a pressão da
radiação solar) obrigam que a posição seja
periodicamente
corrigida,
através
de
manobras orbitais.
10. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO

Seja g1 o campo gravitacional produzido
num ponto P pela ação gravitacional de uma

distribuição de massa 1. Seja g 2 o campo
gravitacional produzido num ponto P por
outra distribuição de massa 2. O campo

gravitacional efetivo g ef no ponto P é dado
Os satélites geoestacionários são satélites
que se encontram parados relativamente a
um ponto fixo sobre a Terra, geralmente
sobre a linha do equador. Como se
encontram sempre sobre o mesmo ponto da
Terra, os satélites geostacionários são
utilizados como satélites de comunicações e
de observação de regiões específicas da
Terra. Note-se que um satélite que não é
geoestacionário nunca está sobre a mesma
zona da Terra e por isso não pode ser
utilizado para observar em permanência a
mesma região.
Um ponto qualquer sobre a superfície da
Terra move-se continuamente em torno do
eixo da Terra com uma frequência de uma
volta por dia. Isto significa que um satélite
geoestacionário tem que se mover com a
mesma velocidade angular. Os satélites
artificiais existentes descrevem as mais
diversas órbitas. Grande parte dos satélites
não são geoestacionários e descrevem várias
órbitas por dia. Como é que é possível
colocar satélites em órbita com velocidades
orbitais distintas? A resposta está na
altitude a que os satélites são colocados e
na velocidade inicial que lhes é imprimida.
Quanto mais alta for a órbita de um satélite
menor é a sua velocidade angular.
A altitude para se colocar o satélite é de
35.786 km, onde a força centrífuga e a força
centrípeta do planeta se anulam.
Note-se que, se a Terra fosse perfeitamente
esférica, a única posição geoestacionária
seria sobre o equador. No caso real, a
assimetria na distribuição das massas entre
os hemisférios faz com que os satélites
geoestacionários devam ser posicionados
fora do equador
pelo vetor resultante:

 
gef  g1  g2
A soma de duas grandezas é também
chamada de superposição das grandezas
consideradas. Poranto, o princípio da
superposição é um princípio geral na física
que pode ser aplicado para obter uma
grandeza escalar resultante (através de uma
soma algébrica) ou então podemos obter
uma grandeza vetorial resultante (mediante
uma soma vetorial).
O princípio da superposição pode ser
utilizado para determinação do campo
gravitacional no interior de um buraco
esférico existente numa esfera homogênea.
Para resolver este problema, devemos
inicialmente, tampar o buraco esférico
considerado mediante uma esfera hipotética
com um raio igual ao raio do buraco e com
densidade gual à desnsidade da esfera
maior. Com essa superposição de massas,
resulta uma esfera maciça sem nenhum
buraco. Então, de acordo com o princípio da

superposição, o campo g ef desta esfera
maciça é dado por:



gef  g B  g

Onde g ef é o campo efetivo num ponto P no

interior doburaco esférico, g B é o campo
produzido em P por uma esfera de mesma

densidade que tapa o buraco esférico e g é o
campo que existe no ponto P antes de se

superpor a esfera que produz o campo g B .
Portanto, o campo gravitacional em todos os
pontos do buraco esférico pode ser calculado
pela relação:
 

g  gef  g B


A determinação de g ef e g B pode ser feita
facilmente
utilizando-se
demonstrado abaixo:
o
resultado
O campo gravitacional na superfície de uma
esfera maciça pode ser calculado mediante a
equação:
g
GM
(I)
R2
Onde M é a massa existente no interior da
esfera de raio R. Logo:
4
M  d V  M  d     R3 (II)
3
Substituindo (II) em (I), temos:
g
Gd 4 R
3