G - Rede La Salle

GRAVITAÇÃO
UNIVERSAL
Histórico:
Uma das ciências mais
antigas de que se tem
registro.
Astronomia
Geocentrismo
A Terra é o centro do
Universo
Hiparco ( sec II a.C )
Defensores
Cláudio Ptolomeu
( sec II d.C )
GEOCENTRISMO
Planeta
Planeta
Terra
SoL
Terra no
centro
das
órbitas
Planeta
Apoio Religioso
O Sol é o centro do
Universo
HELIOCENTRISMO
Aristarco de Samos ( sec III a.C )
Defensores
Nicolau Copérnico
( 1473 - 1543 )
Galileu Galilei
( 1564 – 1642 )
O Herege !!!
HELIOCENTRISMO
Planeta
Planeta
Sol
Terra
Planeta
Sol no centro
das órbitas
Contra a Igreja
As Leis de Kepler
* Tycho Brahe ( Dinamarquês 1546 – 1601 )
Levantamento e catálogo de dados
astronômicos
* Johannes Kepler ( Alemão – 1571 - 1630 )
Pupilo e Aprendiz de Tycho
Leis da Mecânica Celeste
Primeira Lei de Kepler – Lei das Órbitas
Qualquer planeta descreve órbita elíptica em
torno do Sol, que encontra-se em um dos
focos da elípse.
Segunda Lei de Kepler – Lei das Áreas
A
Δt AB
D
Área AB
Área CD
Δt CD
C
B
O segmento que une o Sol ao Planeta, varre áreas iguais
em intervalos de tempo iguais.
ÁreaAB = ÁreaCD
ΔtAB = ΔtCD
Segunda Lei de Kepler – Lei das Áreas
Mov Acelerado
A
D
C
B
Mov Retardado
Velocidade
Máxima
Velocidade
Mínima
Terceira Lei de Kepler – Lei dos Períodos
O quadrado do período de revolução de um Planeta
ao redor do Sol é proporcional ao cubo da sua
distância média ao Sol.
2
T

k
3
R
T: Período de revolução do Planeta
R: Distância média do Planeta ao Sol
K: Constante de proporcionalidade
Rocket man by Elton John ( 1972 )
Rocket man by Elton John
Exercícios de Sala:
01) Um planeta descreve uma órbita aproximadamente circular em torno
do Sol, com raio igual ao quádruplo do raio da trajetória descrita pela
Terra. Em quantos anos tal planeta completará uma volta ao redor do
Sol?
Dados:
RT = RT
TT = 1 ano
RP = 4.RT
TP = ?
TT
2
RT
3
2
1
RT
3
k

TP
2
RP
TP
3
2
T = 8 anos
4.RT 3
4 . RT  RT .TP
3
3
3
2
LEI DE GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Issac Newton ( 1642 - 1727 )
* Síntese das Leis de Kepler;
* As leis que governam o Universo valem para
. qualquer corpo;
* Em todo o Universo, massa atrai massa;
“A força que faz cair uma maça é
de mesma natureza que a força
que mantém os planetas em
suas órbitas”
Issac Newton
LEI DE GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
A força de atração entre dois corpos é diretamente
proporcional ao produto das massas dos mesmos e
inversamente proporcional ao quadrado da distância que os
separam.
M
( massa )
m : ( massa )
r:
( distância entre corpos )
G : ( constante de gravitação )
6,67  10 11 N .m 2
G
kg 2
01) Duas esferas de massas m1 e m2, tais que m1 = 16.m2, têm seus
centros separados pela distância de 100 km. A que distância do centro
da esfera de massa m1 um corpo colocado entre as duas esferas será
igualmente atraído por ambas?
m1
m
F1
F2
m2
x
100 km
F1  F2
m1 . m
m2 . m
G
G
2
x
100  x 2
16 m2
m2

2
x
100  x 2
16
1

2
x
100  x 2
4
1

x 100  x
x = 80 km
CAMPO GRAVITACIONAL ( GRAVIDADE )
Região ao redor do Planeta
onde o mesmo exerce força de
atração sobre os corpos que ali
se encontram.
Vetor Campo Gravitacional
dirigido p/ o centro
( “g” )
Sim...o planeta “puxa de volta”
GRAVIDADE NA SUPERFÍCIE DO PLANETA
F = G
Peso
M.m
R2
Peso = G
M.m
R
R2
m.g = G
M.m
R2
g0 =
G
M
R2
Altitude
zero...nível do
mar...!!!
GRAVIDADE ACIMA DA SUPERFÍCIE DO PLANETA
F = G
M.m
d
Peso = G
Peso
2
M.m
d
H
2
d
m.g = G
M.m
(R+H)2
gH = G
M
(R+H)2
R
Observação IMPORTANTE !!!
M
gH = G
(R+H)2
A aceleração da gravidade diminui a
medida que o corpo se afasta da
superfície do planeta e não depende
da massa do corpo atraído.
g “menor ainda”
g “menor”
g ( superfície )
RELAÇÃO ENTRE “g0” e “gH”
g0 =
G
M
2
G.M = g0 . R
R2
gH = G
gH
M
(R+H)
2
G.M = gH . ( R + H )
2
H
g
0
 R 
g H  g 0 .

RH 
2
03) Considerando a aceleração da gravidade na superfície terrestre
igual a 10 m/s2, determine a aceleração da gravidade a uma altitude
igual ao raio terrestre.
 R 
g H  g 0 .

RH 
 R 
g H  g 0 .

R R
 R 
g H  g 0 .
 2. R 



gH
 1
 g 0 .
 2. 

 
gH
g0

4
2
2
H
2
2
R
04) Considerando que a massa e o raio da Terra sejam,
respectivamente, dez e duas vezes maiores do que a massa e o raio de
Marte e tomando a aceleração da gravidade na superfície terrestre
como 10 m/s2, calcule a aceleração superficial em Marte.
Dados:
MT
MM 
10
R
RM  T
2
gM 
G. M M
RM
2
MT
10

2
 RT 


 2 
G.
gM
MT
10

2
RT
4
G.
gM
g M  G.
MT
4
 2
10 RT
g M  0,4  G 
g M  0,4  g T
g M  0,4 10
gM= 4 m/s2
MT
RT
2
MOVIMENTO
DE
SATÉLITES
RECEITA PARA LANÇAR UM SATÉLITE:
* 1 Planeta ( Pode ser a Terra mesmo...)
* 1 Foguete ( Com bastante combustível...!!! )
* 1 Satélite ( Meteorológico, Comunicação, Dados, etc... )
MODO DE FAZER:
a) Pegue o Planeta;
b) Coloque o foguete sobre o Planeta;
c) Coloque o satélite sobre o foguete;
d) Faça a contagem Regressiva 10, 9, 8 ...;
e) Acione o foguete;
f) Siga até 200 km de altura ( no mínimo );
g) Muito bem ...vejamos...;
Velocidade de Lançamento
R
Raio
de
Órbita
VELOCIDADE DO SATÉLITE
F = G
M.m
d2
V
FC = G
Fc
M.m
R2
m.v2
= G
M.m
R
R2
v
2
= G
M
R
A velocidade não
depende da massa
do satélite...!!!
V
G.M
R
05) Um satélite artificial descreve órbita circular de altura igual ao raio
da Terra. Considerando a aceleração da gravidade na superfície da
Terra igual a 10 m/s2, calcule a velocidade do satélite.
V
H=R
v2 
2.R.G.M
4R 2
v2 
R.G.M
2R 2
Fc
R
FC  F
m.v 2 G.M .m

2.R
2.R 2
2
v
G.M

2.R 4 R 2
R G.M
v2  .
2
R2
v2 
R
 g0
2
6400  10 3
v 
 10
2
2
v  4000. 2 m / s