100 1 25. a q q

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NÍVEL II
• MATEMÁTICA
Lista 3
Exercício 1
Exercício 9
Determine a soma de todos os múltiplos de 6 que se
escrevem no sistema decimal com três algarismos.
Demonstrar os critérios de multiplicidade de 9 e de 3.
Exercício 10
Exercício 2
Fixe três algarismos distintos e diferentes de zero. Forme
os seis números com dois algarismos distintos tomados
entre os algarismos fixados. Mostre que a soma desses
números é igual a 22 vezes a soma dos três algarismos
fixados.
Exercício 3
Nos tempos de seus avós não existiam calculadores
eletrônicas e por isso eram ensinadas várias regras de
cálculo mental. Uma delas dizia que dado um número
natural a, cujo algarismo da unidade é 5, ou seja,
, tem-se que a2 100q q 1 25.
a 10q 5 , com q
Com isso, crie uma regra para calcular mentalmente o
quadrado de a. Aplique a sua regra para calcular os
quadrados dos números: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95,
105 e 205.
Exercício 4
Quantos algarismos são usados para numerar um livro de
300 páginas? Quantas vezes cada algarismo foi utilizado?
Curiosidade: existe uma fórmula interessante para descrever o número
Q x de algarismos necessários para escrever todos os números naturais
de 0 a x, no sistema decimal: Q x
n x
1
10n
1
10 , em que n
é o número de algarismos de x.
Exercício 5
Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado
perfeito, isto é, um número da forma a2 , em que a é um
número natural, só pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
Exercício 6
Determine se é múltiplo de 2, de 5 ou de 10 cada número:
17, 22, 25, 28, 30, 35 420 e 523 475.
Determine se é múltiplo de 3 ou de 9 cada um dos
números: 108, 111, 225, 328, 930, 35 424, 523 476.
Exercício 11
Classifique em número primo ou número composto os
números: 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 21, 23, 47 e 49.
Exercício 12
Construa um Crivo de Eratóstenes com os números
naturais de 1 a 100.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Exercício 13
Dois números primos consecutivos são chamados primos
gêmeos se eles diferem em 2. Utilizando o “Crivo de
Eratóstenes”, determine todos os pares de primos gêmeos
até 100.
Exercício 14
O matemático prussiano Christian Goldbach, numa carta de
7 de junho de 1742 endereçada a Leonhard Euler, o maior
matemático da época e um dos maiores matemáticos de
todos os tempos, propôs que se provasse que todo número
maior do que 5 é a soma de três primos. Euler respondeu
que acreditava nessa conjectura, porém não sabia
demonstrá-la, mas que ela era equivalente a mostrar que
todo número par maior ou igual do que 4 era soma de dois
números primos. Teste a Conjectura de Goldbach e a
versão de Euler para os números de 14 a 40.
Exercício 7
Com a informação de que 100 é múltiplo de 4 e de 25, você
seria capaz de identificar um critério de multiplicidade de
4 ou de 25?
Exercício 8
Com a informação de que 1000 é múltiplo de 8
(respectivamente de 125), você seria capaz de identificar
um critério de multiplicidade de 8?
189M1Mat_POT_2A_03_2017 :: 1º período | NÍVEL I :: ENSINO FUNDAMENTAL | mar/2017
Exercício 15 (DESAFIO)
Determinar se um dado número é primo ou composto pode
ser uma tarefa muito árdua. Para se ter uma ideia da
dificuldade, você saberia dizer se o número 241 é primo?
Mais difícil ainda é decidir se o número 4 294 967 297 é
primo ou composto. O matemático francês Pierre de
Fermat (1601-1655) afirmou que esse número é primo,
enquanto o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783)
afirmou que é composto. Qual deles estava com a razão?
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Exercício 16
PRÓXIMOS ENCONTROS
Um outro problema proposto em 1845 pelo matemático
francês Joseph Bertrand (1822-1900) foi que, dado um
número natural n 3 , sempre existe um número primo p
no intervalo n, 2n 2 . Cinco anos depois, o matemático
As datas previstas para os próximos encontros são:
russo, Pafnuti Chebyshev (1821-1894) provou que a
afirmação é verdadeira. Verifique-a para n 100.
4º encontro: 20/5
5º encontro: 5/8
6º encontro: 19/8
7º encontro: 16/9
8º encontro: 30/9
9º encontro: 7/10
10º encontro: 21/10
11º encontro: 11/11
Caso ocorra alguma alteração dessas datas, haverá comunicação prévia.
Exercício 17
Uma conjectura semelhante ao Postulado de Bertrand,
proposta anteriormente pelo matemático francês AdrienMarie Legendre (1752-1833), mas que não foi provada
nem desmentida, versa que dado um número natural n,
sempre existe um número primo no intervalo
n2 , n 1
2
GABARITO
1.
2.
. Verifique-a para n 15.
Exercício 18
Decomponha, em produto de primos, os números: 4, 6, 8,
28, 36, 84, 320 e 2597.
Exercício 19
O número 2017 é primo?
RASCUNHO
82 350.
Sejam a, b e c os três algarismos. Assim, os seis números que podem
ser formados são: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Pela decomposição decimal
do número, temos que ab 10a b . Escrevendo cada um deles
dessa forma e somando-os, temos que a soma é 22 a b c , ou
3.
seja, é 22 vezes a soma desses três algarismos.
Respectivamente iguais a 225, 625, 1225, 2025, 3025, 4225, 5625,
7225, 90
4.
792. Ao confrontar 792 com a fórmula Q x , lembre-se de que o
livro não tem a página 0.
Demonstração.
Múltiplos de 2: 22, 28, 30 2 35 420.
Múltiplos de 5: 25, 30, 35 420 3 523 475. Múltiplos de 10: 30 e 35
420.
7. Multiplicidade de 4: O número n é múltiplo de 4 se o número
formado pelos dois últimos algarismos de n é múltiplo de 4.
Multiplicidade de 25: O número n é múltiplo de 25 se o número
formado pelos dois últimos algarismos de n é múltiplo de 25.
8. Multiplicidade de 8: O número n é múltiplo de 8 se o número
formado pelos três últimos algarismos de n é múltiplo de 8.
Multiplicidade de 125: O número n é múltiplo de 125 se o número
formado pelos três últimos algarismos de n é múltiplo de 125.
9. Demonstração.
10. Múltiplos de 3: 108, 111, 225, 930, 35 424, 523 476.
Múltiplos de 9: 108, 225, 35 424, 523 476.
11. Primos: 11, 13, 17, 23, 47
Compostos: 9, 10, 12, 15, 21, 49
12.
5.
6.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
13. (3, 5); (5, 7); (11, 13); (17, 19); (29, 31); (41, 43); (59, 61); (71, 73).
14.
Nº primo
Goldbach
Euler
14
2+5+7
3 + 11
15
3+5+7
n.a.
16
2+7+7
5 + 11
17
3+7+7
n.a.
...
...
...
15. 241 é primo, mas 4.294.967.297 é composto 641 6700417 , ou
seja, Euler tinha razão.
16. Verificação.
17. Verificação.
18.
4 22 , 6
2 3, 8 23 , 36 22 32 , 84
22 3 7, 320 26 5 e
2597 72 53 .
19. 2017 é primo.
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