Alguns Problemas para Principiantes

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Problemas para Principiantes
1. Quantos inteiros têm a seguinte propriedade: "O seu maior divisor diferente de si
próprio é 91"?
2. Para fazer um castelo de cartas com um andar é preciso duas cartas, com dois
andares são precisas 7 cartas. Quantas cartas são precisas para construir uma torre
com n andares?
3. Num restaurante há 15 mesas com 6 lugares cada. Quantas pessoas, no mínimo,
têm de estar a almoçar para que haja, no mínimo uma mesa cheia.
4. Quantos números menores que 10000 são múltiplos de 7 e os dois últimos algarismos
são 26?
5. Qual é o menor inteiro cujo quadrado é múltiplo de 5, 8 e 12?
6. Determina o menor n tal que n! é múltiplo de 990
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7. Em quantos zeros termina 2010! ?
8. Encontra números reais a e b tais que a2 − 4ab + b2 = 0. (sugestão: divide por a2 )
9. Seja p > 3 um primo. Prova que p2 a dividir por 24 deixa resto 1.
10. Mostra que dados 21 inteiros é possível escolher 5 deles cuja soma é divisível por 5.
11. Mostra que existem duas potências de base 3 e expoente natural cuja diferença é
um múltiplo de 2010
12. De quantas maneiras se podem pintar os vértices dos quadrados de um tabuleiro de
xadrez (8 × 8 ) de vermelho e azul de modo a que cada quadrado tenha dois vértices
azuis e dois vermelhos?
13. Determina todos os primos p tais que
p+1
2
é um quadrado perfeito e
p2 +1
2
também é
um quadrado perfeito.
14. Seja B um inteiro > 10 tal que cada um dos seus dígitos pertence ao conjunto
{1, 3, 7, 9}. Prova que B tem um factor primo > 9.
1
Para n é um número natural, definimos n! = 1 × 2 × ... × n
1
15. Mostra que existe um primo p tal que n2 − 2 não é múltiplo de p para nenhum
inteiro n.
16. Mostra que 2n + 1 nunca é um cubo perfeito.
17. Prova que se n é um inteiro ímpar, n1 2 − n8 − n4 + 1 é múltiplo de 29 .
18. É possível haver quatro números consecutivos compostos (não primos)? E 5. Qual
é o máximo possível de números compostos consecutivos?
19. Mostra que 1 + 21 + 13 + ... +
1
n
nunca é um número inteiro para nenhum n.
20. Imagina que no Arquiducado de Boez só há moedas de x e y euros, e sabemos que
mdc(x, y) = 1. Qual a maior quantia que não se pode pagar sem ser preciso troco.
21. Mostra que 7p − 6p − 1 é múltiplo de 43 para qualquer p primo e maior que 3.
22. IMO 1959 Prova que a fracção
21n+4
14n+3
é irredutível para todo o n inteiro.
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