Introdução às funções e à trigonometria

Introdução às funções e à trigonometria
Antes de dar prosseguimento ao estudo do movimento, a cinemática, precisamos rever alguns
conceitos muito importantes da matemática. Mais especificamente, vamos relembrar o que é uma função,
como representá-la no plano cartesiano, como trabalhar com ângulos, suas relações trigonométricas, os
ângulos notáveis e o círculo trigonométrico.
1. Funções e sua representação no gráfico cartesiano
O que é função?
Uma função matemática (ou computacional) é um processo que gera um resultado a partir de uma ou
mais entradas (argumentos da função). Pode-se encará-la como uma transformação: é um processo que
“pega” o argumento inserido, segue uma regra de transformação, e fornece um resultado.
x
função f
f ( x)
Chama-se f(x) a resposta à entrada x, isto é, a entrada x transformada pela função f.
Exemplo 2.1.1: Considere a função f ( x) = 3 x + 2 . Essa função “pega” uma entrada genérica x,
multiplica-a por 3 e, por fim, soma 2 ao resultado. Podemos então calcular alguns pares entrada-saída
dessa função:
f (−2) = 3 × ( −2 ) + 2 = −4
f (−1) = 3 × ( −1) + 2 = −1
f (−0,5) = 3 × ( −0,5 ) + 2 = 0,5
f (0) = 3 × 0 + 2 = 2
f (0,5) = 3 × 0,5 + 2 = 3,5
f (1) = 3 ×1 + 2 = 5
f (2) = 3 × 2 + 2 = 8
Podemos ainda descobrir, por exemplo, qual entrada gerou um determinado resultado. Por exemplo,
quanto vale a se f(a) é igual a 32?
f (a ) = 32
3a + 2 = 32
3a = 30
a = 10
Observação importante: Em uma função, cada entrada gera uma e somente uma resposta da função.
Por exemplo, não é possível existir uma determinada função na qual temos f (a ) = 3 e f (a ) = 5 . Já o
contrário é possível, isto é, podemos ter um caso em duas entradas diferentes geram uma mesma saída.
Podemos citar como exemplo f ( x ) = x 2 . Se tivermos f (a ) = 25 , ou seja, a 2 = 25 , conclui-se que a = 5
ou a = −5 . E, para completar, há ainda funções nas quais é impossível gerar-se uma determinada saída,
ou seja, nenhuma entrada gera aquela saída. Ainda no mesmo exemplo, em que f ( x ) = x 2 , se tentarmos
calcular a tal que f (a ) = −25 , concluiremos que a não existe no conjunto dos números reais.
As funções para as quais, dada qualquer saída, não existe mais de uma entrada capaz de gerá-la são
chamadas injetoras. Ou seja, para cada saída, há no máximo uma entrada que a gera, sendo possível
também não haver nenhuma entrada que a gera.
As funções para as quais, dada qualquer saída, sempre existe no mínimo uma entrada que a gera são
chamadas sobrejetoras. Ou seja, é impossível haver uma saída tal que nenhuma entrada a gere.
As funções para as quais, dada qualquer saída, sempre existe uma e somente uma entrada que a gera
são chamadas bijetoras. Tais funções são necessariamente sobrejetoras e injetoras ao mesmo tempo.
Em linguagem matemática, podemos dizer que as funções injetoras são aquelas em que
f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
Analogamente, as funções sobrejetoras (definidas no conjunto dos números reais) são aquelas em que
m ∈ » ⇒ ∃ x tal que f ( x) = m
Traduzindo, se m pertence ao conjunto dos números reias, então existe x tal que x gera a saída m.
Representação cartesiana de uma função real
Como já vimos, um gráfico cartesiano corresponde a um conjunto de eixos orientados. Podemos
utilizá-lo para representar funções reais.
Nos casos mais simples, aos quais vamos nos ater, em que trataremos de funções de uma variável e
respostas únicas, usamos apenas dois eixos cartesianos e, portanto, a representação dessas funções ocorre
em um plano.
y
x
0
Antes de mais nada, vamos definir o que é um par ordenado, e como representá-lo no plano. Um par
ordenado são dois números reais, dispostos em uma determinada ordem. Dizemos que (a, b) é um par
ordenado, em que a, b ∈ » .
Um par ordenado, em um gráfico cartesiano, corresponde a um ponto no plano. Por padrão, esse
ponto é fixado de forma que sua projeção no eixo x (eixo das entradas) seja em a, e no eixo y (eixo das
saídas), em b. Veja abaixo:
y
b
( a, b)
x
0
a
Repare que a e b são pontos dos eixos x e y, respectivamente, contados a partir da origem.
Convencionalmente, o eixo x é orientado para a direita, isto é, os valores tomados à direita da origem são
positivos; e à esquerda, negativos. Também por convenção, o eixo y é orientado para cima, ou seja, os
pontos localizados acima da origem são positivos; e abaixo, negativos.
Dizemos que a e b são as coordenadas do ponto (a, b).
Quando representamos uma função no plano cartesiano, marcamos os pontos da forma (x, f(x)), ou
seja, os pontos tais cuja coordenada em y é a resposta da função f à coordenada em x como entrada.
Isto significa que se, por exemplo, o ponto (a, b), representado acima, pertence à função f, podemos
dizer que f(a) = b.
Exemplo 2.1.2: Vamos ver um exemplo de uma função f representada abaixo.
y
3
1,5
−3,5 −2
1
x
0
4
5
−6
A curva desenhada é a união de todos os pontos no gráfico que fazem parte da representação da
função f. Pelo que definimos, podemos ver no gráfico o ponto (4, 1,5), isto é, um ponto cuja projeção no
eixo x é 4, e no eixo y, 1,5. Isso quer dizer que a resposta da função f à entrada 4 é igual a 1,5. Em termos
matemáticos, f (4) = 1,5 .
Podemos, a respeito da função f representada, propor algumas perguntas.
P: Qual é a resposta da função f à entrada −2 ?
R: Pelo gráfico, vemos o ponto ( −2 , 1), isto é, a resposta à entrada −2 é 1. f (−2) = 1
P: Qual(ais) é (são) a(s) entrada(s) que geram a resposta 1?
R: Identicamente, −2 , −3,5 e algum número entre 4 e 5 geram resposta 1. f (−2) = 1 , f ( −3,5) = 1 e
f ( x) = 1, em que, 4<x<5
P: Quanto vale f (0) ?
R: O único ponto do gráfico cuja projeção em x ocorre em 0 é (0, 3), portanto podemos concluir que
f (0) = 3 .
P: Determine x tal que f ( x) = 0
R: Os pontos cuja projeção em y ocorrem em 0 são ( −6 , 0) e (5, 0). Logo, x = 5 ou x = −6
Exemplo 2.1.3: Vamos agora construir passo a passo o gráfico cartesiano de uma função. Seja
f ( x ) = 2 x − 1 . Para termos uma noção de como será esse gráfico, vamos escolher alguns pontos próximos
da origem, calcular suas coordenadas e representá-los no gráfico. De forma mais sistemática,
construiremos a seguinte tabela:
x
f(x)
–2
f (−2) = 2 × ( −2 ) − 1 = −5
–1
f (−1) = 2 × ( −1) − 1 = −3
0
f (0) = 2 × ( 0 ) − 1 = −1
1
f (1) = 2 × (1) − 1 = 1
2
f (2) = 2 × ( 2 ) − 1 = 3
3
f (3) = 2 × ( 3) − 1 = 5
y
5
3
−2 −1
1
0
x
1
−1
2
3
−3
−5
Parece que nessa função os pontos alinharam-se de forma colinear. Não devemos nos esquecer que
pegamos apenas uma amostra de alguns pontos. Mesmo entre um ponto e outro, existem infinitos pontos.
Por exemplo, entre (1, 1) e (2, 3), existe (1,5, 2), (1,2, 1,4) etc. De forma a unir esses infinitos pontos,
dizemos que a representação gráfica dessa função é uma reta.
y
5
3
−2 −1
1
0
x
1
−1
2
3
−3
−5
Observação importante: Verifica-se que toda função da forma f ( x) = ax + b , isto é, que “pega” a
entrada, multiplica-a por um número qualquer e, ao resultado, soma um outro número, é representada
graficamente por uma reta. São as chamadas funções afins, ou de primeiro grau. A denominação
“primeiro grau” refere-se ao que chamamos de ordem da função. Isso quer dizer que o maior expoente
de x que “aparece” na função é 1. Em uma função do segundo grau, ou de ordem 2, temos algo da forma
f ( x ) = ax 2 + bx + c , pois o maior expoente de x é 2. Essa função é também chamada de função
quadrática, e é representada por uma curva chamada parábola. Analogamente, em uma equação de
terceiro grau, ou ordem 3, temos f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Essa função é representada por uma
hipérbole. E assim ocorre sucessivamente.
2. Trigonometria
Dado um triângulo qualquer, sabe-se que a soma de seus ângulos internos é 180º.
β
α + β + γ = 180º
α
γ
Denomina-se triângulo retângulo aquele que possui um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90º.
α + β + 90º = 180º
α
α + β = 90º
h (Hipotenusa)
Cateto a
β
Cateto b
ângulo de 90º
A soma de α e β é 90º e, por isso, são chamados complementares. Cada triângulo retângulo é
formado por um ângulo de 90º e um par de ângulos complementares.
Denominamos cateto adjacente a um ângulo como o lado do triângulo localizado entre o vértice
correspondente e o ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. O terceiro lado é o
chamado cateto oposto.
O cateto a é adjacente a α e oposto a β.
O cateto b é adjacente a β e oposto a α.
Relação de Pitágoras
Apesar de ser comprovado que os egípcios já trabalhavam com as relações entre os lados do triângulo
retângulo muitos séculos antes dos gregos, a fórmula mais notável é conhecida como a relação de
Pitágoras. Aliás, sabemos que sem vários conceitos de cálculo avançado, os quais a ciência ocidental só
desenvolveu nos últimos séculos, os egípcios não teriam capacidade de construir as pirâmides.
Sendo h a hipotenusa do triângulo retângulo, a e b os seus catetos, temos que:
h2 = a 2 + b2
Costuma-se dizer também que “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
Triângulos semelhantes
Dois triângulos são semelhantes se e somente se têm os mesmos ângulos. Isso equivale também dizer
que eles têm lados proporcionais. Por exemplo, vamos considerar dois triângulos semelhantes, com fator
de semelhança igual a k.
β
c
β
a
a’
c’
α
γ
b
α
γ
b’
Temos então que:
a' b' c'
= = =k
a b c
Pode-se provar que a razão entre as áreas dos triângulos é k2.
Relações trigonométricas
Em um triângulo retângulo, podemos definir as seguintes relações trigonométricas para um ângulo
qualquer θ:
cateto oposto a θ
sen θ =
hipotenusa
cateto adjacente a θ
cos θ =
hipotenusa
cateto oposto a θ
tg θ =
cateto adjacente a θ
Essas funções são chamadas seno, co-seno e tangente, respectivamente. A tangente de θ pode ser
reescrita como a razão entre seno e co-seno:
cateto oposto a θ
(cateto oposto a θ) ÷ ( hipotenusa)
sen θ
tg θ =
=
=
cateto adjacente a θ (cateto adjacente a θ) ÷ ( hipotenusa) cos θ
No exemplo inicial de triângulo retângulo, tínhamos:
a
= cos α = sen β
h
b
= sen α = cos β
h
1
b
= tg α =
tg β
a
1
a
= tg β =
tg α
b
Dica: Para lembrar:
• O seno de um ângulo é a razão entre o cateto separado e a hipotenusa.
• O co-seno de um ângulo é a razão entre o cateto colado e a hipotenusa.
• A tangente é a razão entre os dois anteriores.
Repare que o seno de um ângulo é igual ao co-seno do ângulo complementar a ele. Além disso, a
tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente do ângulo complementar a ele. Exprimimos essas
relações da seguinte forma:
sen θ = cos ( 90º −θ )
cos θ = sen ( 90 − θ )
α
b'
tg θ =
As funções seno, co-seno e tangente são associadas
unicamente ao ângulo, independentemente do triângulo
em que eles se encontram.
a’
α
Vamos tomar como exemplo dois triângulos
retângulos semelhantes. Vamos colocá-los sobrepostos,
como mostra a figura ao lado:
a
b
c
−1
1
= ( tg ( 90º −θ ) )
tg ( 90º −θ )
β
β
Chamando de k o fator de semelhança, temos:
a ' = ka
b ' = kb
c ' = kc
c'
Para o triângulo menor temos:
sen α =
c
a
Para o triângulo maior temos:
sen α =
c ' k.c c
=
=
a ' k .a a
Isso mostra que o seno é função exclusiva do ângulo. De forma análoga, pode-se mostrar o mesmo
para as funções co-seno e tangente.
Outra relação importante pode ser mostrada a partir da equação de Pitágoras. Vamos considerar o
triângulo menor do exemplo acima:
b2 + c 2 = a2
Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por 1 2 :
a
1
( b2 + c 2 ) × a 2 = a 2 × a12
No segundo termo, ocorre o cancelamento. No primeiro, faremos a distribuição:
b2 c2
+
=1
a2 a2
2
2
b c
  +  =1
a a
E, portanto:
sen 2 β + cos 2 β = 1
Isso vale para qualquer ângulo.
O triângulo 90º - 45º - 45º
Consideremos um quadrado de lado L, e sua diagonal d. A diagonal “corta” o ângulo de 90º em dois
pedaços iguais de 45º cada.
L
45º
45º
L
d
45º
L
45º
L
Vamos “recortar” a metade do quadrado. Teremos:
45º
d
L
45º
L
Por Pitágoras, podemos calcular d em função de L:
d 2 = L2 + L2 = 2.L2
d=L 2
Agora podemos calcular para o ângulo de 45º:
L
sen 45º = cos 45º =
L 2
sen 45º
=1
tg 45º =
cos 45º
=
1
2
=
2
2
O triângulo 90º - 30º - 60º
30º 30º
L
L
h
60º
Consideremos um triângulo eqüilátero (lados iguais e ângulos de
60º) de lado L, e a altura h, que “corta” o ângulo superior de 60º em
dois pedaços iguais de 30º cada, e que divide o lado oposto (a base do
triângulo) em dois segmentos iguais a L 2 cada.
60º
L 2
L 2
Vamos recortar a metade do triângulo. Teremos:
Por Pitágoras, podemos calcular a altura h:
2
L2
L
L2 = h 2 +   ∴ L2 = h 2 +
4
2
2
2
L
3L
=
h 2 = L2 −
4
4
3
h=L
2
As relações trigonométricas para esse triângulo são as seguintes:
3
L
h
3
2
sen 60º = cos 30º = =
=
2
L
L
L2 1
h cos 60º = sen 30º = L = 2
sen 60º = cos 30º = =
L
h
sen 60º
=
= 3
tg 60º =
cos 60º L 2
30º
L
h
60º
L 2
tg 30º =
sen 30º
1
1
3
=
=
=
cos 30º tg 60º
3
3
O triângulo limite 90º - 90º - 0º
Vamos considerar um triângulo retângulo, como a seguir:
α
a
b
β
c
Procuraremos diminuir a abertura de α e, ao mesmo tempo, estaremos aumentando β. Isso se dará
“fechando” o lado a, conforme indica a seta. Faremos isso, até que α fique bem próximo de 0º e,
obviamente, β fique bem próximo de 90º.
α
a
b
β
c
Repare que no caso limite, isto é, quando α estiver infinitamente próximo de 0º e,
portanto, β estiver infinitamente próximo de 90º, se mantivermos o lado b constante, o
lado c tenderá a valer zero, ao passo que o lado a tenderá a valer o mesmo que b.
Assim, temos:
c 0
sen α = cos β = ≈ = 0 ∴ sen 0º = cos 90º = 0
a a
b b
cos α = sen β = ≈ = 1∴ sen 90º = cos 0º = 1
a b
Relações trigonométricas dos ângulos notáveis
Vamos ver agora uma forma simples de lembrar das funções trigonométricas dos ângulos notáveis
entre 0º e 90º (ângulos agudos, ou ângulos do 1º quadrante), como um resumo do que vimos até agora.
Construa a seguinte tabela:
0º
30º
45º
60º
90º
sen
cos
tg
Comece preenchendo-a, em todas as células das duas primeiras linhas, com o seguinte:
um espaço dentro da raiz, ele será completado depois. Deve ficar assim:
0º
30º
45º
sen
2
2
2
cos
2
2
2
tg
2
. Deixe
60º
90º
2
2
2
2
Agora, na linha dos senos, preencha as lacunas, da esquerda para a direita, com 0, 1, 2, 3 e 4. Na
linha dos co-senos, faça o mesmo, porém da direita para a esquerda.
Teremos o seguinte:
sen
cos
0º
30º
45º
60º
90º
0
1
2
3
4
4
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
0
2
2
tg
Agora, simplifique as expressões e calcule a tangente de cada ângulo como a razão entre o seu seno e
o seu co-seno.
0º
30º
45º
60º
90º
0
1
sen
1
3
2
2
2
2
1
0
cos
1
3
2
2
2
2
0
1
tg
3
∃ tg 90º
1
= 3
3
3
Repare que para calcular a tangente de 90º, precisamos realizar uma divisão por zero.
indeterminado, se x = 0
x 
=
0 indefinido (não existe), se x ≠ 0
Portanto, a tangente de 90º não existe. Você pode perceber, no entanto, através do triângulo limite de
90º - 90º - 0º, que conforme aumentamos o ângulo β e mais próximo ele fica de 90º, mais sua tangente
cresce, tendendo ao infinito.
O círculo trigonométrico
Com os métodos dos quais dispomos
até agora, não nos seria possível calcular o
valor de qualquer uma das três relações
trigonométricas principais para ângulos
maiores que 90º. Para isso, precisamos criar
um método mais genérico, capaz de
englobar mais casos.
Dessa forma, vamos construir um
círculo de raio 1, com centro na origem de
um par de eixos cartesianos, conforme a
figura ao lado. Ao longo do círculo,
distribuiremos os ângulos de 0º a 360º.
Teremos, portanto, a seguinte localização
dos ângulos:
• Para 0º, x = 1 e y = 0
• Para 90º, x = 0 e y = 1
• Para 180º, x = –1 e y = 0
• Para 270º, x = 0 e y = –1
• Para 360º, x = 1 e y = 0 (o que
coincide com 0º)
y
90º
1º quadrante
2º quadrante
R=1
180º
x
0º ≡ 360º
0
3º quadrante
4º quadrante
270º
Vamos começar usando o círculo trigonométrico para calcular o seno e o co-seno de ângulos do
primeiro quadrante. Inicialmente, vamos construir uma abertura de ângulo α a partir do ponto definido
como 0º. Construímos também um triângulo retângulo com essa abertura, onde o raio é a hipotenusa (=
1). Repare que o ponto do círculo que representa α tem coordenadas x0 e y0 tais que:
• x0 é equivalente à medida do cateto adjacente a α
• y0 é equivalente à medida do cateto oposto a α.
y
Isolando o triângulo retângulo da
figura, podemos obter as seguintes
relações:
90º
α
y0
1
y0
1
α
180º
x
α
0
x0
0º ≡ 360º
x0
y0
= y0
1
x
cos α = 0 = x0
1
y0
tg α =
x0
sen α =
Ou seja, ao inserirmos um ângulo
qualquer no círculo trigonométrico,
“abrindo” a hipotenusa do triângulo
270º
retângulo a partir do ponto 0º, teremos
o seno (projeção em y) e o co-seno
(projeção em x) do mesmo. Por isso,
chamamos o eixo y de eixo dos senos e o eixo x de eixo dos co-senos. Simplificando, para calcular o seno
e o co-seno de um ângulo α, basta fazer as projeções, como a seguir:
sen
90º
α
sen α
1
180º
cos
α
0
0º ≡ 360º
cos α
270º
sen
90º
α
sen α
1
180º
cos
cos α < 0
0º ≡ 360º
0
270º
Exercício 2.2.1: Determine o seno
e o co-seno de 150º.
Solução: Repare que “abrir” 150º a
partir de 0º no sentido anti-horário
(convencional) é o mesmo que “abrir”
30º a partir de 180º no sentido horário.
Veja:
Esse exemplo mostra claramente a
utilidade
do
uso
do
círculo
trigonométrico. Como não é possível
construir um triângulo retângulo com
um ângulo de 150º, plotamos esse
ângulo no gráfico e vemos qual é sua
projeção sobre o 1º quadrante. Nesse
caso, o eixo dos senos serve como um
espelho. Os senos de 150º e 30º são
iguais e seus co-senos são simétricos.
Assim, temos:
Repare
que
quando
“fechamos” α até fazer com que
valha 0º, seu co-seno aumenta até
1 e seu seno diminui até zero.
O
processo
inverso,
“abrindo” α até que valha 90º, faz
com que seu seno aumente até
que valha 1 e seu co-seno
diminua até que valha 0.
Vamos
agora
continuar
aumentando α de forma que ele
seja maior que 90º. O seno volta a
ser menor que 1 e, agora, a
projeção sobre o eixo dos cosenos fica à esquerda da origem.
Como
tomamos
como
pressuposto que a reta está
orientada para a direita, os valores
à direita de 0 são positivos e à sua
esquerda são negativos. Por isso,
quando α começa a ser maior que
90º, o co-seno começa a ficar
negativo. Quando mais α se afasta
de 90º e, portanto, se aproxima de
180º, mais o seno diminui,
aproximando-se de 0, e mais
negativo
fica
o
co-seno,
aproximando-se de -1. Veja como
isso fica representado na figura ao
lado. Podemos, portanto, dizer
que sen180º = 0 e cos180º = −1 .
Analogamente,
podemos
fazer α > 180º. Para ângulos do
terceiro quadrante, tanto os senos
(abaixo da origem) quanto os cosenos (à esquerda da origem) são
negativos. Assim, sen 270º = −1 e
cos 270º = 0 .
No quarto quadrante, os
senos continuam negativos e os
co-senos voltam a ser positivos.
sen
90º
150º
180º
30º
30º
30º
0
270º
cos
0º ≡ 360º
sen150º = sen 30º = 1
2
cos150º = − cos 30º = − 3
2
Podemos tomar a seguinte regra geral:
sen (180º −θ ) = sen θ
cos (180º −θ ) = − cos θ
Exercício 2.2.2: Determine o seno e o co-seno de 300º.
Solução: Repare que “abrir” 300º a partir de 0º no sentido anti-horário (convencional) é o mesmo
que “abrir” 60º a partir de 360º no sentido horário. Veja:
sen
90º
180º
60º
60º
0
cos
0º ≡ 360º
60º
300º
Agora, temos um ângulo do 4º
quadrante, que novamente projetamos
para 1º. O eixo dos co-senos serviu
como espelho e, portanto, os ângulos
60º e 300º têm o mesmo co-seno, e
senos simétricos.
Por isso, podemos escrever:
cos 300º = cos 60º = 1
2
sen 300º = − sen 60º = − 3
2
Podemos tomar a seguinte regra
geral:
cos(360º −θ) = cos θ
sen(360º −θ) = − sen θ
270º
Exercício 2.2.3: Determine o seno e o co-seno de 225º.
Este exercício será deixado para a prática do leitor.
3. Conclusão
Nesse capítulo, não prosseguimos com o estudo da física propriamente dito. Fomos obrigados a
concretizar alguns conceitos matemáticos essenciais para a continuidade da teoria do movimento. No
próximo capítulo, colocaremos em prática algumas das idéias expostas anteriormente, ao abordar a
cinemática escalar através dos gráficos cartesianos.