Corrente Alternada

Fundação Universidade Federal do Rio Grande
Colégio Técnico Industrial - Professor Mário Alquati
Curso de Projetos e Instalações Elétricas
Prof. Osvaldo Casares Pinto
Rio Grande, 2005.
1
COLÉGIO TÉCNICO INDUSTRIAL – FURG
Curso de Projetos Elétricos – Prof. Osvaldo Casares Pinto
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Com a descoberta de Oersted em 1820 (Hans Christian Oersted, Dinamarquês, 1777-1851) dos
efeitos magnéticos da corrente elétrica, e a lei de Ampère (André Marie Ampère, Francês, 1775-1836)
aprendeu-se que uma corrente elétrica origina um campo magnético. Em 1831, Faraday (Michael
Faraday, Inglês, 1791–1867) descobriu o inverso. Isto é, um campo magnético pode criar uma corrente
elétrica. Isso é possível através do surgimento de uma força eletromotriz (fem) induzida.
Experiência de Faraday:
Em seu trabalho, Faraday realizou duas experiências simples:
1a) Colocando-se um ímã fixo nas proximidades de uma espira nenhuma
corrente foi detectada pelo galvanômetro acoplado a mesma. Observou-se
ainda que movimentando o ímã em relação à espira houve deflexão no
galvanômetro indicando presença de corrente, cujo sentido inverte-se com a
inversão do sentido do movimento.
S
±
2a) Estando duas espiras independentes próximas, uma delas acoplada a
uma pilha e com um interruptor no circuito, e a outra acoplada a um
galvanômetro, só houve deflexão no mesmo durante os instantes de
abertura e fechamento do interruptor.
Conclusão: Somente quando há variação de fluxo no interior da espira é induzida uma força
eletromotriz (fem) responsável pelo aparecimento de corrente.
Lei de Faraday (da indução)
“A fem induzida em um circuito é diretamente proporcional à taxa de variação do fluxo
magnético concatenado a este (que o atravessa) com o tempo”.
dφ
ε=
ε - módulo da fem induzida instantânea em volts [V]
dt
dφ
- taxa de variação do fluxo magnético com o tempo (Wb/s)
dt
∆φ
ε=
ε − módulo da fem induzida média em volts
∆t
∆φ
- variação média do fluxo magnético com o tempo (Wb/s)
∆t
Lei de Lenz
A relação entre o sentido da corrente elétrica induzida em um circuito fechado e o campo
magnético variável que a induz foi estabelecida pelo físico russo Heinrich Lenz (1804-1865) em 1834.
Ele observou que "a corrente elétrica induzida sempre produz efeitos opostos a causa da indução”.
Mais especificamente, Lenz estabeleceu que o sentido da corrente elétrica induzida é tal que o campo
magnético criado por ela opõe-se à variação do campo magnético que a produziu. Em outras palavras,
para gerar uma corrente induzida, é necessário gastar energia. Uma forma simples e geral de enunciar a
Lei de Lenz é:
“A fem induzida tem sempre um sentido tal que provoque uma corrente que se
A lei de Lenz pode ser acoplada a de Faraday por meio de
oponha a ao fenômeno que a produziu.”
um sinal negativo:
dφ
∆φ
ou
ε =−
ε =−
dt
∆t
2
Observação: A lei de Lenz é conseqüência do princípio da conservação de energia. Caso
ocorresse o contrário, um fluxo reforçaria o outro, aumentando a corrente indefinidamente.
A figura seguinte ilustra uma aplicação da lei de Lenz.
I
I
N
S
S
N
S
S
Fem de Movimento:
Um condutor em movimento cortando as linhas de força de um
campo magnético também terá uma fem induzida, conhecida como “fem de
movimento”.
Vamos examinar essa questão a partir do problema esquematizado na
figura ao lado. Nesta região do espaço existe um campo magnético, B, com
o sentido indicado (para dentro da folha). Uma placa metálica é deslocada,
por um agente externo qualquer (não importa qual), com velocidade
uniforme, v, perpendicularmente a B. Os elétrons livres da placa estarão
submetidos a uma força magnética com intensidade dada por
F = qvB
cujo sentido aponta para baixo (regra da palma da mão direita). Logo haverá um excesso de carga
negativa na parte inferior da placa e uma quantidade igual de carga positiva na parte superior
(diferença de potencial), produzindo uma fem. Diz-se que essa fem foi induzida pelo movimento das
cargas. Vejamos quanto vale essa fem.
W = Fh é o trabalho necessário para transportar uma carga de uma extremidade à outra da
placa. Como a fem é dada por
ε = W/q
segue-se que ε = vBh.
Conclui-se que um condutor de comprimento deslocando-se
perpendicularmente a um campo uniforme B terá induzida uma fem
dada por
ε=B v
Analisemos o mesmo problema de outra forma. Vamos imaginar
que a placa metálica desliza sobre um trilho metálico, conforme ilustra a
figura ao lado. Quando a placa é deslocada, a área hachuriada varia,
variando o fluxo de B, φB = BS, S = hx, através dela. A variação do
fluxo em relação ao tempo t resulta em
Logo, a variação temporal do fluxo magnético é numericamente igual à força eletromotriz
induzida pelo movimento, isto é,
Como a carga positiva acumula-se na parte superior, a corrente resultante da fem induzida tem
o sentido indicado na figura, o que também pode ser concluído aplicando-se a Lei de Lenz, isto é,
como o fluxo magnético está crescendo, a corrente induzida terá o sentido anti-horário para criar um
campo magnético contrário ao campo B e opor-se à variação do fluxo magnético.
3
Caso a placa fosse deslocada para a esquerda, o sentido da corrente seria o oposto do
representado, pois o fluxo magnético estaria decrescendo, de modo que a corrente no sentido horário
produziria um campo magnético no mesmo sentido do campo aplicado, de modo a opor-se à
diminuição do seu fluxo.
x
→
Espira Sofrendo Translação
v
Considere agora uma espira retangular deslocando-se na horizontal
com velocidade constante v (em MRU) para fora de uma região onde há
um campo magnético uniforme vertical B entrando no plano (figura ao
lado).
B
Quando a espira é deslocada, a área cortada pelo fluxo magnético
varia, variando o fluxo, φ = BS, S = x, através dela. Da mesma forma que no caso analisado
anteriormente, a variação do fluxo em relação ao tempo resulta na indução de uma fem dada por:
ε = B v.
Observe que a expressão é idêntica a obtida para um condutor de comprimento deslocando-se
perpendicularmente a um campo uniforme B, isto é, somente é induzida fem no lado da espira que se
move cortando as linhas de B.
Como conseqüência desta fem, surgirá uma corrente na espira com intensidade dada pela Lei de
Ohm, i = ε/R, no sentido anti-horário (Lei de Lenz), e uma força que se opõe ao movimento da mesma,
com intensidade F = i B.
Logo, a potência dissipada pelo agente externo, P = Fv, será dada por: P = B 2 l 2 v 2 R , igual a
potência elétrica dissipada por efeito Joule, P = R i 2 , evidenciando o processo de transformação de
energia mecânica em elétrica e, finalmente, em térmica.
Correntes de Foucault
As correntes fechadas induzida em condutores sólidos (ou extensos, de grandes áreas)
submetidos a uma variação de fluxo magnético são chamadas de corrente de Foucault ou correntes
parasitas. Em geral, estas correntes são indesejáveis, pois causam aquecimento e aumento de perdas
(conhecidas como perdas no núcleo ou no ferro, da mesma forma que as perdas por histerese),
diminuindo o rendimento dos equipamentos.
Os núcleos de motores, geradores e transformadores quase sempre são compostos de laminas
isoladas eletricamente entre si, dispostas paralelamente ao sentido do fluxo magnético, no lugar de
blocos maciços. Deste modo, há uma redução na área que as correntes de Foucault tem para se
desenvolver, minimizando seus efeitos.
Porém, em algumas situações pode-se tirar proveito deste fenômeno, pois estas correntes
produzem forças que se opõem ao movimento (Lei de Lenz), tendendo a amortecê-lo. Seguem alguns
exemplos:
1. Em alguns instrumentos de medição o sistema de amortecimento utiliza este processo para evitar
choques do ponteiro com o final da escala.
2. Os medidores de energia utilizam este princípio para frear a rotação do disco (freio
eletromagnético).
3. Máquinas para separar materiais metálicos não-ferrosos de materiais não-metálicos, por indução
magnética de correntes parasitas (de Foucault) sobre os materiais metálicos.
4. Em diversas aplicações, são necessárias velocidades intermediárias nos acionamentos industriais,
seja para ajuste de posições, seja para aceleração/desaceleração suaves. Os freios eletromagnéticos
(dinâmicos), acoplados diretamente a motores com rotor bobinado, reduzem a velocidade quase que
independentemente da carga por ação de correntes de Foucault. Levam vantagem sobre de freios
mecânicos por não envolver atrito entre componentes.
4
Auto-Indução
Chama-se de auto-indução ao fenômeno relacionado a indução de fem em um circuito devido a
uma variação de fluxo magnético produzida pelo próprio circuito.
Uma corrente elétrica percorrendo uma bobina origina um fluxo magnético. Quando varia a
corrente nas espiras, de acordo com a lei de Faraday, induz-se o surgimento de uma fem na bobina,
com intensidade diretamente proporcional a variação da corrente com o tempo. Como se trata de uma
fem induzida por uma corrente na própria bobina, diz-se que esta fem é auto-induzida. Portanto, tem-se
uma auto-indução, que deve satisfazer às seguintes relações
ε
L
= −L
di
dt
ε
e
L
= −N
dφ
dt
onde εL é a fem de auto-indução, e L é definido como o Coeficiente de Auto-Indução ou Indutância,
cuja unidade no S.I. é chamada de Henry e representado pela letra H. Igualando-se as duas últimas
expressões, obtém-se
L=N
dφ
di
Caso as espiras encontrem-se fortemente acopladas e na ausência de material magnético nas
vizinhanças, pode-se calcular L por:
L=N
φ
i
O coeficiente de auto-indução depende das características da bobina e é constante para uma
dada bobina. No caso de um solenóide ideal, pode-se mostrar que:
L=
µ0 N 2S
l
ou ainda,
L = µ 0 n 2 Sl
Nos circuitos de C.A., todo elemento que possui bobinas tem características indutivas, além da
resistiva, correspondente a resistência do fio. Assim, uma bobina é representada por um circuito R-L.
Observação: já foi visto que o capacitor é um dispositivo apropriado para gerar um campo
elétrico e que uma corrente elétrica circulando numa bobina cria um campo magnético. Este
dispositivo está para o magnetismo assim como o capacitor está para a eletricidade. Há uma completa
analogia entre os dois dispositivos.
Indução Mútua
Chama-se de indução mútua ao fenômeno relacionado a indução de fem em um circuito devido
a uma variação do fluxo concatenado a ele porém produzido por outro circuito, e vice-versa.
Considere duas bobinas próximas. A bobina 1 será chamada de indutora (primária) enquanto
que a bobina 2 será chamada de induzida (secundária). Se houver variação da corrente elétrica na
bobina 1, i1, haverá a variação do fluxo magnético produzido por ela no interior da bobina 2, φ21, com o
conseqüente aparecimento de uma fem induzida nesta, diretamente proporcional a variação da
corrente, dada por
ε 2 = − M 21
di1
dt
onde M21 é o coeficiente de indução mútua da bobina 2 em relação a bobina 1, cuja unidade no S.I. é a
mesma da indutância, isto é, Henry. Esta fem também pode ser calculada pela Lei de Faraday,
ε 2 = −N2
dφ 21
dt
5
dφ 21
d i1
De maneira análoga, uma variação da corrente na bobina 2 causará o aparecimento de uma fem
di
induzida na bobina 1, ε 1 = − M 12 2 , onde M12 é o coeficiente de indução mútua da bobina 1 em
dt
dφ
relação a bobina 2, dado por M 12 = N 1 12 .
d i2
O cálculo de M depende da geometria do sistema. Quando todo o fluxo de uma das bobinas
atravessa a outra, as espiras encontrem-se fortemente acopladas e, na ausência de material magnético,
pode-se calcular M por:
Igualando-se estas duas últimas expressões, obtém-se
M = Ns
M 21 = N 2
φ sp
ip
onde utilizou-se os sub-índices s e p para indicar as bobinas secundária e primária, respectivamente.
Considerando-se o caso de solenóides ideais, pode-se mostrar que:
M sp =
µ0 N s N p Ss
lp
M sp = µ 0 n s n p S s l s
ou
Observe que o coeficiente de indução mútua, da mesma forma que o de auto indução, depende
da geometria do sistema.
Princípio de Funcionamento de um Transformador
O transformador é um equipamento que, basicamente, se constitui de duas bobinas montadas
sobre um mesmo núcleo ferromagnético. Numa bobina, chamada primário, circula uma corrente
elétrica variável i, capaz de provocar, no seu interior, uma indução magnética B, também variável e, a
partir desta (ampliada e canalizada em grande parte pela substância ferromagnética, também
denominada armadura), induzir numa segunda bobina, chamada secundário, uma fem.
Sejam φ1 e φ2, respectivamente, os fluxos no interior das bobinas 1 e 2. Cada um terá
componentes produzidas pela própria bobina e pela outra, isto é, φ1 = φ11 + φ12 e φ 2 = φ 21 + φ 22 . A fem
induzida em cada bobina será, segundo a Lei de Faraday,
ε 2 = −N2
∆φ 2
∆φ
e ε1 = − N1 1
∆t
∆t
Desenvolvendo, obtém-se:
ε1 = − N1
ε 2 = −N2
∆φ11
∆φ
∆φ ∆i
∆φ ∆i
∆i
∆i
− N 1 12 = − N 1 11 1 − N 1 12 2 = − L1 1 − M 12 2
∆t
∆t
∆i1 ∆t
∆i2 ∆t
∆t
∆t
∆φ 21 ∆i1
∆φ 22 ∆i2
∆i
∆i
∆φ 21
∆φ 22
− N2
= −N2
− N2
= − M 21 1 − L2 2
∆t
∆t
∆i1 ∆t
∆i 2 ∆t
∆t
∆t
Observe que parte da fem induzida em cada bobina é por auto-indução e parte por indução
mútua.
Para um núcleo toroidal, com as bobinas fortemente acopladas, sem dispersão, o fluxo no
interior de cada uma é igual. Admitindo ainda comprimentos e áreas iguais, resulta em:
L1 = µn1 Sl , L2 = µn2 Sl e M 12 = M 21 = µn1 n 2 Sl
2
2
Observe que M 12 = M 21 = L1 L2 , que substituída nas expressões que dão a fem induzida em
cada bobina resulta em:
ε 1 N1
=
ε 2 N2
6
que é chamada de relação de transformação do transformador. Desprezando-se as perdas, a potência no
primário e secundário é igual (transformador ideal), isto é, ε 1 I1 = ε 2 I 2 e, finalmente,
ε 1 N1 I 2
=
=
ε 2 N 2 I1
Observe que na prática sempre há perdas, e a relação acima não é exata. Mas o transformador é
uma das máquinas elétricas que tem melhor rendimento, de modo que a relação, mesmo desenvolvida
para um transformador ideal, fornece resultados muito próximos do real.
Princípio de Funcionamento de um Alternador - Espira Sofrendo Rotação
O gerador de corrente alternada, geralmente chamado de alternador, é uma aplicação da
indução eletromagnética. Por meio desse dispositivo, consegue-se converter energia mecânica em
energia elétrica. Para entender como funciona um gerador de corrente alternada, vamos supor que ele
seja constituído de uma espira (na verdade tem-se um conjunto de bobinas) girando numa região onde
existe um campo magnético produzido por um par de pólos (na realidade podem ser vários pares).
Enquanto a espira gira, podemos perceber que há uma variação do fluxo magnético através dela. Isto
ocorre porque a inclinação da espira, em relação ao campo magnético, está variando continuamente.
Então uma força eletromotriz é induzida na espira, gerando uma corrente. Durante uma meia-volta da
espira, o fluxo magnético através dela está aumentando e, ao efetuar a meia-volta seguinte, o fluxo está
diminuindo. Por esse motivo, a corrente induzida aparecerá, no circuito, ora em um sentido, ora em
sentido contrário. Em outras palavras, a espira girando dentro de um campo magnético gera uma fem
alternada, que pode produzir corrente alternada. Os grandes geradores de corrente alternada,
encontrados nas usinas hidrelétricas, funcionam de maneira semelhante à que acabamos de descrever.
A energia de uma queda d'água é usada para colocar em rotação estes geradores, transformando, então,
grandes quantidades de energia mecânica em energia elétrica. Nos dínamos de bicicletas, as pernas do
ciclista fazem girar um imã permanente dentro de uma bobina. A variação do campo magnético à volta
do imã giratório induz na bobina uma corrente elétrica, suficiente para acender as lâmpadas dos faróis.
O processo de geração de corrente alternada é explicado abaixo.
Considere a hipótese de uma bobina de N espiras de área S (m2), girando a uma velocidade
angular constante ω (rad/s), imersa
vale
B B (T). Observe
ω
B num campo magnético uniforme cuja indução
que girar o campo mantendo a bobina fixa produz o mesmo efeito.
α
N
S
N
S
a
ω
b
S = a.b
O ângulo formado entre a normal ao plano da espira e o campo será dado por α = ω.t, de modo
que o fluxo magnético através da mesma será φ = B.S.cosα = B.S.cos(ω.t). Aplicando-se a Lei de
d (cos ω t )
dφ
Faraday, ε = − N
, como
= −ω sen ω t (cálculo de derivadas, encontrado em tabelas
dt
dt
matemáticas), vem que a fem induzida na bobina será dada por ε = NBSω sen(ω t ) .
O valor máximo da fem induzida ocorre
quando cos(ω.t) = 1, isto é, εmax = NBSω, e
ε = ε max sen(ω t ) . A curva ao lado mostra um
exemplo de representação gráfica da fem
induzida ao longo do tempo, uma onda senoidal.
7
Na realidade a forma da onda depende da distribuição do fluxo magnético, que por sua vez depende da
forma da sapata polar. Em geral a forma de uma onda não é absolutamente senoidal, mas como a fem
resultante na saída de um alternador é obtida a partir da soma das contribuições de várias bobinas, o
resultado é uma onda praticamente senoidal. Este é o tipo de onda utilizado usualmente em corrente
alternada.
Outras formas de onda podem ser utilizadas com finalidades específicas, principalmente em
aplicações eletrônicas, como os exemplos mostrados abaixo.
Onda
Triangular
Onda
Retangular
Características importantes de uma onda (função) periódica
Freqüência (f) – corresponde ao número de ciclos que a onda completa na unidade de tempo (Hz =
Hertz = ciclo/s = s-1).
f =
ω
2π
Observe que a freqüência elétrica pode ser diferente da freqüência mecânica (número de voltas
completadas na unidade de tempo, rotações por segundo, rps), pois aquela depende do número de
pólos do alternador (° elétrico = p/2.° mecânico, onde p é o número de pólos). A freqüência elétrica é
igual ao número de vezes que cada condutor passa sob um pólo de mesmo nome na unidade de tempo.
Período (T) – corresponde ao tempo (s) que a onda leva
para executar um ciclo completo. É igual ao inverso da
1 2π
freqüência.
T= =
ω
f
Valor de pico ou máximo (Vmáx ou simplesmente Vm)–
corresponde ao máximo valor atingido pela onda ao longo
do período, como mostra a figura ao lado.
v [V]
Vmáx
t [s]
– Vmáx
Valor instantâneo (v)– corresponde ao valor atingido pela
onda em um determinado instante, isto é, em um tempo
dado.
T
Uma onda pode ser representada matematicamente como uma função do tempo por uma
expressão do tipo:
v(t) = Vm.sen(ωt)
Valor Eficaz (V) matematicamente, o valor eficaz ou valor médio quadrático (do termo em inglês
rms, root mean square) de uma grandeza periódica é igual a raiz quadrada da média dos valores
elevados ao quadrado em um período. Fisicamente, o valor eficaz de uma grandeza alternada
corresponde ao valor constante da grandeza que produz o mesmo efeito. O valor eficaz de uma
corrente alternada, por exemplo, corresponde ao valor de uma corrente constante que, percorrendo uma
dada resistência, faria com que esta dissipasse a mesma quantidade de potência que esta corrente
alternada. As indicações de tensões e correntes através de instrumentos de medição, bem como aquelas
indicadas em placas e na especificação de máquinas e equipamentos, correspondem aos seus valores
eficazes.
8
Para a onda senoidal v(t) = Vm.sen(ωt), o valor eficaz corresponde a:
π /ω
V=
∑ ∆t.(v(t))
t =0
T/2
2
=
Vm
2
≅ 0,707.Vm
Valor Médio - O valor médio de uma grandeza periódica corresponde a média dos valores em um
período. O valor médio de uma tensão ou corrente senoidal é calculado apenas para um semiciclo pois
tomando-se o ciclo inteiro este seria nulo (parcela positiva é igual à negativa). O cálculo é feito
dividindo a área do semiciclo positivo pelo semi-período.
π /ω
Vméd =
∑ v(t).∆t
t =0
T/2
=
2
π
Vm ≅ 0,637. Vm
Fator de Forma (k)– É definido como a razão entre os valores eficaz e
médio. Para uma onda senoidal: k =
π
2 2
≅ 1,111 .
i [mA]
3
Exemplo: Determine a freqüência e o período do sinal de corrente
alternada apresentado graficamente na figura ao lado, bem como sua
representação matemática. Calcule também o valor instantâneo da
corrente nos instantes t = 0 s; 5ms; 10ms, 12ms, 15ms, bem como os –3
valores médio, eficaz e o fator de forma.
0,04
t [s]
) – ocorre quando uma onda senoidal não inicia no instante t = 0 s.
Fase Inicial ou ângulo de fase (θ
v o[V]
θo
Sinal Atrasado
(+)
ωt [rad]
θo
Sinal Adiantado
( )
Sinal Adiantado – Inicia antes do instante t = 0s, θ0 é positivo. Atinge o valor máximo antes.
v(t) = Vmáx.sen(ωt + θ0)
Sinal Atrasado – Inicia depois do instante t = 0s, θ0 é negativo. Atinge o valor máximo depois.
v(t) = Vmáx.sen(ωt – θ0)
Exercícios: 1) Represente graficamente a tensão cuja representação matemática é v(t) =
28,28.sen(377t – 30o) V. Calcule seus valores médio e eficaz. (18V; 20V)
2) Determine a representação matemática de um sinal senoidal de corrente cujo valor eficaz é
de 120mA, a freqüência é de 50Hz e tem ângulo de fase de 20o. Represente-a graficamente. (i(t) =
169,71.sen(314,16t + 20o)mA)
3) Calcule os valores eficaz e médio para uma tensão representada por v(t) = 353,5.cos(157t).
Qual o ângulo de fase desta tensão? (250V; 225V; 90o)
9
Circuito Puramente Resistivo
Em um circuito puramente resistivo, alimentado com uma tensão alternada, a tensão e a
corrente estão em fase, isto é, tem o mesmo ângulo de fase. Admitindo-se que a tensão e corrente sobre
o resistor são, respectivamente, v(t ) = Vm sen(ω t ) e i (t ) = I m sen(ω t ) , sendo a relação entre elas dada
pela lei de Ohm, temos R = v(t)/i(t), logo R =Vm/Im ou R =V/I. Observe que preferencialmente usamos
valores eficazes para I e V, mas poderiam ser valores máximos.
1,5
v(t)
Resistor
i(t)
1
p(t)
0,5
E
R
0
0
I
1
2
3
4
5
6
-0,5
-1
-1,5
A potência instantânea é dada pelo produto da corrente pela tensão, isto é,
1
p(t ) = v(t ).i (t ) = Vm sen(ω t ).I m sen(ω t ) = Vm I m sen 2 (ω t ) = Vm I m (1 − cos(2ω t )) .
2
Observe que o período da potência p(t) é igual a metade do período da tensão e da corrente. A
potência máxima é Pm = Vm .I m e a média, como o valor médio de sen 2 (ω t ) é 1/2, vale
P = Vm .I m 2 = V .I = RI 2 = V 2 / R . Esta potência também é chamada de útil, real, eficaz ou efetiva, e é
característica dos circuitos resistivos e representa a parcela da energia que será transformada em calor
(efeito Joule), luz ou trabalho mecânico.
Circuito Puramente Capacitivo
O capacitor é um dispositivo usado para armazenar energia elétrica na forma de campo elétrico.
Basicamente, é constituído de duas placas metálicas planas e paralelas. Ao ser ligado a uma tensão, o
capacitor ficará carregado com a mesma tensão da fonte, armazenando uma carga Q cujo valor é
função da tensão aplicada e de uma característica do capacitor chamada de capacitância (C = dQ/dv).
Quando ligamos um capacitor em um circuito CC, inicialmente a corrente é máxima com tensão
nula no capacitor, isto é, existe uma defasagem entre a corrente e a tensão. Se um capacitor ideal (sem
resistência interna) for ligado à uma tensão alternada senoidal, a corrente estará 90º adiantada em
relação à tensão. Portanto, num circuito puramente capacitivo a tensão está atrasada de 90° em relação
a corrente.
Sendo a corrente em um determinado momento i(t) igual a variação instantânea da carga elétrica
com o tempo, i = dQ dt , vem i = C. dv dt . Portanto a corrente no capacitor é proporcional a
inclinação da curva da tensão com o tempo, isto é, igual a taxa de variação da tensão com o tempo (em
CC, com a tensão constante, dv dt = 0 , logo após as placas se carregarem, a corrente é nula ). O
capacitor não permite que a tensão varie bruscamente, fornecendo corrente para impedir que isto
ocorra.
Admitindo-se uma tensão senoidal sobre o capacitor v(t ) = Vm sen(ω t ) , a corrente será
i (t ) = I m cos(ω t ) , onde I m = ω CVm , ou 1 ω C = Vm I m = V I . Observe que 1 ω C tem a mesma
dimensão de R em um circuito resistivo (Ohm), representando a medida da oposição oferecida pelo
capacitor à passagem da corrente alternada, chamada reatância capacitiva, Xc, e calculada por:
10
XC =
1
1
=
2.π . f .C ω .C
1,5
v(t)
i(t)
p(t)
Capacitor
1
0,5
E
C
0
I
0
1
2
3
4
5
6
-0,5
-1
-1,5
A potência instantânea no capacitor, dada pelo produto entre corrente e tensão, é
1
p(t ) = v(t ).i (t ) = Vm sen(ω t ).I m cos(ω t ) = Vm I m sen(2ω t ) .
2
Observe que, como no resistor, o período da potência p(t) é igual a metade do período da tensão
e da corrente. Porém, diferentemente, a potência máxima é Pm = Vm .I m 2 e a potência média, como o
valor médio de sen(2ω t ) = 0 , é nula. Portanto um capacitor não dissipa potência útil (W), mas
alternadamente armazena e devolve potência (cargas e descargas). A potência do capacitor é chamada
reativa capacitiva, e tem como unidade VAr (Volt-Ampère reativo), servindo para manter o campo
elétrico entre as placas.
Q = VmC .I mC 2 = VC .I C = X C I C = VC / X C
2
2
Circuito Puramente Indutivo
Basicamente, um indutor é formado por um fio enrolado em forma de hélice em cima de um
núcleo que pode ser de ar ou de outro material, magnético ou não.
Quando uma tensão é aplicada a um indutor a corrente leva um certo tempo para crescer. A
explicação é o fenômeno chamado auto indução, já estudado ( v = − L. di dt ). Ao cessar a tensão,
novamente esse fenômeno vai atuar na bobina, não deixando a corrente se anular instantaneamente.
Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se opõe à variação de uma
corrente). Caso o núcleo seja ferromagnético a corrente demorará mais para aumentar (ou diminuir). A
indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da capacidade que tem o indutor de
armazenar energia no campo magnético, e a sua unidade se chama Henry (H). O valor da indutância
depende principalmente do número de espiras e do material usado no núcleo.
Um indutor ideal não tem resistência ôhmica, o que não é verdade na prática. Quando uma
tensão alternada senoidal é aplicada a um indutor ideal a corrente estará atrasada de 90º em relação à
tensão.
Seja agora um circuito puramente indutivo, alimentado com uma tensão alternada. Admitindose uma tensão senoidal sobre o indutor v(t ) = Vm sen(ω t ) , a corrente será i (t ) = − I m cos(ω t ) ,
V
onde I m = m
ω L , ou ω L = Vm I m = V I . De modo análogo ao visto no caso do capacitor, ω L tem a
mesma dimensão de R em um circuito resistivo (Ohm), representando a medida da oposição oferecida
pelo indutor à passagem da corrente alternada, chamada reatância indutiva, XL, e calculada por:
11
X L = 2.π . f .L = ω .L
1,5
v(t)
i(t)
p(t)
Indutor
1
0,5
E
L
0
I
0
1
2
3
4
5
6
-0,5
-1
-1,5
A potência instantânea no indutor, dada pelo produto entre corrente e tensão, é,
1
p(t ) = v(t ).i (t ) = −Vm sen(ω t ).I m cos(ω t ) = − Vm I m sen(2ω t ) .
2
Observe que, como no capacitor, o período da potência p(t) é igual a metade do período da
V .I
tensão e da corrente, a potência máxima é Pm = m m e a média é nula. Portanto o indutor também
2
não dissipa potência útil (W), mas alternadamente armazena e devolve potência, agora no campo
magnético. A potência do indutor é chamada reativa indutiva, e tem como unidade VAr (Volt-Ampère
reativo), servindo para manter o campo magnético.
QL = VmL .I mL 2 = VL .I L = X L I L = V L / X L
2
2
Circuito RLC Série:
Em um circuito RLC série, um indutor, um resistor e um capacitor estão ligados
em série, alimentados por uma fonte de tensão alternada. Como característica de todo
circuito série, a corrente será comum a todos os elementos, i (t ) = i R (t ) = i L (t ) = iC (t )
R
E
e a tensão aplicada igual a soma das tensões individuais, v(t ) = v R (t ) + v L (t ) + vC (t ) .
L
I
C
Admitindo-se uma corrente senoidal i (t ) = I m sen(ω t ) , as tensões serão,
respectivamente, v R (t ) = VR m sen(ω t ) , v L (t ) = VL m sen(ω t + 90 0 ) = VL m cos(ω t ) e
vC (t ) = VC m sen(ω t − 90 0 ) = −VC m cos(ω t ) .
A tensão total será dada pela soma das tensões nos três elementos:
v(t ) = VR m sen ω t + (VL m − VC m ) cos ω t . Como qualquer soma de termos senoidais (e co-senoidais) de
mesma freqüência pode ser combinado em um único termo senoidal, a tensão total também pode ser
expressa por v(t ) = Vm sen(ω t + φ ) , onde φ é o ângulo de defasagem entre corrente e tensão total.
Transformando-se
a
soma
em
produto
na
última
expressão,
obtém-se
v(t ) = Vm (sen ω t cos φ + cos ω t sen φ ) . Igualando-se os coeficientes correspondentes de sen ω t e
cos ω t obtém-se, respectivamente, as expressões VR m = Vm cos φ e V L m − VC m =Vm sen φ , que divididas
V − VC m
fornecem a relação tgφ = L m
.
VR m
Observe que estas relações correspondem a um triângulo retângulo
VL m − VC m
Vm
de hipotenusa Vm e catetos ( V L m − VC m ) e V R m . A diferença entre as
φ
tensões no indutor e no capacitor é chamada tensão reativa, com valor de
VR m
12
pico V X m = VL m − VC m . Dividindo-se todos os lados do triângulo por 2 obtém-se um triângulo
semelhante correspondente aos valores eficazes de tensão, V, VR e VX e aplicando-se o teorema de
2
Pitágoras a este triângulo obtém-se a relação de tensões: V 2 = V R + (VL − VC ) 2 .
Um triângulo semelhante, relacionando os termos de oposição a
passagem de corrente, pode ser obtido dividindo-se os lados do triângulo pela
Z
X
corrente Im (ou I, no caso de valores eficazes). Seus catetos serão a resistência,
R, e a reatância, X = X L − X C . A hipotenusa deste triângulo representa a
φ
R
oposição do circuito RLC a passagem de corrente, chamada de impedância e
representada pela letra Z, dada por Z = R 2 + X 2 ou Z = V I .
X
X
R
, sen φ =
e cos φ = . O coR
Z
Z
seno do ângulo de defasagem entre tensão e corrente, dado pela última expressão, é chamado de fator
de potência, tendo grande importância no estudo dos circuitos de CA. Este assunto será estudado com
mais profundidade posteriormente.
Sendo a reatância dada por X = X L − X C , podem ocorrer três situações distintas:
1.
XL > XC: o circuito é dito indutivo, pois predomina esta característica. O ângulo φ é positivo,
estando a tensão adiantada em relação a corrente de um ângulo φ (0<φ<90°).
XL < XC: o circuito é dito capacitivo. A reatância é menor do que zero e, conseqüentemente, o
2.
ângulo φ é negativo, estando a tensão atrasada em relação a corrente de um ângulo entre 0° e 90°.
XL = XC: neste caso X = 0 e o circuito tem característica resistiva, com tensão e corrente em
3.
fase. Esta condição é chamada ressonância e faz com que a corrente atinja seu valor máximo para
uma dada tensão, pois a impedância será mínima.
A freqüência que leva a condição de ressonância pode ser obtida igualando-se as reatâncias
1
), resultando em f 0 =
.
indutiva ( X L = 2πfL ) e capacitiva ( X C = 1
2πfC
2π LC
As relações trigonométricas neste triângulo fornecem tgφ =
Observe que:
• Na freqüência de ressonância, f0, o circuito é puramente resistivo, sendo a corrente eficaz a
máxima possível para o circuito, com valor I=V/R, estando em fase com a tensão.
• Abaixo da freqüência de ressonância a impedância será capacitiva (XC > XL), estando a corrente
adiantada em relação à tensão.
• Acima da freqüência de ressonância a impedância será indutiva (XC < XL), estando a corrente
atrasada em relação à tensão.
Circuito RL Série
Um caso particular interessante do circuito RLC série, que ocorre quando não há capacitores no
circuito, é o RL. Na prática um indutor apresenta também uma característica resistiva, e, além disso,
podemos ter resistores em série com indutores Neste caso, como em um circuito puramente indutivo, a
corrente estará atrasada em relação à tensão, mas de um ângulo menor do que 90º (0<φ<90°).
Z = R 2 + X L , tgφ =
2
Z
XL
XL
R
, cos φ =
R
2
2
, V = VR + VL
XL
φ
R
Circuito RC Série
Outro caso particular do circuito RLC série é o RC. Este ocorre quando não há indutores no
circuito, isto é, o circuito é formado por resistores em série com capacitores. Num circuito assim
constituído, como em um circuito puramente capacitivo, a corrente estará adiantada em relação à
13
tensão, porém de um ângulo menor do que 90º. Como a reatância é negativa, o triângulo de
impedâncias (e também o de tensões) é representado invertido com relação ao do circuito RL.
R
φ
X
R
2
2
2
Z = R 2 + X C , tgφ = C , cos φ =
, V = VR + VC
R
XC
XC
Z
Circuito RLC Paralelo:
Quando um indutor, um resistor e um capacitor são ligados em paralelo e alimentados por uma fonte de
tensão alternada, temos um circuito RLC paralelo, cujas características são tensão comum a todos os elementos,
v(t ) = v R (t ) = v L (t ) = vC (t ) e corrente total igual a soma das individuais, i (t ) = i R (t ) + i L (t ) + iC (t ) .
E
I
IR
R
IL
L
IC
C
Supondo-se uma tensão senoidal dada por v(t ) = Vm sen(ω t ) , e
observando-se as características particulares dos elementos
associados, as correntes no circuito serão, respectivamente,
i R (t ) = I R m sen(ω t ) , i L (t ) = I L m sen(ω t − 90 0 ) = − I L m cos(ω t ) e
iC (t ) = I C m sen(ω t + 90 0 ) = I C m cos(ω t ) .
A corrente total será dada pela soma das correntes nos três elementos:
i (t ) = I R m sen ω t + ( I C m − I L m ) cos ω t . De modo análogo ao feito no circuito RLC série para a tensão, a
corrente total também pode ser expressa por i (t ) = I m sen(ω t + φ ) , onde φ é o ângulo de defasagem
entre esta e a tensão total.
Transformando-se a soma em produto na última expressão, obtém-se para a corrente
i (t ) = I m (sen ω t cos φ + cos ω t sen φ ) . Igualando-se os coeficientes correspondentes de sen ω t e cos ω t
nas duas últimas expressões obtém-se, respectivamente, I R m = Vm cos φ e I C m − I L m = I m sen φ , que
I − ILm
divididas fornecem a relação tgφ = C m
.
IRm
Estas relações correspondem a um triângulo retângulo de hipotenusa
I
I X I m e catetos ( I C m − I L m ) e I R m . A diferença entre as correntes no
capacitor e no indutor é chamada corrente reativa, com valor de pico
φ
I X m = I C m − I L m . Dividindo-se todos os lados deste triângulo por 2
IR
obtém-se um triângulo semelhante, correspondente aos valores eficazes de
tensão, I, IR e IX (representado ao lado), onde I X = I C − I L . Aplicando-se o teorema de Pitágoras a este
triângulo obtém-se a relação entre as correntes I 2 = I R + ( I C − I L ) 2 .
Um triângulo semelhante, relacionando os termos inversos da oposição a
passagem de corrente, pode ser obtido dividindo-se os lados do último
Y
B
triângulo pela tensão V. Seus catetos serão iguais ao inverso da resistência,
chamado condutância e dada por G = 1/R, e da reatância, chamada
φ
G
susceptância (ou suscetância) e dada por B = 1/X. Observe que B = BC– BL,
sendo BC = 1/XC = ωC e BL = 1/XL = 1/(ωL). A hipotenusa deste triângulo representa o inverso da
oposição do circuito RLC a passagem de corrente, isto é, a recíproca da impedância, chamada de
2
admitância e representada pela letra Y, dada por Y = G 2 + B 2 ou Y = I V . Todas estas grandezas
tem unidade inversa a Ohms (1/Ω), chamada Siemens e representada pela letra S.
B
B
G
e cos φ = .
As relações trigonométricas neste triângulo fornecem tgφ = , sen φ =
G
Y
Y
Sendo a suscetância dada por B = BC– BL, podem ocorrer três situações distintas:
14
1. BC > BL: o circuito é capacitivo. A suscetância é positiva e, conseqüentemente, o ângulo φ
também o é, estando a corrente adiantada em relação a tensão de um ângulo entre 0° e 90°.
2. BC < BL: o circuito é indutivo, pois predomina esta característica, como pode-se observar pelo
fato de a suscetância ser negativa. O ângulo φ é negativo, estando a corrente atrasada em
relação a tensão de um ângulo φ (0<φ<90°).
3. BL = BC: neste caso B = 0 e o circuito tem característica resistiva, com tensão e corrente em
fase. Esta condição, como no circuito RLC série, é chamada ressonância.
A freqüência de ressonância pode ser obtida igualando-se as suscetâncias capacitiva ( BC = 2πfC )
1
e indutiva ( B L = 1
), resultando, como no circuito RLC série, em f 0 =
.
2πfL
2π LC
Observe que:
• Na freqüência de ressonância, f0, o circuito é puramente resistivo, sendo a corrente eficaz a
míxima possível para o circuito, com valor I=V/R, estando em fase com a tensão.
• Abaixo da freqüência de ressonância o circuito será indutivo (BC < BL), estando a corrente
atrasada em relação à tensão.
• Acima da freqüência de ressonância o circuito será capacitivo (BC > BL), estando a corrente
adiantada em relação à tensão.
Circuito RC Paralelo
Um caso particular do circuito RLC paralelo é o RC. Este ocorre
quando não há indutores no circuito, isto é, o circuito é formado por resistores
em paralelo com capacitores. Neste caso, como em um circuito puramente
capacitivo, a corrente estará adiantada em relação à tensão, mas de um ângulo
menor do que 90º (0<φ<90°).
Y = G 2 + BC , tgφ =
2
Y
φ
BC
G
BC
G
2
2
, cos φ =
, I = I R + IC
G
BC
Circuito RL Paralelo
Outro caso particular interessante do circuito RLC paralelo, que ocorre
quando não há capacitores no circuito, é o RL. Num circuito assim
constituído, como em um circuito puramente indutivo, a corrente estará
atrasada em relação à tensão, porém de um ângulo menor do que 90º. Como a
suscetância é negativa, o triângulo de admitâncias (e também o de correntes) é
representado invertido com relação ao do circuito RC.
Y = G 2 + BL , tgφ =
2
φ
G
BL
Y
BL
G
2
2
, cos φ =
, I = IR + IL
G
BL
Potência em C.A.
Em corrente alternada há três tipos de potência: P – ativa (Watt, W), Q - reativa (Volt-Ampére
reativo, VAr) e S – aparente (Volt-Ampére, VA).
Potência Ativa (útil, real, efetiva, eficaz, etc.) – É característica dos circuitos resistivos,
representa a parcela da energia que será transformada em calor (efeito Joule), luz ou trabalho
mecânico. Corresponde ao produto entre tensão, corrente e o cosseno do ângulo de defasagem entre
elas (cosϕ ou fator de potência).
15
Potência Reativa – Pode ser de dois tipos. A indutiva representa a parcela da energia que é
utilizada para magnetizar equipamentos indutivos como motores, transformadores, reatores, etc.
enquanto a capacitiva é usada para alimentar o campo elétrico de capacitores. Corresponde ao produto
entre tensão, corrente e o seno do ângulo ϕ.
Potência aparente – Representa a potência total utilizada num equipamento (levando em conta a
parcela ativa e a reativa). Corresponde ao produto entre a tensão e a corrente.
Triângulo das Potências – As potências em C.A. podem ser relacionadas através de um
triângulo retângulo onde as parcelas ativa e reativa são os catetos e a aparente é a hipotenusa.
P[ W ] = EI cos ϕ
S [VA]
Q [VAR]
ϕ
S[ VA ] =
P[ W ]
cos ϕ
Q [ VAR ] = EI sen ϕ
=
Q [ VAr ]
tgϕ =
sen ϕ
S[ VA ] = EI
Q
P
S 2 = P2 + Q2
P [W]
Observe que no caso de predominância capacitiva, Q é negativo. Neste caso, representa-se o triângulo
invertido.
P [W]
ϕ
S [VA]
Q [VAR]
S [VA]
ϕ
Q [VAR]
P [W]
Q > 0 - predominância indutiva
Q < 0 - predominância capacitiva
Potência Complexa – A potência em C.A. também pode ser representada por números
complexos. Neste caso, a parte real é a potência ativa e a parte imaginária é a potência reativa, o
módulo é a potência aparente e o argumento é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente.
Na forma retangular, S = P + jQ , e na forma polar S = S φ , onde φ é o ângulo de defasagem
entre tensão e corrente. Observe que S = E.I * , onde I * representa o conjugado da corrente (na forma
retangular, troca-se o sinal da parte imaginária, e, conseqüentemente, na forma polar, troca-se o sinal
do ângulo).
Fator de Potência
Corresponde à razão entre a potência ativa e a potência aparente consumida por uma carga
(cosseno do ângulo de fase, FP = cosϕ).
P
FP = cosϕ =
S
Quanto maior o FP, isto é, mais próximo de 1,0, melhor é o aproveitamento da energia
consumida.
Equipamentos que transformam energia elétrica diretamente em outras formas de energia
(luminosa, calor), sem utilizar uma forma intermediária, são consumidores de energia ativa (FP = 1,
equipamentos resistivos, tais como iluminação incandescente, equipamentos de aquecimento, etc.).
Equipamentos que utilizam energia magnetizante como intermediária são consumidores de
energia reativa (FP<1, equipamentos indutivos: motores, reatores, transformadores). Os capacitores
são fornecedores de energia reativa.
16
CAUSAS DO BAIXO FATOR DE POTÊNCIA
9
9
9
9
A presença de equipamentos que solicitem grandes quantidades de energia reativa:
Motores ou transformadores trabalhando a vazio ou com pouca carga (super dimensionados);
Fornos de indução;
Grande quantidade de motores de pequeno porte no lugar de um grande porte;
Equipamentos eletrônicos.
CONSEQUÊNCIAS DO BAIXO FATOR DE POTÊNCIA
O baixo fator de potência causa um aumento na potência aparente consumida e,
portanto, aumento da corrente solicitada da rede causando:
9 Aumento de perdas por aquecimento;
9 Quedas de tensão nos condutores;
9 Subutilização da capacidade instalada da rede.
OBJETIVOS DA MELHORIA DO FATOR DE POTÊNCIA
A elevação do fator de potência minimiza os problemas citados anteriormente proporcionando:
9 Redução dos custos com energia (as concessionárias de energia sobretaxam o excesso de energia
reativa consumida);
9 Melhor aproveitamento da capacidade do sistema;
9 Aumento dos níveis de tensão da rede.
MÉTODOS DE CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
O aumento do fator de potência em geral é feito pela diminuição da potência reativa que a
carga solicita da rede ou pelo aumento da potência ativa consumida.
FP = cosϕ =
P
P
=
2
S
P + Q2
1. Diminuição da Potência Reativa Consumida
Isto pode ser conseguindo instalando capacitores (fornecedores de energia reativa) em paralelo
com a carga.
Como Q2 < Q1, S2 < S1 e, portanto, a corrente solicitada com o FP corrigido será menor mantendo o
mesmo valor de potência ativa (cosϕ1 < cosϕ2).
Qc = Q1 – Q2
Qc
S1
S2
tgϕ1 =
Q1
Q2
ϕ1
ϕ2
P1 = P2
Como Q = E2 / Xc e Xc = 1/2πfC
P(tgϕ1 − tgϕ 2 )
C=
- capacitor necessário para corrigir o FP.
2πf E 2
Q1
P1
t gϕ 2 =
Q2
P2
Qc = P(tgϕ1 − tgϕ2 ) - potência reativa
capacitiva necessária para corrigir o
fator de potência de uma carga com
potência P de FP = cosϕ1 para FP =
cosϕ2.
17
2. Aumento da Potência Ativa Consumida
O mesmo efeito pode ser conseguindo instalando equipamentos resistivos (FP = 1). Porém, haverá
um aumento das potências ativa e aparente consumidas, o que torna o método pouco interessante.
S2
S1
ϕ1
Q1 = Q2
ϕ2
P’
P1
P2
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
−
P' = Q⎜⎜
⎝ tgϕ 2 tgϕ1 ⎠
18
SISTEMAS TRIFÁSICOS
Um gerador de C.A. trifásico, também chamado alternador, apresenta três bobinas iguais
independentes, defasadas mecanicamente de 120o entre si o, que resulta em tensões induzidas de igual
amplitude defasadas eletricamente de 120o. O gráfico e o diagrama fasorial dados mostram as tensões
induzidas em cada bobina (fase).
e [V]
.
E
3
e1
e3
e2
Em
.
E1
t [s]
– Em
.
E2
E1 = E∠0 o
E 2 = E∠ − 120 o
E3 = E∠ + 120 o
e1(t) = Em.sen(ωt)
e2(t) = Em.sen(ωt–120o)
e3(t) = Em.sen(ωt+120o)
As bobinas do alternador podem ser ligadas de diferentes maneiras, dando origem aos sistemas
conhecidos como estrela (Y ) e triângulo (∆).
Ligação Estrela (Y) –As bobinas do gerador são interligados num ponto comum chamado neutro,
sendo as cargas monofásicas ligadas entre cada fase e o neutro.
a
I1
I 1 = E1 Z 1 , I 2 = E 2 Z 2 , I 3 = E3 Z 3
Z1
E1
n
E31
E3
E12
I1 = E Z1 , I 2 = E Z 2 , I 3 = E Z 3
I 1 + I2 + I 3
E2
Z3
Z2
I 2 = I 2 ∠ − 120 0 − φ 2 = I 2 ∠240 0 − φ 2
I2
b
c
E23
I 3 = I 3 ∠120 0 − φ 3 ,
I 1 = I 1∠ − φ 1 ,
I N = I1 + I 2 + I 3
I3
O sistema Y a quatro fios geralmente é utilizado quando predominam cargas monofásicas e esta
não é igualmente distribuída entre as fases.
Quando as cargas forem iguais nas três fases, ou seja, Z1 = Z2 = Z3, o sistema é dito equilibrado
(ou balanceado). Neste caso, as correntes nas fases serão de mesma amplitude (I1 = I2 = I3) defasadas
de 120o entre si, e a corrente no neutro será nula (três fasores de mesmo módulo defasados de 120°
somam zero, como pode-se ver com as tensões abaixo). Nesta situação torna-se dispensável a presença
do condutor neutro, e o sistema pode funcionar com apenas três fios.
Na ligação estrela a tensão de linha ou terminal (entre duas fases do sistema) corresponde a
3 vezes a tensão de bobina ou de fase (entre fase e neutro) enquanto que a corrente de linha é igual a
corrente de fase (carga). Exemplos típicos são 127/220 V (Rio Grande) e 220/380 V (Pelotas).
As tensões de linha podem ser obtidas, analiticamente ou graficamente, como mostra-se a
seguir:
[
(
)]
E12 = E1 − E 2 = E∠0 o − E∠ − 120 o = (E + j 0 ) − (− 1 / 2 )E − j 3 / 2 E = (3 / 2 )E + j
(
)
3/2 E ,
E12 = 3E∠30 o
19
) [
(
(
)]
E 23 = E 2 − E 3 = E∠ − 120 o − E∠120 o = (− 1 / 2)E − j 3 / 2 E − (− 1 / 2)E + j 3 / 2 E = j 3E , E 23 = 3E∠ − 90 o
E 31 = E 3 − E1 = E∠120 o − E∠0 o = (− 1 / 2)E + j ( 3 / 2) E − ( E + j 0) = −(3 / 2)E + j ( 3 / 2) E , E 23 = 3E∠150 o
.
.
–E1
E3
.
E12
.
–E2
.
E23
.
E1
.
E12 = E1 − E 2
E12 = 3E∠30 o
E 23 = E 2 − E 3
E 23 = 3E∠ − 90 o
E 31 = E 3 − E1
E 23 = 3E∠150 o
E2
.
.
E31
–E3
a
I32
I3
Z2
E3
Ligação Triângulo ou Delta (∆) – Neste caso as
E2
Z3
bobinas do gerador são interligadas duas a duas
I2
(final de uma com início da outra) de maneira a
I1
I13
formar
um
triângulo.
Observe
que
b
E12 + E 23 + E31 = 0 , não resultando circulação
c
Z1
de corrente interna no enrolamento quando sem
I21
E1
carga.
Na ligação triângulo a tensão de linha é igual à tensão de fase enquanto que a corrente de linha
é diferente da corrente de fase sendo a relação entre estas função das cargas. No caso de um sistema
equilibrado a corrente de linha corresponde a 3 vezes a corrente de fase.
.
–I2
.
I32
.
. I3
I 21 = I 2 − I 1
E3
I 13 = I 1 − I 3
ϕ3
.
.
E1
I21
.
–I1
.
I2
ϕ2
.
ϕ1
I1
.
E2
.
I13
I 32 = I 3 − I 2
20
Potência em Circuitos Trifásico:
Em circuitos trifásicos, a potência útil pode ser calculada pela soma das potências das três
fases. Na ligação estrela, portanto, tem-se:
P = E1 I 1 cos φ 1 + E 2 I 2 cos φ 2 + E3 I 3 cos φ 3 = E ( I 1 cos φ 1 + I 2 cos φ 2 + I 3 cos φ 3 )
No caso de carga equilibrada, I 1 cos φ 1 = I 2 cos φ 2 = I 3 cos φ 3 = I cos φ e P = 3EI cos φ . Como
E = El
3 e I = I l , resulta:
P = 3.E l .I l .cosϕ ,
Q = 3.El .I l .senϕ
S = 3 . E l .I l
Na ligação triângulo a tensão de linha é igual à tensão de fase enquanto que a corrente de linha,
para carga equilibrada, é 3 vezes a corrente de fase, resultando nas mesmas expressões obtidas para a
ligação estrela. Portanto, no caso de carga equilibrada as expressões são as mesmas,
independentemente da ligação.
Correção do Fator de Potência:
O procedimento adotado é o mesmo dos circuitos monofásicos, com a potência reativa e a
∆Q
.
capacitância do capacitor necessário dados, respectivamente, por: ∆Q = P(tgφ f − tgφ i ) , C =
ωE 2
No caso de cargas desequilibradas, calcula-se um capacitor para cada fase. Já para cargas
equilibradas, os capacitores são iguais, podendo ser ligados em Y ou ∆, e a potência útil total é dada
por P = 3.E l .I l .cosϕ . Trabalhando-se com estas três últimas expressões, obtém-se as capacitâncias
dos três capacitores necessários para a correção, em Y ou ∆, cujas valores são dados, respectivamente,
por:
3I l cos φ i (tgφ i − tgφ f )
CY =
ω El
e C∆ =
I l cos φ i (tgφ i − tgφ f )
3ω El
.
Observe que a tensão no capacitor em Y é El / 3 e no capacitor em ∆ é El. Os capacitores são
especificados pela capacitância e tensão.
Exemplo: Uma linha trifásica de 380 V alimenta um motor de indução trifásico de 15 kW com
FP 0,75 e um forno elétrico resistivo de 10 kW. Determine: a) a corrente de linha, b) o FP total, c) os
capacitores necessários para corrigir o FP para 0,95 indutivo e d) a redução da corrente de linha após a
correção. (42,5 A, 0,893 ind, 42,5 A, 6%)
Transformações Y → ∆ e ∆ → Y:
Em problemas de análise de circuitos, muitas vezes a resolução fica simplificada quando
transforma-se uma carga ligada em Y numa equivalente em ∆ ou vice-versa (figura ao lado). Para que
as características dos circuitos não se alterem, ambos devem ter as mesmas impedâncias, vistas de
qualquer par de terminais, isto é, Z abY = Z ab∆ , Z bcY = Z bc∆ e Z acY = Z ac∆ .
a
c
ZB
c
a
Z1
Z3
ZC
ZA
Z2
b
b
21
As impedâncias vistas de cada par de terminais são,
Y:
Z abY = Z 1 + Z 2 , Z bcY = Z 3 + Z 2 , Z acY = Z 1 + Z 3
∆:
Z ab∆ =
Z A (Z B + Z C )
Z (Z + Z A )
Z (Z + Z C )
, Z bc∆ = C B
, Z ac∆ = B A
Z A + Z B + ZC
Z A + Z B + ZC
Z A + Z B + ZC
Igualando-se duas a duas, obtém-se as três equações:
1: Z 1 + Z 2 =
Z A (Z B + Z C )
Z (Z + Z A )
Z (Z + Z C )
, 2: Z 3 + Z 2 = C B
e 3: Z 1 + Z 3 = B A
Z A + Z B + ZC
Z A + Z B + ZC
Z A + Z B + ZC
Resolvendo-se o sistema de três equações e três incógnitas (sugestão: Eq.1- Eq.2+ Eq.3, Eq.1+
Eq.2- Eq.3 e Eq.2- Eq.1+ Eq.3), obtém-se as impedâncias em Y a partir de um ∆:
Z1 =
ZC Z A
Z B ZC
Z AZ B
, Z2 =
e Z3 =
Z A + Z B + ZC
Z A + Z B + ZC
Z A + Z B + ZC
Observe que a impedância da estrela é igual ao produto das duas impedâncias adjacentes do
triângulo dividido pela soma das três impedâncias deste.
Finalmente, estas três últimas equações (4, 5 e 6, respectivamente) podem ser usadas para
determinar o oposto, isto é, as impedâncias em ∆ a partir de uma Y (Eq.4xEq.5 + Eq.4xEq.6 +
Eq.6xEq.5):
ZA =
Z1 Z 2 + Z 2 Z 3 + Z1 Z 3
Z Z + Z 2 Z 3 + Z1Z 3
Z Z + Z 2 Z 3 + Z1 Z 3
, ZB = 1 2
e ZC = 1 2
Z3
Z2
Z1
Neste caso, a impedância do triângulo é igual a soma dos produtos duas a duas das impedâncias
adjacentes da estrela dividido pela impedância oposta desta.
Z
No caso particular de cargas equilibradas, Z Y = ∆ e Z ∆ = 3Z Y .
3
Exemplo: Determine as correntes circulantes nos três condutores de uma linha trifásica de 380
V cujas impedâncias 1 +j2, 2+j e 3 Ω estão ligadas em estrela sem neutro. Calcule também a potência
consumida total. (Resp. 87,94 –38,19° A, 11,95 184,2° A, 67,74 –42,26° A, 50045 W)
22
APÊNDICE - ÁLGEBRA COMPLEXA - FASORES
A álgebra complexa é uma extensão da álgebra de números reais com grande aplicação na
análise de circuitos de corrente alternada, onde tensões e correntes senoidais são analisadas como
números complexos denominados fasores e resistências, reatâncias e seus recíprocos, representados
por números complexos, são denominadas impedâncias e admitâncias complexas.
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
Os números imaginários foram concebidos para possibilitar a representação da raiz quadrada de
um número real negativo. Convencionalmente a unidade imaginária é representada pela letra i, porém,
para não haver confusão com o símbolo da corrente, em análise de circuitos utiliza-se j.
j = − 1 . Logo j 2 = −1
Define-se:
Exemplos:
−4 =
j 2 4 = j2
−9 =
j 29 = j 3
− 16 =
j 2 16 = j 4
Representação de Números Complexos:
1. Forma Retangular – Os números complexos são caracterizados por uma parte real, a, e outra
imaginária, b. Escreve-se Z = a + jb, onde Z é um número complexo qualquer. Observe que o par (a,
b) define as coordenadas de um ponto em um plano onde o eixo das abscissas corresponde à parte real
e o das ordenadas à parte imaginária (conhecido como plano de Argand-Gauss).
Operações com Complexos na Forma Retangular:
1) Soma e Subtração: realiza-se a operação, separadamente, com as parcelas reais e imaginárias de
cada número. Dados os complexos Z1 = a + jb e Z2 = c + jd, então Z1 + Z2 = (a + c) + j(b + d) e Z1 - Z2
= (a - c) + j(b - d).
Ex.: (1 + j2) + (3 + j5) = (1 + 3) + j(2 + 5) = 4 + j7,
(4 + j8) – (2 + j6) = (4 – 2) + j(8 – 6) = 2 +
j2
2) Multiplicação – é realizada de maneira análoga à multiplicação com números reais.
a) Multiplicação entre um número real e um complexo: multiplica-se cada parte do complexo pelo real.
Dados o complexo Z1 = a + jb e o real c, então cZ1 = ac+ jbc.
Ex.: 5. j2 = j(5.2) = j10
3.(2 + j3) = (2.3 + j3.3) = 6 + j9
b) Multiplicação de dois números complexos – multiplica-se termo a termo, observando-se que j2 = -1.
Dados os complexos Z1 = a + jb e Z2 = c + jd, então Z1Z2 = (ac + jbc + jad +j2bd) = (ac-bd) + j(bc +
ad).
Ex.: (j2).(j5) = j2.(2.5) = (–1).10 = –10
(4 + j2).(2 + j6) = 4.(2 + j6) + j2.(2 + j6) = (8 + j24) + (j4 + j2 12) = (8 + j24) + (j4 – 12)= –4 + j28
3) Divisão
a) Na divisão de um número complexo por um real procede-se de maneira análoga à multiplicação.
j6
6
= j = j2
Ex.:
3
3
b) Já na divisão de dois números complexos, para eliminar a unidade imaginária, j, do denominador,
torna-se necessário multiplicar numerador e denominador pelo conjugado deste (como na
racionalização, para eliminar uma raiz do denominador). Chama-se conjugado de um número
complexo z, e representa-se por z , ao número complexo que tem parte real igual e parte imaginária
com sinal trocado com relação a ele. Se z = a + jb então z = a - jb.
z1 = j 3, z1 = − j 3
z 2 = 2 − j 5, z 2 = 2 + j 5
z 3 = 1 + j 2, z 2 = 1 − j 2
Ex.:
Portanto, dados Z1 = a + jb e Z2 = c + jd, então
Z1 a + jb c − jd ac + bd
bc − ad
.
=
⋅
= 2
+ j 2
2
Z 2 c + jd c − jd c + d
c +d2
23
Ex.:
18 + j 9 18 + j 9 (− j 3) − j 54 + 27 − j 54 27
=
=
.
=
+
= 3 − j6
j3
j 3 (− j 3)
9
9
9
4 + j 3 4 + j 3 (1 + j ) 1 + j 7 1 j 7
=
.
=
= +
= 0,5 + j 3,5
1− j
1 − j (1 + j )
2
2 2
2. Forma Polar – Nesta forma, os números complexos são caracterizados pelo módulo ρ e o ângulo
Z = ρ
que este forma com o sentido positivo do eixo dos números reais θ, chamado conjugado:
θ
Esta forma de representar os números complexos é muito útil, em especial nas operações de
multiplicação e divisão.
Equivalência entre as Representações - Conversão
Retangular para polar:
Parte real:
A = ρ.COS(θ)
Parte imaginária:
b = ρ.sen(θ)
ρ = a2 + b2
Módulo:
Z(a,b)
b
Eixo Imag.
Polar para retangular:
ρ
θ
Eixo Real
Argumento:
a
⎛b⎞
⎝a⎠
θ = arc tg ⎜ ⎟
Exemplos:
a) Polar-Retangular
5 -45o = 5.cos(-45o) + j5.sen(-45o) = 5.0,707 + j5.(-0,707) = 3,54 – j3,54
3 30o = 3cos(30o) + j.3sen(30o) = 3.0,866 + j3.0,50 = 2,60 + j1,50
b) Retangular-Polar
4 + j3 = 5 36,87o
ρ = 4 2 + 3 2 tgθ = 3/4 = 0,75
1,5 – j2 = 2,5 -53,13o ρ =
1,5 2 + 2 2
θ = 36,87o
tgθ = -2/1,5 = -1,33 θ = -53,13o
Operações com Complexos na Forma Polar:
a) Multiplicação: realiza-se o produto dos módulos e somam-se os argumentos, como será provado a
seguir.
A partir do resultado do produto na forma retangular, Z1 Z 2 = (ac - bd) + j(bc + ad) , pode-se determinar
o módulo e o argumento do resultado:
Módulo:
Z1 Z 2 = (ac - bd) 2 + (bc + ad) 2 = (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) = a 2 + b 2 ) c 2 + d 2 = Z1 Z 2 = ρ 1 ρ 2 ;
sen θ 1 cosθ 2 + sen θ 2 cosθ 1
bc + ad
b
. Como tg (θ 1 + θ 2 ) =
, sendo tgθ 1 = ,
cosθ 1 cosθ 2 − sen θ 2 sen θ 1
ac − bd
a
b
a
d
c
d
, cosθ 1 =
, sen θ 2 =
e cosθ 2 =
, vem
tgθ 2 = , sen θ 1 =
c
ρ1
ρ1
ρ2
ρ2
Argumento: tgθ =
bc
tg (θ 1 + θ 2 ) =
ρ1 ρ 2
ac
ρ1 ρ 2
+
−
da
ρ1 ρ 2
bd
ρ1 ρ 2
=
bc + ad
= tgθ , como queríamos demonstrar.
ac − bd
24
Ex.:
3 45o . 4 10o = 3.4 10 o + 45o = 12 55o
b) Divisão – Realiza-se a divisão dos módulos e subtraem-se os argumentos. Um procedimento
análogo ao adotado para a multiplicação pode demonstrar este resultado. Deixamos a demonstração
como exercício.
Ex.: 6 65o ÷ 4 15o = 6 ÷ 4 65o - 15o = 1,5 50o
FASORES
A representação fasorial de grandezas alternadas é uma técnica que visa facilitar a análise de
circuitos com excitação senoidal (na verdade qualquer onda periódica pode ser representada como uma
série de termos senoidais e/ou co-senoidais).
Uma grandeza senoidal é caracterizada no domínio do tempo pela amplitude (valor máximo),
ângulo de fase e freqüência (ou velocidade angular, ω), por exemplo v(t ) = Vm sen(ω t + θ ) . Uma vez
estabelecida a freqüência, apenas a magnitude e o ângulo de fase podem caracterizar a grandeza. Na
representação fasorial, também chamada domínio da freqüência, esta grandeza é identificada pelo seu
valor eficaz e o ângulo de fase, como um número complexo na forma polar. Utiliza-se um ponto sobre
a letra que simboliza a grandeza para caracterizar o fasor, ficando a notação com a forma V = V θ .
Exemplo: se
v(t ) = 180 sen(377t + 30 0 ) V, então V = 127,3 30° V.
i (t ) = 2,5 sen(377t − 18 0 ) A, então I = 1,77 -18° A.
i (t ) = 282,84 cos(377t − 18 0 ) mA, então I = 2,0 72° mA.
Na análise fasorial, impedâncias e admitâncias também são representadas por números
complexos, com resistências e condutâncias, correspondendo a parte real, e reatâncias e suscetâncias
correspondendo a parte imaginária, isto é, Z = R + j X, sendo X = XL – XC, e Y = G + j B, com B = BC
– BL. Observe que ambos dependem da freqüência de excitação.
A Lei de Ohm, representada fasorialmente, fica com a forma:
Z = V ou Y = I .
I
V
A conversão de impedância para admitância, e vice-versa é bastante útil, em especial na
resolução de circuitos mistos. Sendo Z = R + j X, então
1
R − jX
R
X
R
⋅
= 2
−j 2
e
Y=
. Como Y = G + j B, então G = 2
2
2
R + jX R − jX R + X
R +X
R +X2
X
.
B=− 2
R +X2
G
e
Do modo análogo, a conversão de admitância para impedância fornece R = 2
G + B2
B
.
X=− 2
G + B2