Funções de Várias Variáveis funções vetoriais

Funções de Várias Variáveis
Considere os seguintes enunciados:
1º) O volume “V” de um cilindro é dado por V   .r 2 .h , onde r é o raio e h é a altura.
2º) A equação de estado de um gás ideal á dada por p 
nRT
onde
V
p = pressão
V = volume
n = massa gasosa em moles
R = constante molar do gás
T = temperatura
3º) O circuito da figura tem cinco resistores. A corrente desse circuito é função das resistências Ri (i = 1,
......., 5).
R2
R1
R5
R3
R4
Analisando os enunciados, verificamos que as funções envolvidas requerem o uso de duas ou mais
variáveis independentes.
Podemos dizer que o volume do cilindro, denotado por V, é uma função do raio r e da altura h.
V = V(r, h)
É uma função de duas variáveis definida por
V(r, h) =  .r 2 .h
Assim como no 2º enunciado temos a função
pV , T , n  
que é uma função de três variáveis.
n.R.T
V
Sobre o circuito, podemos dizer que a corrente do circuito dado é uma função de cinco variáveis
independentes. Temos:
E
I
R1  R2  R3  R4  R5
onde E representa a tensão da fonte e Ri (i = 1, ......., 5).
Essas situações mostram exemplos práticos que aplicam funções de várias variáveis.
Por isso necessitamos ampliar o âmbito de nosso estudo. Ao estudarmos funções como a do 1º enunciado,
V = V(r, h)
trabalhamos com pares ordenados de números reais, isto é, pares ordenados (r, h) do plano
IR 2  IR  IR ( ver figura). No caso da função (2), usamos ternas ordenadas ( ver figura). Para s função
(3) usamos o espaço IR 5 , que não tem visualização gráfica.
IR
h
IR
V
r
V
p
T
IR
IR
n
IR
Funções de Várias Variáveis  Definição
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional A  IR n , isto é, os elementos de A são n-uplas
ordenadas x1 , x2 ,....., xn  de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associamos um único


elemento z  IR temos uma função f : A  IR n  IR essa função é chamada função de n-variáveis
reais. Denotamos:
z  f x1 , x2 , x3 ,......., xn  .
ou
z  f P
O conjunto A é denominado domínio da função z  f P .
Exemplos
Ex1: Seja A o conjunto de pontos do IR2 representado na figura.
y
2
x
A cada ponto (x, y) pertencente a A  IR 2 , podemos fazer corresponder um número z  IR , dado por
z  4  x 2  y 2 . Determinar o domínio e a imagem da função.
Ex2:Fazer uma representação gráfica do domínio das seguintes funções:
a) f x, y   ln x  y 
b) g x, y, z   16  x 2  y 2  z 2
Ex3: Encontrar o domínio da função w 
5
x1  x 2  x3  x 4  x5
Ex4: encontrar o domínio e a imagem das seguintes funções:
a) z  x 2  y 2
b) z  x  y  4
x y
Ex5: Dada a função f  x, y  
, encontrar:
x
1 
a) A imagem de  , a  , a  IR*
a 
b) O domínio de f(x, y).
Exercícios:
1) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:
a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura.
H
L
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de
altura.
c) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais
de um quarto retangular de x metros de largura e y metros de comprimento, se a altura do quarto é
z metros.
d) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e
comprimento b.
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.
f) A distância entre dois pontos P(x, y, z) e Q(u, v, w).
2) Uma loja vende um certo produto P de duas marcas distintas, A e B. A demanda do produto com a
marca A depende do seu preço e do preço da marca competitiva B. A demanda do produto com a
marca A é DA  1300  50x  20 y unidades/mês, e do produto com a marca B é
DB  1700  12x  20 y unidades/mês, onde x é o preço do produto A e y é o preço do produto B.
Escrever uma função que expresse a receita total mensal da loja, obtida com a venda do produto P.
3) Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
a) z = 3 – x – y
b) f x, y   1  x 2  y 2
c) z  9  x 2  y 2 
d) w  e x
e)
f)
2
 y2 z2
f ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2


f x, y  x   y  
g) z  x   y   
h)


f x, y  x    y
4) Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente:
FUNÇÕES VETORIAIS
Definição
Chama-se de função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I, a função em que

 
cada t  I associa um vetor f do espaço. Denotamos f  f t  .

O vetor f t  pode ser escrito como




f t   f1 t i  f 2 t  j  f 3 t k
Exemplos
a)
Podemos expressar o movimento de uma partícula P, sobre uma circunferência de raio 1,



pela função vetorial f t   cos t i  sen t j . Nesse caso, a variável t representa o

b)

tempo e P f1 t , f 2 t  nos dá a posição da partícula em movimento.
Em economia podemos estabelecer uma função vetorial preço. Consideremos três
mercadorias tais que a primeira tem preço t 2 , a segunda tem preço t  2 e a terceira tem
preço dado pela soma das duas primeiras. A função vetorial preço é

P  t 2 , t  2, t 2  t  2 .


Exercícios:




 

 
   
1) Sejam f (t )  at  b t 2 e g (t )  ti  sen tj  cos tk , com a  i  j e b  2i  j ; 0  t  2 .
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)


f (t )  g (t )


f (t )  g (t )


f (t )  g (t )
 
 
a  f (t )  b  g (t )


f (t  1)  g (t  1)
2) Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado por


1  
r (t )  ti 
j k.
t2
a) Determinar a posição da partícula no instante t  0 e t  1 .
b) Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula?
3) Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:




a) f (t )  cos 3 ti  tg tj  sen 2 tk


 1
b) h (t )  2  t i  t 3 j  k
t


 
t
2 t
c) f (t )  e i  e j  k
  

d) g (t )  ln ti  tj  tk