PROGRESSÕES 1. SEQUENCIA OU SUCESSÃO Noção de

PROGRESSÕES
1. SEQUENCIA OU SUCESSÃO
Noção de seqüência
Consideremos a temperatura do ar, durante um período do dia:
Medidas
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
Temperatura
11 °C
15 °C
18 °C
21 °C
17 °C
16 °C
Dizemos que os valores da temperatura formam, nessa ordem, a seqüência das medidas durante
certo período do dia. Os valores são denominados termos da seqüência e podem ser indicados da
seguinte forma:
Primeiro termo: a1 = 11 °C
Segundo termo: a2 = 15 °C
Terceiro termo: a3 = 18 °C
Sexto termo :
a6 = 16 °C
Seqüência ou sucessão é o conjunto formado por elementos considerados numa certa ordem.
A representação formal de uma seqüência é: (a1, a2, a3, ..., an – 1, na), onde:
a1: é o primeiro termo
a2: é o segundo termo
an: é o enésimo termo, com n ∈ N*
Exemplos:
 (1, 5, 9, 13)
 (-8, -6, -4, ...)
 (√2, 2, 2√2, 4)
Termo geral de uma seqüência
O estudo das seqüências e de sua lei de formação é de especial interesse para a Matemática.
Exemplo:
A seqüência dos números naturais pares (0, 2, 4, ...) pode ser obtida através da expressão an = 2n – 2
Onde n ∈ N*, ou seja:
Para n = 1, temos a1 = 2(1) – 2 = 0
Para n = 2, temos a2 = 2(2) – 2 = 2
Para n = 3, temos a3 = 2(3) – 2 = 4
Para n = 4, temos a4 = 2(4) – 2 = 6 etc.
2. PROGRESSÃO ARITMETICA
Observe a seqüência de números reais:
(2, 5, 8, 11, ...)
Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado ao numero 3, ou seja:
2 + 3, 5 + 3, 8 + 3
De um modo geral, chamamos de progressão aritmética (P.A.) toda seqüência de números reais, na
qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, denominada
razão r.
A representação é (a1, a2, a3, ..., na), onde:
a1: primeiro termo
n: numero de termos
r: razão
Para determinar a razão de uma PA, basta calcular a diferença entre um termo, a partir do segundo,
e seu antecessor.
Exemplos:
a) (1, 3, 5, 7, 9) P.A. finita, onde a1 = 1, razão = 2 e n = 5
r = 3 – 1= 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2
b) (-3, -7, -11, ...) P.A. infinita, onde a1 = - 3 e r – 4
r = - 7 – (-3) = - 11 – (-7) = - 4
c) (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9) P.A. finita, onde a1 = 9, r = 0 e n = 7
r=9–9=0
Classificação de uma P. A.
r > 0 crescente
Uma P.A. é crescente quando a razão r for positiva.
Exemplo: (2, 7, 12, ...) é uma P.A. crescente, pois r > 0, r = 5.
r = 0 constante
Uma P.A. é constante quando a razão r for igual a zero.
Exemplo: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma P.A. constante, pois r = 0
r < 0 decrescente
Uma P.A. é decrescente quando a razão r for negativa.
Exemplo: (9, 4, -1, ...) é uma P.A. decrescente, pois r < 0, r = - 5.
Termo geral de uma P.A.
Descrevendo alguns termos de uma P.A., podemos obter a formula do termo geral:
1º termo
2º termo
3º termo
4º termo
a1 = a1 + 0r
a2 = a2 + 1r
a3 = a3 + 2r
a4 = a4 + 3r
nº de termos
An = na + (n – 1).r
Observando que o coeficiente r em cada igualdade é uma unidade inferior ao índice do termo
considerado, obtivemos a formula do termo geral:
Representação pratica dos termos de uma P.A.
Para facilitar a resolução de alguns problemas em P.A., utilizaremos as seguintes notações:
a) três termos em P.A.: ( x – r, x, x + r )
b) quatro termos em P.A.: (x, x + r, x + 2r, x + 3r)
c) cinco termos P.A.: ( x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r )
Interpolação aritmética
Considerando a seqüência (a1, a2, a3, ..., an-1, an), os termos a1 e na são chamados de extremos e os
demais são chamados de meios.
Exemplo:
Na P.A. (2, 5, 8, 11, 14, 17), temos que:
 os extremos são números 2 e 17
 os meios são os números 5, 8, 11, 14.
Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números dados (extremos) é obter uma P.A. na
qual os números dados sejam o primeiro e o ultimo termos. Para isso, devemos determinar a razão
dessa P.A.
Exemplo:
Se vamos interpolar sete meios aritméticos entre os números 1 e 17, concluímos que a P.A. possui
nove termos, pois:
7+2=9
a1 = 1, a9 = 17 e n = 9
an = a1 + (n – 1). r
17 = 1 + (9 – 1).r
r=2
Logo:
P.A. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17)
Propriedade de uma P.A.
A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual a soma dos extremos.
Na P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31), por exemplo:
Consideremos três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética dos
outros dois.
Na P.A. (a1, a2, ..., ak-1, ak, ak+1, ...), por exemplo temos:
Soma dos n termos de uma P.A.