PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1. DEFINIÇÃO:
 É toda seqüência de números reais em que cada
termo, a partir do segundo, é igual ao seu termo
anterior somado à uma constante chamada razão
da progressão.
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..............., an 
a 2  a1  r  r  a 2  a1
a  a  r  a  r  r  a  2 r
2
1
1
 3
a 4  a 3  r  a1  2r  r  a1  3r
................................................

a n  a1  n  1.r
n
 a1 
a 20 utilizando a fórmula do termo

2  89.30  91.15  1365
2
....., a, b, c,..... 
Ex1:
b
ac
2
Determinar x na


P. A  x,
3 2
, 
2 3
Solução:
 Como numa P. A o termo médio é a
aritmética dos outros dois, temos:
3

2
MACETE  De modo geral, sendo n e m as
ordens dos termos de uma P. A., para n  m , é
válida a seguinte relação:
m
 S 30 
Exemplo:
a 20  3  19.5  3  95  98
a 20  98
 Logo:
n
2
3,8,.......... ?
a n  a1  n  1.r  a 20  a1  20  1.r
a a
a1  a n .n
4.1  Numa P.A cada termo, a partir do segundo, é
igual a MÉDIA ARITMÉTICA entre seus
VIZINHOS.
geral:

a30  2  87  89
 Cálculo de S n :
4. PROPRIEDADES:
a1  3

 Dados  r  8  3  5
n  20

 Agora obtemos
an :
a n  a1  n  1.r  2  30  1.3  a30  2  29.3
S 30  1365
n1.r
Exemplo:
Ex1: Qual é o vigésimo termo da P. A
Solução:
 Cálculo de
Sn 
2. FÓRMULA DO TERMO GERAL:
a
a1  2

 Dados  r  3
n  30

2
3  x  2  3  x  3  2  11
2
3
3 3
x
x
nm.r
11
3
4. 2 Três termos consecutivos de um
escritos:
3. SOMA DOS TERMOS ( S n ) :
média
P. A
são
....., x  r, x, x  r,.....
S n  a1  a 2  a3  .........  a n
S
n

a  a . n
1

Em toda seqüência finita
a1 , a2 , a3 ,.....an  ,
dois termos são chamados EQÜIDISTANTES
DOS EXTREMOS se o número de termos da
seqüência que PRECEDEM um deles, é igual
ao número de termos que SUCEDEM um o
outro.
2
Exemplo:
Ex1: Achar a soma dos 30 primeiros termos da P. A
2,5,......... .
Solução:

4.3 
n
4.4
PROPRIEDADES DOS ÍNDICES: A soma dos
índices de dois elementos eqüidistantes dos
extremos é igual ao número de termos da
seqüência mais um. Esta é a melhor DICA
para o reconhecimento de
eqüidistantes dos extremos.
Ex:
dois
termos
a1 , a2 , a3 , a4 ,............, a70 
a 22 e a 49  são eqüidistantes dos extremos, pois
22  49  70  1
4.5
5. 3  Se r  0
a P. A é DECRESCENTE
6. INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA:
 Inserir ou interpolar k meios aritmética entre os
números a e b significa obter a P. A. de k  2
termos de extremos a e b (a é o 1 termo e b
é o último). Para realizar a INTERPOLAÇÃO,
basta determinar a RAZÃO da P.A.... Então:
Em toda P.A finita, a soma de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos
extremos.
r
ba
k 1
Ex:
( -2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 )
3  28  31
 2  33  31
Exemplo:
Ex1: Interpole oito meios aritméticos entre - 3 e 15.
Solução:
4.6 Em toda P.A finita com número ímpar de termos,
o TERMO MÉDIO, é a média aritmética dos
extremos.
Ex:
( 3, 5, 7, 9, 11,
13
a = 1 termo
b = Último termo
k = Número de termos
r = Razão
, 15, 17, 19, 21, 23)
TERMO MÉDIO  13 
3  23
2
k  8
a  3

 Dado  
b  15
r  ?
b  a 15  (3) 15  3 18
r


 2
k 1
8 1
9
9
 Logo, a P. A é:
 3,1,1,3,5,7,9,11,13,15
OBSERVAÇÃO  Em uma P. A. finita cujo o número
de termos é impar, a diferença entre a soma dos
termos de ordem ímpar e a soma dos termos de
ordem par resulta no TERMO MÉDIO da progressão,
ou seja:
Exercícios
1.
TERMO MÉDIO  S i  S p
S i  Soma dos termos de ordem ímpar.
S p  Soma dos termos de ordem par.
4.7Em uma P. A. finita cujo número de termos é par,
a diferença entre a soma dos termos de ordem
par e a soma dos termos de ordem ímpar resulta
na metade do produto do número de termos
pela razão da progressão, ou seja:
S p  Si 
n.r 
2
(FRANCO) Um quadrado de área A, está
contido no interior de um outro maior de área
A1 + A2. Se o lado do quadrado maior é 9cm
e os números A1, A2, A1 + A2 formam, nessa
ordem, uma P.A., então o lado do menor quadrado
mede , em cm:
a) 3
d) 4,5
b) 3
e) n. d. a
c) 3
3
2. (FRANCO) O valor de x para que
log2x ,
log2(3x + 2), log2(10x + 12) formem, nessa ordem
uma P.A. é:
a) Um número natural quadrado perfeito
b) Um número negativo
c) Um número par
d) Um número ímpar
e) Inexistente
5. CLASSIFICAÇÃO DA P. A:
5. 1  Se r  0 a P. A é CRESCENTE
5. 2  Se r  0 a P. A é CONSTANTE
3. (FRANCO) O produto da raízes da equação
x2 + 2x – 3 = 0 é a razão de uma P.A. de
primeiro termo 7. O 100 termo dessa P.A. é:
a) –200
b) –304
c) –290
d) –205
e) –191
4. (FRANCO) Quantos números ímpares há entre
14 e 192
a) 88
b) 89
c) 87
d) 86
e) 90
5. (FRANCO) O número múltiplos de 7 entre
1.000 e 10.000, é:
a) 1.280
b) 1.284
c) 1.282
d) 1.286
e) 1.288
17. (FRANCO) Determinar a localização do número
22 na P.A. (82, 76, 70, ....... ) .
a) 12
b) 10
c) 11
d) 9
e) 13
18. (FRANCO) Determinar o número de termos de
uma P.A., onde an = 28, a1 = 8 e n = r .
a) 5 e -4
b) 5
c) –4
d) –5
e) 4
19.
(FRANCO) Calcular o 18 termo da P.A. em
que a6 = 3 e r =
6. (FRANCO) A soma de todos os números naturais
compreendidos entre 100 e 200, e tal que o resto
da divisão de cada um deles por 5 seja 2, é:
a) 2.990
b) 2.691
c) 2.713
d) 2.027
e) n. d. a
7. (FRANCO) A soma de todos os números naturais,
não nulos, não maiores que 600 e não múltiplos
de 5 e:
a) 180.300
b) 136.415
c) 141.770
d) 147.125
e) 144.000
8. (FRANCO) O termo geral de uma seqüência é
an = 4.n – 7, an  N. A soma dos vintes primeiros
termos dessa seqüência é:
a) 720
b) 700
c) 670
d) 640
e) 580
9. (FRANCO) Se 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 105, então
o valor de n é:
a) 12
b) 14
c) 11
d) 13
e) 15
10. (FRANCO) Para que a soma dos n primeiros
termos da P.A. de 1 termo a seja
n2.a,
qualquer que seja n, o valor da razão é:
a) a
b)
a
2
c) a2
d) 2a
e) 3a
(FRANCO) Três números positivos estão em
P.A.. A soma deles é 12 e o produto 18. O
termo
do meio é:
a) 2
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
12. (FRANCO) Dada a P.A. cujo o 1 termo é 12 e
cuja a razão é 4, se a média aritmética, dos n
primeiros termos dessa progressão é 50, o valor
de n é:
a) 18
b) 20
c) 24
d) 30
e) 36
b) –6
a) 6
3
.
4

d) –5
c) 5
e) –3
20. (FRANCO) O primeiro termo a de uma P.A. de
razão 13 satisfaz 0  a  10. Se um dos termos
da progressão é 35, o valor de a é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 3
21. (FRANCO) A soma do 4 e 8 termos de uma
P.A. É 20. O 31 termo é o dobro do 16
termo. A P.A. é:
a) (-5, -2, 1, ..... )
b) (5, 6, 7, .....)
c) (0, 2, 4, ..... )
d) (0, 3, 6, ..... )
e) (1, 3, 5, ..... )
22. (FRANCO) O valor



de x

para
que
Log 2 ,
Log 2 x  1 , Log 2 x  3 ,
nessa ordem ,
sejam termos consecutivos de uma P.A. É:
a) log23
b) log25
c) log27
d) log52
e) 3
23. (FRANCO) O terceiro termo da P.A. cujo a soma
dos seus n primeiros termos é n2 + 2n, é:
a) 7
b) 6
c) 8
d) 3
e) 11
11.
13. (FRANCO) Determinar a soma de todos os
múltiplos positivos de
5
formados por
2
algarismos.
a) 943
b) 944
c) 945
d) 946
e) 947
14. (FRANCO) Interpolar oito meios aritméticos entre
-3 e 15. Logo a razão é igual a:
a) 1
b) –2
c) –1
d) 2
e) 3
15. (FRANCO) Num cofre há 1.000 moedas iguais.
Retirando 10 moedas na 1a vez, 30 na 2a, 50
na 3a e assim por diante, aumentando em 20 a
quantidade de moedas em cada retirada, depois
de quantas retiradas esvaziaremos o cofre
a) 10
b) 12
c) 9
d) 11
e) 13
16. (FRANCO) Em uma P.A. de termos positivos, os
três primeiros termos são
1–a,- a e
11  a . O quarto termo dessa P.A. é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
24. (FRANCO) A soma dos 3 e 4 termos da
seqüência , inserir fórmula, é:
a1  18

n 1
*
a n 1  18   1  a n , n  N
a) –36
b) –18
c) 0
d) 18
e) 36
25. (FRANCO) Se a soma dos dez primeiros termos
de uma P.A. é 50 e a soma dos vinte primeiros
termos também é 50, então a soma dos trinta
primeiros termos é:
a) 0
b) 25
c) 50
d) 100
e) 150
GABARITO
1. C
2. C
3. C
4. B
5. D
6. A
7. E
8. B
9. B
10. D
11. D
12. B
13. C
14. D
15. A
16. B
17. C
18. B
19. B
20. C
21. C
22. B
23. C
24. B
25. A