Propriedades operatórias dos logaritmos

Credenciamento
Portaria MEC 3.613, de 08.11.2004 - D.O.U. 09.11.2004.
Fundamentos de Matemática II
Unidade de Aprendizagem 4: Contextualizando funções e sequências numéricas – Quest(v)
[03/10/2014 - 12/11/2014]
Progressões
Veja alguns exemplos:
Progressão Aritmética (PA)
1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é
11, calcule o 13o termo:
Considere as sequências numéricas abaixo:
a) (2, 4, 6, 8, 10, 12). Veja que a partir do 2º termo a diferença
entre cada termo e o seu antecessor é constante, pois:
Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
a1 = 5
O segundo termo (chamado a2) menos o primeiro termo
(chamado a1) é igual a 2, e assim sucessivamente (a3 – a2 = 2,
a4 – a3 = 2, ....)
b) (2, 3/2, 1, 1/2, 0, -1/2)
a2 – a1 = 3/2 – 2= –1/2; a3 – a2 = 1 – 3/2 =–1/2; a5 – a4 = 0 –
1/2 = –1/2; a6 – a5 = –1/2 – 0 = –1/2
Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e
o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão
aritmética (PA). À constante (2 no primeiro exemplo e – 1/2
no segundo exemplo), damos o nome de razão (r).
Obs.:
r = 0 → P.A. é constante.
r > 0 →P.A. é crescente.
r < 0 → P.A. é decrescente.
De um modo geral temos, chama-se de progressão aritmética
(P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a
diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto
é:
r = 11
a13 = ?
Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an
será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:
a13 = 5 + (13 - 1).11
a13 = 5 + (12).11
a13 = 5 + 132
a13 = 137
2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
a5 = a1 + (5 - 1).r
100 = a1 + (5 - 1).10
100 = a1 + 40
100 - 40 = a1
a1 = 60
3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:
a7 = a1 + (7 - 1).r
Substituindo pelos valores 21 = a1 + 6r
a9 = a1 + (9 - 1).r
Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)
Substituindo pelos valores 27 = a1 + 8r
a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ...= an – an –1 = r
Fórmula do Termo Geral de uma PA
Vamos considerar a sequência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an)
de razão r, podemos escrever:
Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou
seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na
primeira equação e substituir na segunda:
a1 = 21 - 6r
Agora, substituindo na segunda:
a2 = a1 + r
a3 = a 2 + r
a4 = a3 +r
...
Somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos:
a2 + a3+ a4+...+ an –1 + an = a1+ a2+ a3+ ... an –1+ (n – 1).r
Após a simplificação, temos a fórmula do termo geral de uma
PA:
an = a1 + (n – 1).r
27 = (21 - 6r) + 8r
27 = 21 + 2r
27 - 21 = 2r
6 = 2r
6/2 = r
r=3
Interpolação Aritmética
Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números
a1 e an, significa obter uma PA de k + 2 termos, cujos os
extremos são a1 e an.
Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se
resume em calcularmos a razão da PA.
Exemplo:
a) Veja esta PA (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritméticos,
logo a P.A. terá 8+2 termos, onde:
a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos.
an = a1 + (n-1).r → r = 1
a PA ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
b) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e
66 para que a razão da interpolação seja 8?
Se queremos interpolar números entre 2 e 66 com razão 8,
podemos fazer o termo geral da PA.
an = a1 - (n - 1).r
sendo que an é o ultimo número (66)
sendo que a1 é o primeiro número (2)
e a razão é 8
66 = 2 - (n-1).8
64 = 8n - 8
56 = 8n
n=7
Então, contando o 2 e o 66, a PA teria 7 termos.
Como queremos interpolar, nós não contamos o primeiro,
nem o ultimo termo.
Ficando apenas com 5.
Soma dos termos de uma PA
Um professor de matemática mandou os alunos de uma das
suas turmas somarem de 1 a 100 como forma de castigo. Para
sua surpresa, o prodígio (que se tornou matemático) alemão
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) – na época, uma criança –
conseguiu resolver tal questão em um tempo surpreendente.
Como isso foi possível?
...Agora é com você...
(i) Defina a fórmula da soma dos termos de uma PA.
(ii) defina a fórmula do termo geral de uma Progressão
Geométrica (PG)
(iii) Defina a fórmula da soma dos termos de uma PG.
OBS: resolva os exercícios para entregar, anexos na
mesma Quest!