Progressões Aritméticas

INSS – Técnico Judiciário
Prof. Anderson Conceição
Progressões Aritméticas
Para entendermos esta matéria, vamos dar uma
olhada no sentido do nome "Progressões Aritméticas".
"Progressão" é tudo aquilo que progride, que vai
para frente, que muda. Como estamos falando de
matemática, certamente será com números. Uma
progressão é uma sucessão de números um após os
outros (Ex. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... - ou também, 1, 5, 23, 25, 20, 20, 7,...). Ou seja, quando falamos simplesmente
PROGRESSÃO, estamos nos referindo a alguns
números colocados um após o outro sem,
necessariamente, possuir uma lógica em sua distribuição.
E para ser uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA),
o que deve acontecer?
Uma progressão aritmética é uma sucessão de
números, um após o outro, que seguem um "ritmo
definido".
Veja a progressão abaixo:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
Esta progressão segue um ritmo definido, mostrado
na figura abaixo:
Matemática - 05
Soma dos "n" Primeiros Termos
Observe o exemplo:
Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos
de uma PA com "n" termos? A soma do primeiro com o
último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos
escrever:
Sn = [(a1 + an )/ 2] . n
OBS: Se o número de termos for ímpar podemos utilizar :
Ou seja, temos um ritmo que é o de SOMAR DUAS
UNIDADES a cada elemento que acrescentamos. Este é
o ritmo que estamos falando, somar sempre o mesmo
número a cada elemento acrescentado.
Como ela é uma progressão numérica que segue um
"ritmo definido" de acréscimo em relação ao número
anterior, ela pode ser classificada como uma
PROGRESSÃO ARITMÉTICA CRESCENTE, pois note
que sempre irá crescer.
Veja outro exemplo:
(16, 13, 10, 7, 4, 1, -2, -5...)
Esta também pode ser classificada como uma PA,
pois segue um ritmo definido. O qual, diferente da
anterior, é de decréscimo. Por ser assim, ela é chamada
de PROGRESSÃO ARITMÉTICA DECRESCENTE.
Termo Geral
Vamos usar a progressão dada anteriormente:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e
assim por diante. Cada termo de uma PA tem seu nome:
o primeiro é chamado de a1, o segundo de a2, o terceiro
de a3 e assim sucessivamente. A razão é um termo
qualquer a partir do 2º, menos o seu antecessor. Nessa
seqüência a razão é igual a 2.
Quando temos um termo que não sabemos sua
posição, chamamos de an, onde "n" é a posição ocupada
pelo termo em questão. Este é o termo geral, pois pode
ser qualquer um. Sua expressão é dada por:
an = a1+ (n -1) . r
an = Termo geral
a1= 1º Termo
n = Número de termos
r = Razão
Para 3 termos - ( x – r , x , x + r )
Para 5 termos - ( x - 2r , x - r , x , x + r , x + 2r )
Exercícios:
01. Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro
termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo
elemento -13 é:
a) 8a
b) 7a
a
c) 6
d) 5a
e)
4a
02. O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x)
seja uma PA é:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3
d) 1/3
e) 2
03. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada
por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
a) 195
b) 190
c) 27
d) 26
e) 25
04. Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250
para termos uma PA de razão 23?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
OBS : A razão define se a P.A é crescente, decrescente
ou constante.
Crescente: r >0
Decrescente: r < 0
Constante: r = 0
Atualizada 01/06/2005
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05. Na seqüencia definida por
dos 10 primeiros termos é igual a:
a) 53/2
b) 265/2
c) 53
d) 265
e) 530
Este quadro nos dá a PG:
(5, 15, 45, 135, 405...)
, a soma
06. A PA (a1, a2, a3, ...) tem razão "r". A razão da
progressão definida por bn=a5n é
a) r
b) r+r
c) 5r
d) r-5
e) r/5
Matemática - 05
Note que esta PG esta crescendo, pois qualquer
número multiplicado por um número maior que 1
aumenta. Esta, então, se chama PG crescente. Mas e se
a nossa razão fosse menor que 1, mas maior que 0
(0<q<1), por exemplo, 1/2.
Se isto ocorrer, os termos desta PG irão diminuir
cada vez mais, chegando bem perto de 0 (zero). Esta,
então, se chama PG decrescente.
Quando a PG tem um final, ou seja, um último termo,
chamamos de PG finita. Se não tiver um final, ou seja,
nenhum último termo, é chamada de PG infinita.
Termo Geral:
n-1
07. O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o
primeiro termo é 4 e o último 58, é
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
an = a1 . q
an = Termo geral
a1= 1º Termo
n = Número de termos
q = Razão
08. A soma dos 40 primeiros números naturais é igual
a
a) 400
b) 410
c) 670
d) 780
e) 800
1º) q = (a2 / a1 ) = (a3 / a2 ) = (a4 / a3) = constante
09. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no
dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total
de 35200 metros. O número de metros que ele correu
no último dia foi igual a
a) 5100
b) 5200
c) 5300
d) 5400
e) 5500
Propriedades:
2
2º) a2 = a1 . a3
OBS: Se a1 = q temos ainda: a1 . a3 = a4
a1 . a3 . a4
=
1+3+4=8
a8
8
( A soma dos índices de cada lado devem ser iguais )
Soma dos termos de uma P.G
a) P.G Finita: ( limitada)
Sn = [ a1
.
(qn - 1)] / q - 1
10. A quantidade de meios aritméticos que se devem
interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de
razão 7, é
a) 3a-2
b) 3a-1
c) 3a
d) 3a+1
e) 3a+2
b) Limite da soma de uma P.G infinita: (ilimitada)
Progressão Geométrica
Vamos ver um exemplo: escolhemos um termo
qualquer para ser o primeiro. Pode ser 5. Para razão,
escolhemos 3. Pronto, então a PG seria assim:
a)
b)
c)
d)
e)
a1=5
agora para achar o a2 devemos
simplesmente multiplicar o primeiro
termo, que é 5, pela razão, que é 3;
a2=5*3=15
para
achar
o
próximo
termo,
multiplicamos novamente pela razão;
a3=15*3=45
e assim sucessivamente...
a4=45*3=135
a5=135*3=405
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Sn = a1 / 1 - q
Exercícios:
01. A soma dos seis primeiros termos da seqüência
definida por
02. Sendo
valor de X:
a) 17/6
b) 15/6
c) 15/4
d) 95/94
e) impossível de se calcular
, com
, é:
, calcule o
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03. Quantos meios geométricos devemos interpolar
entre 2/3 e 32/243 para obtermos uma PG de razão
.
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Matemática - 05
09. A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500000) é
a) 222 222
b) 333 333
c) 444 444
d) 555 555
e) 666 666
10. De acordo com a disposição dos números abaixo,
04. O valor positivo de x que torna a sucessão
uma PG é:
a)
b)
A soma dos elementos da décima linha vale:
a) 2066
b) 5130
c) 10330
d) 20570
e) 20660
c)
d)
e)
05. Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é
igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros
é 24. Nessa progressão a razão é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
06.
O
valor
de
x
para
que
a
seqüência
da
equação
Rascunho
seja uma PG é
a)
b)
c)
d)
e)
07.
O
conjunto
solução
é:
a)
b)
c)
d)
e)
10
15
20
25
30
08. A soma de três números que formam uma PG
crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem
alterar os outros dois, eles passam a constituir uma
PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros
números e o terceiro é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
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