NÚMEROS COMPLEXOS (C)

Professor: Cassio Kiechaloski Mello
Disciplina: Matemática
Aluno:____________________________________________________
N°____
Turma:____________ Data:__________
NÚMEROS COMPLEXOS (C)
Quando resolvemos a equação de 2º grau x² - 6x + 13 = 0 procedemos da seguinte forma:
− b ± b 2 − 4ac 6 ± 6 2 − 4 × 1× 13 6 ± 36 − 52 6 ± − 16
=
=
=
2a
2 ×1
2
2
Para encontrar o valor de x, precisaríamos calcular a raiz quadrada de -16, o que é impossível
no conjunto ℜ
A solução encontrada foi construir um novo conjunto numérico onde fosse possível que o
quadrado de um número fosse negativo.
Muitos matemáticos estudaram tais problemas, mas este novo conjunto só passou a ser
considerado legítimo quando GAUSS propôs uma interpretação geométrica destes números
usando uma adaptação do plano cartesiano ( Plano de Argand Gauus).
Ao contrário do que se imagina imediatamente, o estudo dos números complexos surgiu na
resolução de equações de 3º grau.
x=
UNIDADE IMAGINÁRIA
É representada pela letra i. Sabe-se que i² = -1 ou i 2 = − 1
Exemplo:
6 ± − 16 6 ± 16 * (−1) 6 ± 4 − 1
=
=
. Então x1 = 3 – 2i e x2 = 3 + 2i
2
2
2
Exercício:
Resolver, em C:
a) x² + 1 = 0
b) x² - 4x + 5
c) x² - 4x + 29
d) x² - 6x + 25
POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA
i0 = 1
4
= i 2 × i 2 = (−1) × (−1) = 1
i1 = i
i 5 = i 4 × i = 1× i = i
i 2 = −1
i 6 = i 4 × i 2 = 1× (−1) = −1
i 3 = −i
i 7 = i 5 × i 2 = i × (−1) = −i
As potências de i se repetem de quatro em quatro ( 1, i, -1, -i). Assim, para calcular in,
basta calcular ir, onde r é o resto da divisão de n por 4. in = ir
Exercícios:
a) i9
b) i7
e) i14
f) i1357
c) i28
g)
d) i12
i 25 + i10
i 20
FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Todo número complexo pode ser escrito da forma Z = a + bi, onde a é a parte real e b a
parte imaginária do número.
Chamaremos de conjugado de Z o número Z = a – bi.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Dados Z = a + bi e W = c + di , por exemplo Z = 2 + 3i e W = 1 + 2i
Adição: Z + W = (a + c ) + ( b + d )i
Subtração: Z – W = (a – c) + (b – d )i
Multiplicação: ZxW = (a + bi)*(c + di) = (ac – bd) + ( ad + cb)i
Z a + bi
=
Para que este número não fique com uma unidade imaginária do
W c + di
denominador, deveremos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do
denominador.
Z a + bi a + bi c − di ac + bd + (bc − ad )i
=
=
×
=
W c + di c + di c − di
c2 + d 2
Divisão:
Exercícios:
1) Calcule:
a) ( 6 + 5i) + ( 2 – i) =
b) (5 + 2i) ( -3+4i) =
c) (2 + i)2
d)
4 − 8i
1 + 2i
e)
1− i
1+ i
f) [(1 + i)² + (1 - i)²]205
 z1 + z 2 = 3
2) Calcule os números complexos z1 e z2 para que se tenha: 
2 z1 − z 2 = 3i
1 1 1
3) Resolver o determinante de 3ª ordem:  1 i − i 
− i 1 i 
4) Calcular a soma da seqüência S = i + i2 + i3 + ... + i100.
5) Calcular Z em 5Z + Z = 12 + 16i
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Plano de Argand Gauss
Eixo X – Eixo real
Eixo Y – Eixo Imaginário
Exemplo: Representar graficamente os complexos
a) 2 + 2i
b) 2 -3i
c) 4i
d) -5
e) -1 - 2i
f) -3 + 3i
MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O módulo de um número complexo é a distância entre o ponto aonde ele se localiza no
plano argand Gauss ( afixo ) até a origem.
|Z|² = a² + b² → | Z |= a 2 + b 2 O módulo será representado pela letra ρ
O argumento do número complexo é o ângulo de inclinação em relação ao eixo x.
b
a
senθ =
cos θ =
|ρ|
|ρ|
a

cos θ = ρ ⇒ a = ρ cos θ

Assim: Z = a + bi 
Z = ρ cos θ + iρsenθ = ρ [cos(θ ) + isen(θ )]
b
senθ = ⇒ b = ρsenθ
ρ

Exemplo:
Determinar o módulo, argumento, escrever na forma trigonométrica e fazer a representação
no gráfico de Gauss do número complexo Z = −2 + 2 3i
Exercícios:
1) Calcule o módulo, argumento e escreva na forma trigonométrica os números complexos
abaixo:
a) Z = 1 + i
b) Z =
1
3
−i
2
2
c) Z = 2 3 − 2i
2) (UFRGS) A soma dos módulos das raízes de x² + 2x + 3 = 0 é:
(A) 3
(B) 2 3
(C) 3
(D) 6
(E) 8
3) (PUCRS) A forma trigonométrica do número complexo - 3 +i é:
(A) cos 30º + i sen 30º
(B) 2 ( cos 30º - i sen 30º)
(C) 2 ( cos 120º + i sen 120º)
(D) 2 ( cos 30º + i sen 30º)
(E) 2 ( cos 150º + i sen 150º)
4) Qual é o argumento dos complexos abaixo?
a) Z = - 1+ i
b) Z =
3+i
c) Z =
2
2
−
2
2
3
d) Z = − i
4
5) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos:
a) Z = 1 + i 3
b) Z =
1
3
−i
2
2
c) Z = -2i
d) Z = −5 2 + i5 2
e) Z = 4
f) Z = 1 + i
6) Qual a forma algébrica de cada m dos seguintes números complexos?
a) Z = 3 ( cos 120º + i sen 120º)
b) Z = cos 180º + i sen 180º
c) Z = 4 ( cos 30º + i sen 30º)
2 ( cos 300º + i sen 300º)
d) Z =
e) Z = 10 ( cos 90º + i sen 90º)
f) Z =
1
( cos 210º + i sen 210º)
3
OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Multiplicação
Divisão
Z1 × Z 2 = ρ1 ρ 2 [cos(θ1 + θ 2 ) + isen(θ1 + θ 2 )]
Z1 ρ1
= [cos(θ1 − θ 2 ) + isen(θ1 − θ 2 )]
Z2 ρ2
Potenciação
Z n = ρ n [cos(nθ ) + isen(nθ )]
Radiciação
n
  θ + 2kπ
Z = n ρ cos
  n
 θ + 2kπ 

 + isen
 K = {0, 1 , 2, ...,n-1}

 n 
Exemplos:
a) Z = 8( cos 75º + i sen 75º ) e W = 2 ( cos 15º + i sen 15º )
Z
Calcular ZxW e
W
π
π

b) Sabendo que Z = 2 cos + isen  , calcule Z6
3
3

c) Determine as raízes cúbicas de Z = i
Exercícios:
1) No plano de Gauss, o afixo do número complexo Z = ( 1 + i )4 é um ponto do:
a) eixo real
b) eixo imaginário
c) 1º Quadrante
d) 3º quadrante
e) 4º quadrante
 π
2) (UFRGS 1998) Em um sistema de coordenadas polares P 3,  e Q ( 12,0) são 2 vértices
 6
adjacentes de um quadrado. O valor numérico da área deste quadrado é:
a) 81
b) 135
c) 153
d) 153 - 36 2
e) 153 - 36 3
3) Determine as raízes cúbicas de 8 e represente seus afixos no plano.
4) (FURG – RS ) Para que (5 – 2i)*(k + 3i) seja um número real, o valor de K deverá ser:
2
2
15
15
a)
b) c)
d) e) 0
15
15
2
2
5) (PUCRS) Se as imagens geométricas dos números complexos 0, Z e Z no plano de Argand
Gauss são os vértices de um triângulo eqüilátero, então a medida do segmento que une as
imagens de Z e Z é:
(a)
Z
2
b)
Z
2
c) Z
d) 2 Re(z)
e) Im (z)
6) (Cefet- PR) Considere o número complexo 3 + 3i , representado por um ponto no plano
de Argand-Gauss. Se multiplicarmos este número por uma unidade imaginária i, o
segmento de reta que une este ponto à origem do sistema sofrerá uma rotação de:
(A) 30º no sentido anti-horário
(B) 150º no sentido horário
(C) 120º no sentido horário
(D) 60º no sentido horário
(E) 90º no sentido anti-horário
7) (Unit- MG) No conjunto dos números complexos, os três números cujo cubo vale 1 são:
(A) 1, -1, i
(B) 1, 1+ i, 1-i
1
3
(C) 1, i, +
i
2 2
1
3
1
3
(D) 1, − +
i, − −
i
2 2
2 2
8) (UFRGS) Dados os números complexos abaixo:
Z1 = 7 + 2i
Z 2 = 1 + 2 2i
Z 3 = 3i
A alternativa correta é:
(A) Z1 e Z2 têm o mesmo conjugado.
(B) a parte real de Z1 é menor que a parte real de Z2
(C) a soma de Z1 com Z3 é um número real
(D) a parte imaginária de Z3 é zero
(E) Z1, Z2 e Z3 têm módulos iguais
9) (UFRGS) Na figura, o número complexo Z é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2
2
+
i
2
2
2
2
i
−
−
2
2
− 2 −i 2
2 +i 2
2 −i 2
10) (UFRGS) Considere as afirmações seguintes:
I – O produto de dois números complexos conjugados é um número real.
II – O módulo de um número complexo é um número real não negativo.
III – O argumento de qualquer número complexo da forma bi ( b≠0) vale
Quais estão corretas?
(A) Apenas II.
(B) Apenas II e III.
(C) Apenas I e II.
(D) Apenas I e III.
(E) I, II e III.
π
2