Números Complexos - Forma Trigonométrica

3º Ano do Ensino Médio – 2º Bimestre.
Material de apoio – Aulas referentes aos dias 04/05 e 07/05.
Tema: Números Complexos (Módulo, Argumento e Forma Trigonométrica).
1.1. MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Seja P o afixo do número complexo z = a + bi. Denomina-se módulo de z a distância de P à origem
(0, 0). O módulo de z será indicado por |z| ou pela letra grega  (rho).
Graficamente, temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, vem:
 2  a 2  b2    a 2  b2 .
Portanto o módulo do número complexo z é dado por:
z    a 2  b2 .
1.2. ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Seja P o afixo do número complexo z = a + bi, representado no plano:
Denomina-se argumento de z a medida do ângulo  , formado
pelo segmento OP e pelo eixo x, medido em radianos no sentido
anti-horário, com 0    2 . Então, temos:
b
a
sen  e cos  . Indicamos por arg(z)   .


Conhecendo sen 
b

e cos 
a

determinamos um único valor de  no intervalo 0    2 .
Na figura abaixo, indicamos os “arcos notáveis” do intervalo [0, 2 [ com seus respectivos cossenos
e senos.
1.3. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Vimos anteriormente que:
a
b
cos   a   .cos  (i) e sen   b  .sen (ii)


Substituindo (i) e (ii) em z = a + bi, temos: z  .cos   . sen  . i  z  .(cos   i. sen ) . Essa
expressão é a forma trigonométrica ou forma polar do número complexo z = a + bi, de módulo  e
argumento  .
Exemplo 1. Dar a forma trigonométrica dos seguintes números complexos:
a) z = – 1 + i
b) z = – 3i
Exemplo 2. Colocar z = 1 + i na forma trigonométrica.
7
7

Exemplo 3. Escrever, na forma algébrica, o número complexo: z  3 2.  cos
 i. sen
4
4


.

Atenciosamente, Jair Júnior.