Apostila de Cálculo para AGR

Cálculo Diferencial e
Integral I
Curso de Agroecologia
Profª Paula Reis de Miranda
2012/2º semestre
Cálculo I
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUDESTE DE MINAS
GERAIS
PROGRAMA ANALÍTICO DE DISCIPLINA
CAMPUS: Rio Pomba
CURSO:
Bacharel em Agroecologia
PERÍODO: 2º
SEMESTRE/ANO:
DISCIPLINA:
2º/2012
CÓDIGO:
MAT 192
Cálculo Diferencial e Integral I
Paula Reis de Miranda
PROFESSOR
RESPONSÁVEL PELA
DISCIPLINA:
PROFESSOR (ES)
COLABORADOR (ES):
CARGA HORÁRIA TOTAL:
66
Nº TOTAL DE AULAS:
Nº TOTAL DE AULAS PRÁTICAS:
22
Nº TOTAL DE AULAS TEÓRICAS:
PRÉ-REQUISITO (S):MAT 159 OU
MAT 151 VIAGEM
72
50
CO-REQUISITO (S):
EMENTA
Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). Limites e Continuidade de Funções
Reais. Derivadas. Aplicações da derivada. Máximos e Mínimos. Integral indefinida. Integral
definida. Teorema Fundamental do Cálculo.
OBJETIVOS
Desenvolver a intuição, a capacidade de raciocínio lógico, a observação, a investigação, a análise e o
delineamento de conclusões do aluno, testando-os na resolução de problemas no decorrer do curso e
na vida profissional.
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1
Cálculo I
N° AULAS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
T
P
Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão).
8
4
Limites e Continuidade de Funções Reais.
8
2
Derivadas.
8
4
Aplicações da derivada.
4
4
Máximos e Mínimos
2
2
Integral indefinida
8
2
Integral definida.
4
4
Teorema Fundamental do Cálculo.
8
0
METODOLOGIA DE ENSINO
O conteúdo será ministrado por meio de aula expositiva dialogada, demonstrativa, trabalhos
individuais e em equipes, listas de exercícios estimulando o pensamento crítico, levando o aluno a
construir seu próprio conhecimento.
RECURSOS DIDÁTICOS
-
Quadro branco, pincel e apagador;
Apresentação de slides, computador e TV.
Softwares educativos: Winplot e Graphmat
Apostilas e listas de exercícios
Livros da Biblioteca
AVALIAÇÃO
A avaliação será realizada de forma dinâmica, contínua e processual através de atividades em grupo
e individual e a partir da observação e análise do desempenho dos alunos durante a aula seguindo os
seguintes critérios:
 Iniciativa, interesse e autonomia;
 Participação nas atividades propostas;
 Capacidade de assimilação e construção dos conceitos estudados.
 Provas individuais: 50 pontos
 Provas em dupla e com consulta: 25 pontos
 Trabalhos e seminários: 25 pontos
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2
Cálculo I
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
BÁSICA:
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8ª ed. São Paulo: Editora Bookman,
2006. V. 1.
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,
STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. v. 1.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR (MÍNIMO CINCO)
ÁVILA, G. Cálculo: Funções de uma variável. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1994.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Tradução
Ronaldo Sérgio de Biasi. 7. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2002.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO (MEC). Secretaria de Educação à distância.
Matemática: conversa de professor: matemática. [s.l.]: TV Escola, 1995. Vol. 2. 1 DVD; (2h
55min). (DVD Escola, 23).
SWOKOWSKY, E. W. Cálculo com geometria analítica. V.1. São Paulo: Makron Books, 1994.
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Cálculo I
0. Revisão
0.1 Produtos notáveis
As igualdades a seguir são alguns dos produtos notáveis que ocorrem freqüentemente na
Matemática e com os quais o aluno deverá familiarizar o mais rápido possível.
a) a  c  d  ac  ad
b)  a  b a  b   a2  b2
2
c)  a  b a  b    a  b   a2  2ab  b2
2
d)  a  b  a  b   a  b   a2  2ab  b2
e)  x  a x  b  x2  a  b  x  ab
3
f)  a  b a  b  a  b   a  b  a3  3a2b  3ab2  b3
3
g)  a  b  a  b  a  b   a  b   a3  3a2b  3ab2  b3
Exercícios:
Determinar cada um dos seguintes produtos:
a) 3x  2x  3y 
b) x2 y  3x3  2y  4 
c)  3x y  2xy  5  x y
3 2
2 3
k)  3y  2 
l)  x  3  x  5 
m)  x  2  x  8 
n)  x  2  x  8 

d)  2x  3y  2x  3y 
o)  t 2  10  t 2  12
e) 1  5x3 1  5x3 
p)  x  2y 
3
f)  5x  x3 y2  5x  x3 y2 
g)  3x  5y 
3
q)  3x  2
2
r)  2y  5 
3
2
h)  x  2
s)  xy  2
3
i)  ax  2by 
2
j)  x 4  6 
2
t)  x2 y  y2 
3
2
0.2 Fatoração
Os métodos mais usuais são os seguintes:
a) Fator monônio comum
ac  ad  a  c  d
Exemplos: 6x2 y  2x3  2x2  3y  x 
2x3 y  xy2  3x2 y  xy  2x2  y  3x 
b) Diferença de dois quadrados
a2  b2   a  b a  b 
Exemplos: x2  25   x  5  x  5 
c) Trinômio quadrado perfeito
4x2  9y2   2x  3y  2x  3y 
a2  2ab  b2   a  b 
2
a2  2ab  b2   a  b 
2
Exemplos: x2  6x  9   x  3 
d) Outros trinômios
x2  a  b x  ab   x  a  x  b 
2
9x2  12xy  4y2   3x  2y 
2
acx2   ad  bc  x  bd  ax  b cx  d
Exemplos: x2  5x  4   x  4  x  1
3x2  5x  2   x  2 3x  1
x2  xy  12y2   x  3y  x  4y 
6x2  x  12  3x  4  2x  3 
8  14x  5x2   4  5x   2  x 
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Cálculo I
Exercícios
Fatore os seguintes polinômios
a) 2x2  3xy
b) 4x  8y  12z
n) 16a4  72a2b2  81b4
o) x2  6x  8
p) x2  6x  8
q) x2  2x  8
r) x2  2x  8
s) 3x3  3x2  18x
t) y 4  7y2  12
c) 10a2b3c 4  15a3b2c 4  30a4b3c 2
d) x2  9
e) 25x2  4y2
f) 1  m2n4
g) x2 y2  36y 4
j) x2  8x  16
k) 1  4y  4y2
u)  x  1  3  x  1  2
v) 3x2  10x  3
w) 2x2  7x  3
x) 2y2  y  6
l) x2  16xy  64y2
y) 6x2  xy  2y2
2
h) 1  x8
i) x3 y  y3 x
m) 16m2  40mn  25n2
Respostas:
a) x  2x  3y  ;




c) 5a2b2c 2 2bc  3ac 2  6a2b ;




f) 1  mn2 1  mn2 ;
g) y2  x  6y  x  6y 
h) 1  x 4 1  x2 1  x 1 x  ; i) xy  x  y  x  y  ; j)  x  4  ; l)  x  8y  ; n)  2a  3b   2a  3b  ;
o)  x  4  x  2 ;
2
s) 3x  x  3  x  2 ;
u)  x  3  x  2 ;
2
v)  3x  1 x  3  ;
2
2
w)  2x  1 x  3  ;
x)  2y  3  y  2 ; y)  3x  4y  2x  3y  ;
0.3 Logaritmos
Definição: Se bx  a , sendo a um número positivo qualquer e b positivo e diferente de 1, o
expoente x é o logaritmo de a na base b, escrevendo-se x  logb a .
Exemplos: 32  9 , logo 2 é logaritmo de 9 na base 3, isto é, 2  log3 9 .
log2 8 é o número x, a que se deve elevar a base 2 para obter 8, isto é,
2x  8, x  3 . Assim, log2 8  3 .
Propriedades dos logaritmos:
i) O logaritmo do produto de dois números positivos a e b é igual à soma dos logaritmos dos números,
isto é:
logc ab  logc a  logc b
ii) O logaritmo do quociente de dois números positivos a e b é igual à diferença dos logaritmos dos
números, isto é:
a
logc  logc a  logc b
b
iii) O logaritmo da potência p de um número positivo a é igual ao produto p pelo logaritmo do número,
isto é:
logc ap  p.logc a
Exemplos:
a) log2 15  log2 3.5  log2 3  log2 5
b) log
17
 log17  log24
24
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Cálculo I
c) log7 53  3log7 5
1
log 3 2  log2 3 
1
log2
3
iv) logb b  1
De fato, fazendo logb b  x tem-se: bx  b  x  1
v) logb 1  0
De fato, fazendo logb 1  x tem-se: bx  1  b0  x  0
vi) logb bx  x
De fato, pelas propriedades (iii) e (vi) temos: logb bx  x.logb b  x.1  x .
vii) Mudança de base
logk a
logb a 
, k, com k  IR* , k  1
logk b
Exercícios
1) Passar da forma exponencial para a logarítmica:
i) modelo: pq  r

q  logp r
ii) 23  8
iv) 32 
iii) 42  16
1
9
2
v) 8 3 
1
4
2) Passar da forma logarítmica para a exponencial:
i) modelo: log5 25  2

52  25
ii) log2 64  6
iii) log 1
4
1
2
16
3) Calcular o valor dos logaritmos seguintes:
i) log4 64
ii) log3 81
iii) log 1 8
iv) loga a3  3
iv) log 3 10
v) logr 1  0
v) log5 125 5
2
Respostas: i) 3; ii) 4; iii) 3 ; iv)
1
7
; v)
3
2
4) Resolver as seguintes equações:
9
2
3
i) log3 x  2
ii) log4 y  
iii) logx 25  2
iv) logx  
2
4
3
1
5
8
Respostas: i) 9; ii) ; iii) 5; iv)
; v) 1, 
8
3
27
5) Resolver (use logaritmos e calculadora):
i) 52x 2  35x 1
ii) 42x 1  5x 2
iii) 3x 1  4.513x
Respostas: i) 1,898; ii) 3,958; iii) 0,6907


v) log 3x2  2x  4  0
6) Sabendo que log6 5  0,898 e log6 2  0,386 calcular (somente use a calculadora nas operações
de multiplicação e divisão):
5
a) log6 10
b) log6 2,5
c) log2 5
d) log6 20
e) log6
f) log6 5
12
Respostas: a) 1,284; b) 0,512; c) 2,326; d) 1,67; e)  0,488 ; f) 0,449
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Cálculo I
1. Principais Funções Elementares
1.1 Função Constante
Dado um número real c, denominamos função constante à função f : IR  IR definida por
f  x  c .
Gráfico
Propriedades:
a) D  f   IR ;
b) Im  f   c ;
c) f é função par, pois f  x   f  x   c, x  IR ;
d) f é limitada, pois c  f  x   c, x  IR .
1.2 Função Identidade
Denominamos função identidade à função f : IR  IR definida por f  x   x .
Gráfico
Propriedades:
a) D  f   IR ;
b) Im  f   IR ;
c) f é função ímpar, pois f  x   x  f  x  ,
x  IR ;
d) f não é limitada.
1.3 Função Afim
Dados os reais a e b, a  0 , denominamos função afim à função f : IR  IR definida por
f  x   ax  b
Gráfico
Propriedades:
a) D  f   IR ;
b) Im  f   IR ;
c)
Se
f
é
função
b  0,
f  x   a  x   ax  f  x , x  IR
ímpar,
pois
Se b  0 , f não é função par, nem ímpar;
d) f não é limitada;
e) O gráfico intercepta o eixo x no ponto cuja abscissa
 b 
é a raiz da equação ax  b  0 ; portanto em   ; 0  .
 a 
A interseção com o eixo y é  0; b  .
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Cálculo I
1.4 Função Quadrática
Dados os reais a, b e c, a  0 , denominamos função quadrática à função f : IR  IR definida
por f  x   ax2  bx  c .
Gráfico
Se a  0
Se a  0
Se a  0
e   b  4ac  0
e0
e0
2
Se a  0
Se a  0
Se a  0
e0
e0
e0
O vértice da parábola é o ponto V de coordenadas: x v 
b
 b2  4ac
e yv 
.

4a
4a
2a
Propriedades:
a) D  f   IR ;
b) Im  f   y  IR | y  y v    y v ;   , se a  0; ou
Im  f   y  IR | y  y v    ; y v , se a  0;
b
;
2a
b
Se a  0 , f tem um valor máximo para x  x v 
;
2a

O valor mínimo (ou máximo) de f é y v 
;
4a
c) Se a  0 , f tem um valor mínimo para x  x v 
d) Se b  0 , f é função par, pois f  x   a  x   c  ax2  c  f  x , x  IR ;
e) f não é limitada;
f) Quando   0 , o gráfico intercepta o eixo x nos pontos  x1; 0  e  x 2 ; 0  onde x1 e x 2 são raízes da
2
equação ax2  bx  c  0 .
Quando   0 , o gráfico intercepta o eixo x nos pontos
 x1; 0  onde
x1 é raiz da equação
ax  bx  c  0 .
Quando   0 , o gráfico não intercepta o eixo x.
Em qualquer caso, a interseção com o eixo y é o ponto  0; c  .
2
Exercícios
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Cálculo I
1) Se f  x  
x2  3
 1
, achar: (i) f  0  , (ii) f  4  , (iii) f  2a  , (iv) f   , (v) f  x  3  .
x 1
z
2) Se f  x   x2  2x , achar
f a  h  f a 
.
h
3) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:
i) f  x   3
v) f  x   2x  2
vi) f  x   x2  x  6
5
2
iii) f  x   2x
ii) f  x   
vii) f  x   x2  6x  8
viii) f  x   x2  6x  9
x
iv) f  x  
ix) f  x   x2  2x  4
2
4) Seja f : IR  IR tal que f  x  1  x2  x  1 para todo x real. Pede-se:
a) Calcular f 1 .
b) Expressar f  x  como um polinômio inteiro de potências decrescentes na variável real x.
5) Seja a função f  x   ax  b, x  IR , onde a e b são constantes reais. Pede-se determinar a e b não


nulos e tais que f f  x   b  f  x   b2 para todo x real.
6) Os produtos farmacêuticos devem especificar as dosagens recomendadas para adultos e crianças.
Duas fórmulas para modificações da dosagem de adulto para uso por crianças são:
1
Regra de Cowling: y 
 t  1 a
24
2
Regra de Friend: y 
ta
25
Onde a denota a dose de adulto (em miligramas) e t a idade da criança (em anos).
a) se a = 100, faça o gráfico das duas equações lineares no mesmo sistema de eixos para 0  t  12 .
b) para que idade as duas fórmulas especificam a mesma quantidade?
7) Considere a função f : IR  IR , tal que f  x   ax2  bx  c, f  0  5; f 3   11e f 5   15 . Calcular
as constantes a, b e c.
8) A resistência elétrica R (em ohms) para um fio de metal puro está relacionada com sua
temperatura T (em oC) pela fórmula R  Ro 1  aT  , para constantes positivas a e Ro .
a) Para que temperatura se tem R  Ro ?
b) Supondo que a resistência seja 0 (zero) se T  273o C (zero absoluto), determine a.
o
c) Um fio de prata tem uma resistência de 1,25 ohms a 0 C. A que temperatura a resistência é igual a
2 ohms?
9) Sejam a e h reais e dadas as funções: i) f  x   5x  2 e ii) f  x   3  4x , determine para cada uma
delas:
f a  h  f a 
a) f  a  h
b) f  a   f h
c)
h
10) Considere a função f : IR  IR , tal que f  x   ax2  bx  c, f  0  5; f 3   11e f 5   15 . Calcular
as constantes a, b e c.
11) O gráfico de f  x   x2  bx  c , onde b e c são constantes, passa pelos pontos
0,0 e 1,2 .
 2
Calcule f    .
 3
12) Seja f  x   2x  3 . Encontre f (f (x)) e faça o gráfico.
13) No gráfico ao lado representadas as funções (I) e (II), definidas por
y  3  x e y  kx  t , respectivamente. Os valores de k e t são,
respectivamente,
14) Obter o valor das constantes m e n, dado que o gráfico da função
f  x   x3  x2  mx  n é uma curva quem passa pelos pontos  0,2 e  2,10  .
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9
Cálculo I
15) Um muro será usado como um dos lados de um galinheiro retangular. Para os outros lados será
usado um rolo de 25 metros de tela de arame. Determinar quais devem ser as dimensões do
galinheiro para que sua área seja máxima.
16) A parábola de equação y  2x2  bx  c passa pelo ponto 1, 0  e seu vértice é o ponto  3,v  .
Qual o valor de v?
17) A parábola de equação y  ax2  bx  c contém a origem do sistema de coordenadas e é
tangente à reta de equação y  4 no ponto  2,4  . Obter a  b  c .
Respostas:
1) (i) 3 ; (ii) 
1  3z 2
13
4a2  3
x 2  6x  6
; (iii)
; (iv)
; (v)
z 1  z 
2a  1
x2
3
2) 2a  2  h
4) a) 3; b) f  x   x2  x  1
5) a  1 e b  2
1
13)
e0
2
14) m  2 e n  2
15) 12,5 por 6,25
16) 8
17) 3
1.5 Função Recíproca
Dado um número real x não nulo, o recíproco (ou inverso multiplicativo ou, apenas inverso) de
1
1
x é o real . Denominamos função recíproco à função f : IR*  IR* definida por f  x   .
x
x
Gráfico
Propriedades:
a) D  f   IR* ;
b) Im  f   IR* ;
c) f é função ímpar, pois f   x  
1
1
 ,
x
x
x  IR* ;
d) f não é limitada.
1.6 Função Modular
Denominamos função modular à função f : IR  IR, definida por f  x   x .
 x se x  0
Pela definição de módulo, f  x   
-x se x  0
Gráfico
Propriedades:
a) D  f   IR ;
b) Im  f   IR ;
c)
f
é
função
f  x   x  x  f  x , x  IR ;
par,
pois
d) f não é limitada.
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10
Cálculo I
Exercícios
1) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:
i) f  x   2x
ii) f  x   x2  2x
iv) f  x  
1
2x
v) f  x  
1
 x  2
2
iii) f  x   x2  5x  6
vi) f  x  
1
 x  4
3
1
1
1
viii) f  x   2
ix) f  x  
x
x2
x
2) Numa determinada comunidade economicamente ativa, o número de pessoas cuja renda anual
1012
excede o valor x (em real) é igual a
. Quantas pessoas nessa comunidade têm uma renda anual
x2
entre R$20.000,00 e R$50.000,00?
3) À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do astronauta diminui até atingir
um estado de imponderabilidade. O peso de um astronauta de 60kg, a uma altitude de x quilômetros
vii) y 
2
 6400 
acima do mar, é dado por W  60 
 . A que altitude o peso do astronauta será inferior a
 6400  x 
2kg?
2x  1
4) Provar que se f  x  
, então f f  x   x .
x2
5) A reta e a parábola, representadas no plano cartesiano ao lado,
são gráficos de uma função do 1º grau f e de uma função do 2º grau
g, respectivamente. Observe os gráficos e responda:
a) Para quais valores de x f  x   g  x  ?


b) Qual é o domínio e a imagem de f e g?
Respostas:
2) 2100
3) x  28.654,24368 km
1.7 Função Exponencial
Dado um número real a positivo, a  0 , denominamos função exponencial de base a à
função f : IR  IR definida por f  x   ax .
Gráfico
Propriedades:
Se a  1
Se 0  a  1
a) D  f   IR ;
b) Im  f   IR* ;
c) f não é função par, nem
ímpar;
d) f não é limitada.
Exercícios
15
f x .
2
2) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:
1) Se f  x   2x , mostrar que f  x  3   f  x  1 
i) f  x   3x
ii) f  x   ex
iii) f  x   e x
 1
iv) f  x    
3
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x
11
Cálculo I
v) f  x   2x 1
vi) f  x   22x
vii) f  x   2x  2
viii) f  x   2x  1
3) Na figura ao lado está representado o gráfico de f  x   kax ,
sendo k e a constantes reais positivas, com a  1 . Calcule,
baseando-se no gráfico, o valor de f  2  .
4) Após x anos um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 21% ao
ano dará um montante (capital + rendimento) M x   1000 1,21 .
Calcule:
a) O montante após meio ano;
b) O rendimento em meio ano.
x
5) Suponha que daqui a t anos o valor de um certo carro seja dado por V  t   V0  0,9  , onde V0 é o
valor atual do carro. Qual a porcentagem de desvalorização desse carro em um ano (relativamente ao
valor inicial).
6) Numa cultura de bactérias existem inicialmente 1000 bactérias presentes e a quantidade após t
minutos é N t   1000.30,7t . Verifique que em 10 minutos a quantidade de bactérias presentes na
cultura será superior a 2.000.000.
7) O radium é uma substância que se desintegra ao longo do tempo. Partindo de uma quantidade
inicial Q0 , suponha que a quantidade de radium existente após t anos seja dada por
t
t
Q  t   Q0 1,5  1000 .
a) Calcule a porcentagem da quantidade de radium existente após 1.000 anos, relativamente à
quantidade inicial.
b) Que porcentagem da quantidade inicial se desintegra entre o 1000o e 2000o ano?
Respostas:
4) a) R$1.100,00; b) R$100,00
5) 10%
7) a) 66%; b) 22%
1.8 Função Logarítmica
Denominamos função logarítmica à função f : IR*  IR definida por f  x   loga x .
Gráfico
Propriedades:
Caso a  1
Caso 0  a  1
a) D  f   IR* ;
b) Im  f   IR ;
c) f não é função par, nem ímpar;
d) f não é limitada.
Exercícios:
1) Se f  x   logx , mostrar que f  2x   f  x   f  2 .
 
 
1
1
1
, mostrar que f a3  3 e f a z  .
x
z
3) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:
i) f  x   log3 x
ii) f  x   log 1 x
iii) f  x   ln x
2) Se f  x   loga
iv) f  x   log2  x  1
3
4) Determine, em IR , o conjunto solução de cada uma das equações:
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12
Cálculo I
x
27
3
a)   
b) 3 25x  5
c) log3  6x  9   4
d) logx 32  5
2
8
 
5) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade
Q0 , a quantidade existente após t anos seja dada por Q  t   Q0 .e0,05t . Dado ln2  0,693 , calcule t
Q0
. (Este valor de t é denominado meia-vida da substância).
2
6) Partindo de uma quantidade inicial de Q0 bactérias de uma dada espécie, após t horas a
de modo que se tenha Q  t  
quantidade existente é Q  t   Q0 .ekt onde k é uma constante. Se a quantia inicial dobrar em hora,
quanto tempo levará para se ter 1.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000
bactérias? Dado log2  0,3 .
7) Sabendo que 102k 1  7 , log7  0,845 e log5  0,699 , calcule t para que se tenha 10kt 1  5 .
8) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois dele ter
bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com
a fórmula N  t   2  0,5  , onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível é
t
constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo com segurança se
o limite permitido de álcool no sangue é de 0,8 gramas por litro? Use log2  0,301.
9) Partindo de uma quantidade inicial de Q0 bactérias de uma dada espécie, após t horas a
quantidade existente é Q  t   Q0 .ekt onde k é uma constante. Se a quantia inicial triplicar em hora,
quanto tempo levará para se ter 1.000.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000
bactérias? Dados: ln3  1,099 e ln106  13,816 .
10) O período T de um pêndulo simples de comprimento c é dado pela fórmula T  2 c / g , onde g é
a aceleração da gravidade. Achar T(em segundos), sabendo que c  281,3cm e g  981,0cm/ s 2 .
Tomar 2  6,283 .
1,32
11) Resolver a seguinte equação de hidráulica:
20,0  0,0613 

14,7  x 
.
12) Dada a fórmula T  2 c / g , achar c se T  2,75,   3,142 e g  32,16 .
13) Dados A  0,0807, G  0,0056 e P  1250 encontre D na fórmula D 
3
P
.
05236  A  G
Respostas:
5) 14 anos
6) 10 horas
7) 3,884
4
8)
hora.
3
9) 12,57 horas
10) T  3,365 segundos
11) x  0,0486
12) 6,16
13) 31,7
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Cálculo I
1.9 Função definida por várias sentenças
Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma ligada a um D
diferente contido no domínio definido.
Gráficos (Exemplos)
1, se x  0

 x, se x  0

a) f  x   2, se 0  x  1
b) f  x    2

 x , se x  0
1, se x  1

Gráficos:
y
y
2
1
1
x
x
D  f   IR e Im  f   1,2
D  f   IR e Im  f   IR 
Exercícios
1) Traçar o gráfico e dar o domínio e imagem:
1 se x  1
2x+3 se x  0
 2

i) f  x    x se 1  x  2
ii) f  x    x 2 se 1  x  2
4 se x  2
1 se x  2


 x  1, se x  3

iii) f  x   

 x  2, se x  3

log  2x  , se x  1
 x  x  2, se x  0

2, se x  1

iv) f  x    2
v) f  x   1,
se  1  x  1
se 0  x  2 vi) f  x   1,
x  3x, se x  1

 x  2,
se x  2

log  x  , se x  1
  3 
2) De acordo com o World Wildlife Found, um grupo que lidera a luta contra o comércio ilegal de
marfim, o preço do marfim (em euros por quilo) compilado de várias fontes é aproximado pela função:
8,37x  7,44 se 0  x  8
f x  
2,84x  51,68 se 8  x  30
Onde x é medido em anos, considera t  0 corresponde ao início de 1970, t  1 corresponde ao
início de 1971 e assim por diante.
a) Esboce o gráfico da função f;
b) Qual era o preço do marfim no início de 1970? E no início de 1990?
3) O cálculo do imposto de renda devido por um contribuinte é feito da seguinte forma: depois de
algumas deduções sobre o total de rendimentos anuais, chega-se a um valor denominado base de
cálculo. Sobre a base de cálculo aplica-se uma alíquota e, do resultado obtido, deduz-se uma
parcela. A alíquota e a parcela dependem da base de cálculo conforme o quadro:
2
Base de cálculo
Até $12.696,00
De $12.696,01 a $25.380,00
Acima de $25.380,00
Alíquotas
0
15%
27,5%
Parcela a deduzir
0
$1.904,40
$5.075,90
Seja f  x  o valor do imposto devido quando a base de cálculo for x reais. Dê uma expressão para
f  x  e esboce seu gráfico.
Respostas:
2) b) 7,44 euros e 108,48 euros.
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14
Cálculo I
0,
0  x  12.696,00




3) f x  
0,15x
12.696,00  x  25.380,00
0,275x  3.172,50
x  25.380,00

1.10 Funções polinomiais
Dados os números reais a0 ,a1,a2 ,a3 ,...,an1,an , denominamos função polinomial à função
f : IR  IR definida por f  x   a0 xn  a1xn1  a2 xn2  ...  an1x  an . Os números a0 ,a1,a2 ,a3 ,...,an1,an
são os coeficientes.
As funções constante, afim e quadrática são casos particulares da função polinomial.
Demais comentários sobre as funções polinomiais serão vistos nas aplicações de derivadas,
ou no decorrer do curso.
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15
Cálculo I
2. Continuidade. Limites
2.1 Noção de Continuidade
Toda função cujo gráfico é uma linha geométrica contínua é chamada função contínua.
São exemplos de função contínua:
a) uma função quadrática, como f  x   x2  2x  3 , cujo gráfico é uma parábola, portanto uma linha
geométrica contínua;
b) a função módulo, f  x  | x | , cujo gráfico é formado por duas semi-retas de origem em (0,0);
c) a função seno, f  x   senx , cujo gráfico é a senóide;
d) uma função exponencial, como f  x   2x , cujo gráfico é também uma curva contínua sem
interrupções.
2.2 Introdução ao Conceito de Limite
Consideremos a função f  x   2x  1 , definida em IR . Ao estudar o seu comportamento
quando a variável x assume valores cada vez mais “próximos” de 1, isto é, quando x tende a 1,
observam-se as duas situações:
o
1 ) Atribuindo valores menores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1
pela esquerda, observa-se:
x
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0,99
0,999
0,9999
x  1
2,2
2,4
2,6
2,8
2,9
2,98
2,998
2,9998 f  x   3
f  x   2x  1
Quando x tende a 1 pela esquerda a função, ou seja, o valor de y, tende a 3.
2o) Atribuindo valores maiores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 pela
direita, observa-se:
x
1,4
1,3
1,2
1,1
1,05
1,01
1,001
1,0001
x  1
3,8
3,6
3,4
3,2
3,1
3,02
3,002
3,0002 f  x   3
f  x   2x  1
Quando x tende a 1 pela direita a função, ou seja, o valor de y, tende a 3.
Em ambos os casos nota-se que, quando x tende a 1, f(x) tende a 3. Podem-se obter valores
de f(x) tão próximos de f(1) quanto se quer, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de
1. Diz-se, então, que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a f(1).
Simbolicamente, escreve-se: limf  x   f 1 .
Assim, lim  2x  1  2.1  1  3
x 1
x 1
As duas figuras a seguir esquematizam o cálculo dos limites laterais.
Exercícios
1) Calcular as constantes a e b sabendo que lim  ax  b   5 e lim  ax  b   7
x 1
x 3
2) Calcule os limites indicados das funções:
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16
Cálculo I
a) lim

x
2
b) lim 2x  3
1
senx
x 3

x 2
x2  8
x3
d) lim
4t 2  3t  2
c) lim 3
t 0 t  2t  6
e) limlog x 2  6
x 1
f) lim ex

x 0


9 2
h) lim  2x 
x x

x 2 
2


g) lim2x 1
x 1

l) lim  x
27x3  4x  4
x 1 x10  4x 2  3x
5x  11
k) lim
x 3
x 1
m) lim  3x  1
j) lim 4t 2  3t  2
i) lim 3
t 0
x 5
2
 2x


n) lim  3x  1 
x 2
x 2
Respostas:
1) a  1; b  4
2) a) 1; b) 3; c) 
1
3
3
; d) ; e) 1; f) 1; g) 1; h) 8 ; i) ; j) 2; k) 13; l) 35; m) 7 ; n) 5
3
2
2
2.3 Limites Laterais
Quando considera lim f  x  , está-se interessado em valores de x no intervalo aberto contendo
x a
a, mas não o próprio a, isto é, em valores de x próximos a a, maiores ou menores do que a. Mas,
suponha que tem uma função f como por exemplo, f  x   x  3 . Como f  x  não existe para x  3 ,
f não está definida em nenhum intervalo aberto contendo 3. Logo lim x  3 não tem significado.
x 3
Entretanto, se x estiver restrito a valores maiores do que 3, o valor de x  3 poderá torna-se zero
quanto deseja-se, tomando-se x suficientemente próximo de 3, mas maior do que 3. Em tal caso,
deixa-se aproximar de 3 pela direita e considera-se o limite lateral direito.
Daí, segue que, lim x  3  0 .
x 3
Se, entretanto, a variável independente x estiver restrita a valores menores do que um
número a, diz-se que x tende a a pela esquerda; neste caso o limite é chamado de limite lateral
esquerdo. Por exemplo, seja a f  x   3  x . Logo faz sentido calcular o lim 3  x . Portanto,
x 3
lim 3  x  0 .
x 3 
2.4 Limites de funções algébricas
Vimos que para calcular este limite lim  2x  1 bastou substituir o valor de x por 1. A
x 1
expressão lim “desaparece” porque x assume valores tão próximos a 1 (tanto pela direita como pela
x 1
esquerda) que podemos considerar “ser o próprio” 1. Assim, lim  2x  1  2.1  1  3 .
x 1
Este processo é válido para funções especiais chamadas de funções contínuas. Entretanto, a
técnica utilizada não é aplicável a algumas funções algébricas, aquelas que são descontínuas em um
determinado x.
x2  x  2
Considere a f  x  
, note que o domínio desta função é D  x  IR | x  1 . Para
x 1
todo x  1 é permitido simplificar o fator comum x  1 no numerador e denominador, pois
f x 
 x  1 x  2
x 1
e
f x 
 x  1  x  2
x 1
,
logo
f  x  x  2 .
Graficamente
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as
funções
17
Cálculo I
x2  x  2
e f  x   x  2 são idênticas, diferem somente em x  1 , especificamente, o ponto
x 1
x2  x  2
(1, 3) está no gráfico de f  x   x  2 , mas não está no gráfico de f  x  
.
x 1
Abaixo são consideradas três funções com gráficos idênticos, que diferem em x  1 . Embora
as funções assumam valores diferentes para x  1 , em f  x  , f 1  3 ; em g  x  , g 1   ; em h  x  ,
f  x 
h 1  2 , observa-se que lim f  x   lim g  x   lim h  x   3 . Nem sempre o valor que a função f
x 1
x 1
x 1
assume para um determinado x  a é o mesmo para lim f  x  .
x a
Valor da função
Gráfico
Limite quando x  1
limf  x   3
f  x  x  2
g x 
x 1
x2  x  2
x 1
 x2  x  2
,

hx   x  1
2,

limg  x   3
x 1
se x  1
limh  x   3
x 1
se x  1
Manipulações algébricas podem e devem ser usadas para determinar certos limites.
Exemplo:
2x 2  5x  2
i) f  x   2
, encontre o lim f  x 
x 2
5x  7x  6
Solução:
Observe que o número 2 não pertence ao domínio da função. Se substituir o 2 na função tem-se,
f  2 
2  2  5  2  2
2
5  2  7  2  6
2

0
que é uma indeterminação. Note que se fatorar o numerador e o
0
denominador, obtém-se f  x  
 x  2 2x  1
. Não pode cancelar o fator
 x  2 5x  3 
x  2 neste momento, pois
não existe divisão por zero.
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18
Cálculo I
Todavia se tomar o limite de f  x 
quando
x  2 , tal simplificação é permitida. Assim,
 x  2  2x  1
 x  2 2x  1
 2x  1 2  2  1 3 .
2x 2  5x  2
 lim
 lim
 lim


2
x 2 5x  7x  6
x 2 x  2 5x  3


 x 2  x  2  5x  3  x2  5x  3  5  2  3 13
lim f  x   lim
x 2
x9
ii) f  x  
x 3
, encontre o lim f  x 
x 9
Solução:
Note que o número 9 não está no domínio de f. Para achar o limite, racionalize o denominador:


 x  9 x  3
 x 9
x 3
.
 lim 
.
 lim

x 9
x 9
 x  9
x  3 x 9  x  3 x  3  x 9
Como está calculando o limite lim f  x  , sabendo que x  9 é diferente de x  9 , pode-se simplificar
lim f  x   lim
x9
x 9
 x  9  x  3
 x  9  x  3
 lim
 lim 
x 9
x 9
x 9
 x  9
 x  9
lim
 
x 3 

9 3  6 .
Exercícios
Calcule os limites indicados das funções:
x2
x 2 x 2  4
a) lim
2x 2  x  1
x 1
x 1
c) lim
2 x 3
x 2  49
f) lim
b) lim
x  6x  2x
2
d) lim
g) lim
x 4
x 7
x4
x a
x 0
1 x  1 x
x
i) lim
x  8x  8
x 2 3x 3  15x 2  6x  4
l) lim
h) lim
x  29  5
2
j) lim
x a
e) lim
x 2
x 2
x 0
x 0
x 4
3
2
k) lim
x a
Respostas:
1
1
2
a) ; b) 3; c) ; d) 3
4
2
2
; e)

1
56
; f)
1 ; g) 10; h) 1; i) 
x2  x  1  1
x
x  4  3x  4
x 1 1
3 5x
1 5  x
x3  x 2  5x  2
x 2
3x 2  5x  2
1
11
; j) 4a a ; k) 0; l) 
3
7
2.5 Inexistência do Limite
Considere a função f  x  
|x|
, cujo D  f   x  IR / x  0 e cujo gráfico é:
x
Observe que os valores de f  x  , quando x tende a zero, não tendem a um mesmo número L:
se x  0 , tem-se que f  x   1 (ou seja, lim f  x   1 );
x 0
se x  0 , tem-se que f  x   1 (ou seja, lim f  x   1 ).
x 0
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19
Cálculo I
Como os limites laterais são diferentes, diz-se, então que não existe lim f  x  . Note que os
x 0
limites laterais existem.
Para a existência do limite em x  a relação entre limites laterais e limites tem que ser
válida:
 lim f  x   L se e somente se lim f  x   lim f  x   L
x a
x a
x a
Outro exemplo:
Considere o gráfico abaixo:
Os limites laterais são:

lim f  x   lim  3  x   2
x 1

x 1


lim f  x   lim x 2  1  2
x 1
x 1
Como os limites laterais esquerdo e direito são
iguais, decorre que limf  x   2 .
x 1
Note que o valor da função f 1  4 é irrelevante
para a determinação do limite.
Exercícios
1) Esboce o gráfico e ache o limite indicado:
2, se x  1

i) f  x   1, se x  1
3, se 1  x

a) lim f  x ; b) lim f  x ; c) limf  x 
x 1
x 0
x 0
x 0
x 1
x 1
 x 2  4, se x  2

iii) f  x   4, se x  2
4 - x 2 , se 2  x

f  x ; b  lim f  x ; c  lim f  x 
a xlim
x 2
2
x 2

2, se x  0
ii) f  x   
2, se 0  x
a lim f  x ; b lim f  x ; c  lim f  x 

2x  3, se x  1

iv) f  x   4,
se x  1
 x 2  2, se 1  x

f  x ; c  limf  x 
a limf
 x ; b xlim
x 1
x
1


3x  2 se x  4
2) Dada f  x   
. Ache o valor de k para o qual lim f  x  existe.
x 4
5x  k se 4  x
 x 2 se x  2

3) Dada f  x   ax  b se  2  x  2 . Ache os valores de a e b, tais que lim f  x  e lim f  x  ambos
x 2
x 2
2x  6 se 2  x

existam.
4) As taxas para despachar cargas por navio são freqüentemente baseadas em fórmulas que
oferecem um preço menor que por quilo quando o tamanho da carga é maior. Suponha que x quilos
seja o peso de uma carga, C(x) seja o seu custo total e
0,80x se 0  x  50

C  x   0,70x se 50  x  200
0,65x se 200  x

a) Faça um esboço do gráfico de C.
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20
Cálculo I
Ache cada um dos seguintes limites: b) lim C  x  ; c) lim C  x  ; d) lim  C  x  ; e) lim  C  x 
x 50
x 50
x 200
x 200
5) Use o gráfico para determinar cada limite, quando
existe:
a) lim f  x  
x 2
b) lim f  x  
x 2
c) lim f  x  
x 2
d) lim f  x  
x 
e) lim f  x  
x 0
f) lim f  x  
x 0
 4, se x  0
6) Faça o gráfico da função f  x   
e encontre o limite indicado:
 x  2, se x  0
a) lim f  x  
b) lim f  x  
c) lim f  x  
x 0
x 0
x 0
3  x, se x  1

7) Considere o gráfico de f  x   3, se x  1
. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa). Justifique a
 x 2  1, se x  1

sentença quando ela for falsa.
a) ( ) lim f  x   lim  3  x   2 _________________________
x 1
x 1


b) ( ) lim f  x   lim x 2  1  2 ________________________
x 1
x 1
c) ( ) limf  x   2 ___________________________________
x 1
d) ( ) f  3   1 ______________________________________
e) ( ) f 1  3 ______________________________________
f) ( ) lim f  x   lim f  x    __________________________
x 
x 
g) ( ) A função é descontínua em x  1 __________________
Respostas:
1) i) a) -3 b) 2 c)  ; ii) a) 2 b) -2 c)  ; iii) a) 0 b) 0 c) 0; iv) a) 3 b) 5 c) 
2) k  6
3
3) a   ; b  1
2
4) b) 40; c) 35; d) 140; e) 130
2.6 Definição de Continuidade
Diz-se que f  x  é contínua em x  a quando lim f  x   f  a  .
x a
A função f  x  é chamada de função contínua quando é contínua em todos os pontos nos
quais está definida. Em resumo, terá que satisfazer as três condições a seguir:
i) f  a  , isto é, f  x  é definida para x  a
ii)  lim f  x 
x a
iii) f  a   lim f  x  .
x a
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21
Cálculo I
Exemplos:
a) Descontinuidade no ponto x  2
b) Continuidade no ponto x  3
c) Descontinuidade no ponto x  1
d) Descontínua no intervalo de 1 a 4  1, 4 
Exemplo:
Verificar se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados:
a) f  x   2x2  x, no ponto x  2
Solução:
Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam
satisfeitas:
i) f  a  , isto é, f  x  é definida para x  a
ii)  lim f  x 
x a
iii) f  a   lim f  x  .
x a
Verificaremos cada uma delas no ponto x  2 .
2
- Condição (i): f  2   2 2   2  10 . Logo, f  2 , isto é, f  x  é definida para x  2 .
- Condição (ii): lim  2x2  x   10 . Portanto,  lim f  x  e é igual a 10.
x 2
x 2
- Condição (iii): f  2  lim  2x2  x  , então a função é contínua no ponto x  2 , pois as três condições
x 2
foram satisfeitas.
b) f  x  
x 2  2x  1
, x 1
x 1
Solução:
Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam
satisfeitas:
i) f  a  , isto é, f  x  é definida para x  a
ii)  lim f  x 
x a
iii) f  a   lim f  x  .
x a
Verificaremos cada uma delas no ponto x  1 .
12  2.1  1
  f 1 . A função não é definida em x  1 . Não satisfazendo a
- Condição (i): f 1 
1 1
condição (i) ou qualquer outra já pode-se concluir que a função é descontínua no ponto dado.
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22
Cálculo I
 x2  x  2
, se x  1

c) h  x    x  1
, x 1
2,
se
x

1

Solução:
Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam
satisfeitas:
i) f  a  , isto é, f  x  é definida para x  a
ii)  lim f  x 
x a
iii) f  a   lim f  x  .
x a
Verificaremos cada uma delas no ponto x  1 .
- Condição (i): f 1  2 . Logo, f 1 , isto é, f  x  é definida para x  1 .
 x  1  x  2
 x  1 x  2
x2  x  2
 lim
 lim
 lim  x  2  1  2  3 . Portanto,
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
- Condição (ii): lim
limf  x  e é igual a 3.
x 1
x2  x  2
x2  x  2
, pois f 1  2 e lim
 3 , então a função é descontínua
x 1
x 1
x 1
x 1
no ponto x  1 , pois uma das três condições não foi satisfeita.
- Condição (iii): f 1  lim
Exercícios
1) Faça a análise matemática das funções abaixo, se são contínuas ou descontínuas nos pontos
dados:
x2  4
1 x
i) f  x  
ii) f  x  
para x  2 e x  3
para x  1 e x  1
x2
1 x
5x
x 2  2x  1
iii) f  x   2
iv) f  x  
para x  2; x  3 e x  3
, para x  2 e x  1
x 9
x 1
2) Verifique quais das funções cujos gráficos estão representados são contínuas em x  1 . Justifique.
2.7 Limites que Envolvem Infinito
Observe os valores da função f  x  
1
, quando x tende a zero.
x
x  0
0,5
0,1
0,01
0,001
0,0001
f x
2
10
100
1.000
10.000
x  0
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
-0,0001
f x
2
10
100
1.000
10.000
Quanto mais próximo de zero é o valor de x, maior é o valor de f  x  .
Quando acontece uma situação dessas, diz-se que f  x  cresce ilimitadamente quando x tende
a zero.
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23
Cálculo I
Generalizando, quando x tende a um número a e os valores de f  x  ficam maiores que
qualquer número positivo considerado, diz-se então que f  x  cresce ilimitadamente ou que existe o
limite infinito: lim f  x    .
x a
Semelhantemente, se quando x tende a a os valores de f  x  ficam menores que qualquer
número negativo considerado, diz-se então que f  x  decresce ilimitadamente ou que existe o limite
infinito: lim f  x    . Por exemplo, ao considerar f  x   
x a
1
1
, tem-se: lim f  x   lim
  .
x 0
x 0
x
x
Observe o gráfico:
1
, quando x tende a zero pela direita f  x  cresce
x
ilimitadamente, e quando x tende a zero pela esquerda f  x  decresce ilimitadamente:
Note que para a função f  x  
1
 
x
1
lim  
x  0 x
lim
x  0
Neste caso, diz-se que  lim
x 0
1
.
x
Exercícios
1) Encontre os limites:
3
1
a) lim 2
b) lim
3
x 0  x
x 2
 x  2
c) lim
x 0
2
x
d) lim
x 0
3
x2
e) lim
x 0
1
x3
2.8 Limites no Infinito
Há funções que, quando x   ou x   , crescem ou decrescem ilimitadamente. Em
resumo, podemos ter: lim f  x    ; lim f  x    ; lim f  x    ; lim f  x    .
x 
x 
x 
x 
Exemplos:
f  x   x2 cresce ilimitadamente quando
f  x   x3 cresce ilimitadamente quando
x   e também quando x   .
x   e decresce quando x   .
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24
Cálculo I
lim x2   e lim x2   .
x 
lim x3   e lim x3   .
x 
x 
f  x   4  x2
x 
x
2
lim 4  x2   e lim 4  x2   .
x 
x 
x
x


lim 1     e lim  1     .
x  
x

2
2


Há funções que, quando x   ou x   , apresentam tendência para um número real
1
determinado. É o caso, por exemplo, da função f  x   1  . Nesta função observa-se que quanto
x
1
1

maior for o valor de x,
tende a zero e, então, f  x  tende a 1. Portanto, lim  1    1 .
x 
x
x




f  x  1

1

Note também que lim  1    1 .
x 
x

Deve-se ter conhecimento que há funções
que, quando x   ou x   , não
apresentam tendência para nenhum número
especificamente. É o caso, por exemplo, das
periódicas f  x   senx , f  x   cos x e f  x   tgx
Exercícios
Calcule os limites:
i) xlim
 2x3  5x2  2x  1

ii) xlim
 2x2  5x  1

iii) xlim
 4x  1

vii) lim
x 
2x 2  7
6x  1
2x3  x 2  x  1
viii) xlim

x 2  3x
ix) lim
8x  1
x 
iv) xlim
x2  1

4x  5
2
 6n  1 
3x  2
x) nlim

 
v) lim 2
 2n  3 
x 
x  5x  6
xi) lim n  1  n
2x 2  7
n 
vi) xlim

6x  1
Respostas: i)  ; ii)  ; iii)  ; iv) 2; v) 0; vi)  ; vii)  ; viii)  ; ix) 1; x) 9; xi) 0


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25
Cálculo I
3. Derivadas
3.1 Retas
Coeficiente angular m
m
y 2  y1
x 2  x1
Retas especiais:
Vertical: m não definido
Horizontal: m  0
Forma Ponto-Coeficiente
angular
y  y1  m  x  x1 
Forma Coeficiente angularIntercepto
y  mx  b
Paralelas: m1  m2
Perpendiculares: m1m2  1
3.2 Introdução à Derivada
O conceito de derivada é fundamental no cálculo diferencial e integral. Além de inúmeras
aplicações práticas, tais como: determinação de máximos e mínimos e pontos de inflexão de uma
função. As derivadas também tornam o estudo da física simples e lógico.
3.3 Acréscimos
Definição: Seja x uma variável independente qualquer e x1 e x 2 dois valores particulares
desta variável. Chama-se acréscimo de x1 , a diferença x2  x1 que representaremos por x .
3.4 Acréscimo de uma função
Seja y  f  x  uma função qualquer.
Dando a x um acréscimo arbitrário x ,
obteremos, para y, um acréscimo que
representaremos por y .
Algebricamente obtemos:
y  f x
1
 2
y  y  f  x  x 
Subtraindo (2) de (1) vem
y  f  x  x   f  x 
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26
Cálculo I
Nota-se que y é o acréscimo da função e x é o acréscimo da variável.
Exemplo: Calcular o acréscimo sofrido por cada uma das funções seguintes:
a) f  x   ax  b
Solução:
y  f  x  x   f  x 
y  a  x  x   b   ax  b 
y  ax  ax  b  ax  b
y  ax
b) f  x   3x  2
Solução:
y  f  x  x   f  x 
y  3  x  x   2   3x  2 
y  3x  3x  2  3x  2
y  3x
Note que o acréscimo sofrido pela função é proporcional ao acréscimo da variável.
c) f  x   x2
Solução:
y  f  x  x   f  x 
y   x  x   x 2
2
y  x 2  2xx   x   x 2
2
y  x  2x  x 
3.5 Razão Incremental
É a razão entre o acréscimo sofrido pela função, y , e pelo acréscimo dado à variável, x .
y
y f  x  x   f  x 
: razão incremental. Como:

1
x
x
x
A relação (1) que é a razão incremental representa um valor numérico que nos indica a
velocidade de variação de uma função num ponto.
Exemplo: Calcular a razão incremental das seguintes funções:
i) y  x, x  IR
Solução:
y f  x  x   f  x   x  x   x x



1
x
x
x
x
Interpretação: a velocidade da função é a mesma da variável em qualquer ponto.
ii) y  x2 , para x  3 e x  1
Solução:
2
x 2  2xx   x   x 2 2xx   x 
x  2x  x 
y f  x  x   f  x   x  x   x





 2x  x
x
x
x
x
x
x
y
 2 3  1  7
Assim para x  3 e x  1 , temos:
x
Interpretação: a velocidade de variação da função no ponto x  3 é 7 vezes à da variável para um
acréscimo de x , ou seja, para x  1 .
2
2
2
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27
Cálculo I
3.6 Derivada ou função derivada (definição)
Chama-se derivada ou função derivada da função y  f  x  em relação a x o limite da razão
incremental quando x  0 .
f  x  x   f  x 
dy
y
 lim
 lim
dx x 0 x x 0
x
df  x 
dy
Podemos encontrar na literatura:
, y, f   x  ,
, dx y, Dx f  x  , entre outras.
dx
dx
Exemplo: Achar a função derivada das seguintes funções:
Em símbolos:
i) y  x 2
Solução:
f  x  x   f  x 
x 2  2xx   x   x 2
 x  x   x2
dy
 lim
 lim
 lim
 lim  2x  x   2x .
x 0
x 0
x 0
dx x 0
x
x
x
2
Logo, f  x   x  f   x   2x
2
2
ii) f  x   x2  5x  6
Solução:
2
2
x 2  2xx   x   5x  5x  6  x 2  5x  6
 x  x   5  x  x   6   x2  5x  6 
dy
 lim
 lim
x 0
dx x 0
x
x
2xx   x   5x
2
 lim
x 0
x
 lim  2x  x  5   2x  5 . Logo, f  x   x2  5x  6  f   x   2x  5
x 0
Exercícios
Determinar a derivada das funções usando a definição.
dy
dy
a) f  x   3x 2 . Resposta
f) f  x   2 . Resposta
0
 6x
dx
dx
dy
dy
b) f  x   x2  2x . Resposta
g) f  x   x  1 . Resposta
 2x  2
1
dx
dx
dy
dy
c) f  x   x2  x . Resposta
h) f  x   2x  2 . Resposta
 2x  1
2
dx
dx
dy
dy
d) f  x   x2  5x  6 . Resposta
i) f  x   2x  2 . Resposta
 2x  5
 2
dx
dx
2x
dy
5
e) f  x  
. Resposta

3x
dx  3  x 2
3.7 Derivada de uma função num ponto (definição)
Definição: Seja f  x  uma função contínua no ponto x  xo . Chama-se derivada da função no
ponto x  xo o valor numérico (finito) da função derivada para x  xo .
Notações:
dy
f   xo  , y  xo  ,
dx x  xo
Exemplo: Calcular a derivada de f  x   x2 no ponto x  2
Solução:
Para calcular a derivada de uma função f  x  no ponto x  xo faz:
f   xo   xlim
x
o
f  x   f  xo 
x  xo
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28
Cálculo I
Exemplo: Sendo y  x2  5x  6 , calcular y  2  .
Solução: y  2  lim
x 2
 x  2 x  3 
x 2  5x  6
 lim
 lim  x  3   1
x 2
x 2
x2
x2
Observação: 1) Se o limite da razão incremental existir penas para x  xo  x  0  , pela direita ou
pela esquerda, diremos que a derivada é lateral. 2) Se f  x   f  x  diremos que a função f  x  é
derivável no ponto x  xo .
Notação: lim
x  xo
f  x   f  xo 
x  xo
 f  x o  (à esquerda) e lim
f  x   f  xo 
x  xo
x  xo
 f  x o  (à direita)
Exemplo: Calcular a derivada de f  x   x no ponto xo  0 .
Solução: f   xo   lim
x 0
f  x   f  xo 
x 0
 lim
x 0
x 0
x 0
 lim
x 0
x
x
. Como chegamos em um limite sem resolução,
temos que, neste caso, estudar as derivadas laterais. Assim, lim
x 0
f  x   x não é derivável no ponto xo  0 .
x
x
 1 e lim
x 0
x
x
 1 . Logo,
Exercícios
Achar a derivada da função no ponto indicado:
i) y  x2 , para x  2 . Resposta y  2  4
ii) f  x   x2  5x  6, para x  2 . Resposta f   2  1
dy
 6
dx
dy
iv) f  x   x2  2x , x  0 . Resposta
 2
dx
v) f  x   x 2  x, no ponto x 3 . Resposta f   3   7
iii) f  x   3x 2 , para x  1. Resposta
vi) f  x   x2  5x  6, no ponto x  1 . Resposta f  1  3
vii) f  x  
2x
5
, no ponto x  1 . Resposta f  1 
3x
4
3.8 Interpretação geométrica da Derivada
Seja f  x  uma função cujo gráfico
representaremos ao lado:
Considere o ponto P  x,y  fixo. Dando a x
um acréscimo x obtemos para y um acréscimo
y e conseqüentemente um o ponto Q qualquer
na curva. Traçando uma secante s em
______
PQ formará então um triângulo retângulo nos
______
pontos PQR de onde tiramos:
QR
______
PR
Veja em detalhes no triângulo abaixo:

y
 tg .
x
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29
Cálculo I
Imaginemos que:
x  0 , logo Q  P . Deste modo a secante s no ponto PQ  à tangente geométrica no
ponto P. Nota-se que    . E também s  t .
Em símbolos representaremos assim:
y
lim
 limtg  tg
x 0
x 
dy
Donde:
 tg .
dx x  xo
Conclusão: a derivada de uma função f  x  num
ponto x  xo representa a tangente trigonométrica do
ângulo que a tangente geométrica à curva no ponto P
forma com o eixo positivo Ox. Observe o desenho a seguir:
Cada ponto da curva gera uma reta tangente. Recordamos: y  ax  b é a equação geral da
reta. A vogal a na equação representa o coeficiente angular, ou seja, tg . O ângulo formado pela
reta tangente e o eixo x é  .
3.9 Fórmulas para o Cálculo das Derivadas
Veremos agora as propriedades das derivadas, que podem ser comprovadas usando a
definição de derivada.
Função
Representação
Derivada
Potência (expoente real)    IR* e x  IR* 
y  x
y  x1
Constante
yc
y  ax  b
y  0
y  a
y  u x  v  x
y  u  x   v  x 
y  u  x .v  x 
y  u  x  v  x   v  x  u  x 
Afim
Soma algébrica
Produto
y
Quociente
Exponencial  a  0 e a  1
ux
y 
v x
y  au
u  x  v  x   v   x  u  x 
 v  x  
y  uau lna
2
Logarítmica  a  0, a  1e x  0 
y  loga u
Seno
y  senx
Co-seno
y  cos x
u
loga e
u
y  cos x
y  senx
Tangente
y  tgx
y  sec 2 x
y  cot gx
y  sec x
y   cossec 2 x
y  sec x.tgx
y  cossec x
y   cossec x.cot gx
Cotangente
Secante
Co-secante

y  f g x 
Composta
y 



y  f  g  x  .g  x 
ou
dy dy du

 f   u  g  x 
dx du dx
Exemplos: Achar a derivada das funções
i) f  x   2  f   x   0
ii) f  x   sen2a  f   x   0
iii) f  x   ln  a  b   f   x   0
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30
Cálculo I
iv) f  x   2x  3  f   x   2
v) f  x   5x  2  f   x   5
vi) f  x   5x6  f   x   30x5
vii) f  x   x  f   x   1
2
2 32 1 2  31
x  x
3
3
2
ix) f  x   2  senx  x  f   x   cos x  2x
viii) f  x   x 3  f   x  
x) f  x   x2 .senx  f   x   2x.senx  x2 cos x
xi) f  x  
2x  x  1  1.x 2 x 2  2x
x2

 f x 

2
2
x 1
 x  1
 x  1
xii) f  x   2x  f   x   2x ln2
xiii) f  x   ex  f   x   ex lne  ex
1
1
lne 
x
x
1
xv) f  x   log2 x  f   x   log2 e
x
xiv) f  x   ln x  f   x  
dy du
.
 cosu.2x  cos x 2 .2x  2x.cos x 2
du dx
dy du
xvii) f  x   sen3 x . Primeiro façamos: senx  u  y  u3  y 
.
 3u2 cos x  3sen2 x cos x
du dx
xvi) f  x   senx2 . Primeiro façamos: x 2  u  y  senu  y 
Exercícios
1) Achar a derivada da função no ponto indicado (calcule a derivada e depois substitua o valor de x
na derivada):

2

i) y  senx para x  . Resposta y   
2
4
4
ii) y  x2 , para x  2 . Resposta y  2  4

3

. Resposta f     
2
3
3
2
iv) f  x   x  5x  6, para x  2 . Resposta f   2  1
2) Calcule a derivada das seguintes funções:
senx
i) f  x  
. Resposta f   x   sec 2 x
cos x
x2
2
ii) f  x  
Resposta f   x   2
x
x
2
iii) f  x   3x .cos x Resposta f   x   6x.cos x  3x 2 .senx
iii) f  x   cos x, para x 
iv) f  x   7x3  2x2  x  1. Resposta f   x   21x2  4x  1
1
2
1
1
v) f  x    x 4  x 3  x 2  . Resposta f   x   2x3  2x2  x
2
3
2
4
vi) f  x   2x  3cos x . Resposta f   x   2  3senx
vii) f  t   t 2  t . Resposta f   t   2t 
viii) f  s   3 s  s . Resposta f   s  
1
2 t
1
3
2
3 s

ix) f  x   sen3x Resposta f  x   3cos3x

1
2 s
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31
Cálculo I
x) f  x   cos6x . Resposta f   x   6sen6x
cos x
senx
2x  3
xii) f  x   log  x2  3x  . Resposta f   x   2
loge
x  3x
8  x 
xiii) f  x   log2  4x2  8x  1 . Resposta f   x  
log2 e
4x 2  8x  1
6
xiv) f  x   log2  x2  2x  1 no ponto x  2 .Resposta f   2  log2 e
7
xi) f  x   ln  senx  . Resposta f   x  
xv) f  x   ln  x2  6x  8  nos pontos x  1e x  1 . Respostas f  1  
4
8
e f   1  
3
15
3) Calcule as derivadas das funções:
a) f  x   x5
c) f  x  
b) f  x   3 x 2
g) f  s  s3  2s2  s  1
2x  5
4x
Repostas:
t) f  x  
d) f  x   x5 / 2
h) f  t   t 2  t
p) f  x   senx.cos x
u) f  x  
a)
f   x   5x 4
f)
f   t   12t 2  10t  2
b)
x
x 4
fx 
2 3 x2
3x
x2
x 1
1  senx
w) f  x  
1  senx
2x 2  3x  4
2x  1
fx 
c)
f   s  3s2  4s  1
g)
f) f  t   4t3  5t 2  2t
1
2
1
1
j) f  x    x 4  x 3  x 2 
2
3
2
4
m) f  x   x3  2x2  3x 
n) f  x   x2  x2  3x  2
q) f  x   x2 cos x
v) f  x  
2
e) f  x   x 3
i) f  s   3 s  s
l) f  x    x3  7  2x2  3 
k) f  x   2x  3cos x
o) f  x   3x.senx
1
x3
3
x4
r) f  x  
f x 
d)
f   t   2t 
h)
s) f  x  
2
5
x x
2
t
2t
e)
fx 
f   s 
i)
4x  5
3x  2
3
x4
3
s
s

3s 2s
j) f   x   2x3  2x2  x k) f   x   3senx  2 l) f   x   x 10x3  9x  28  m) f   x   2x3  5x  6 
n)
f   x   x  4x2  9x  4 
q)
f   x   x  2cos x  xsenx 
u) f   x  
  x2  4 
x
2
 4
2
v) f   x  
f   x   3  senx  xcos x 
o)
r)
fx 
4x 2  4x  5
 2x  1
2
2x
x
2
 1
w) f   x  
fx 
s)
2
f   x   cos2 x  sen2 x
p)
23
 3x  2
t)
2
fx 
5
4x 2
2cos x
1  senx 
2
4) Calcule a derivadas exponenciais e logarítmicas:
a) f  x   3x
 1
b) f  x    
2
x
c) f  x   33x 1
d) f  x   5.2x
e) f  x   10x
f) f  x   10.ex
2 1
2
2
1
h) f  x   3log2 x
i) f  x   ln x 
j) f  x   logx 
ln x
2
2
l) f  x   log  3x 2  5x  m) f  x   ln  cos x  n) f  x   ln  tgx  o) f  x   e2x  3x
k) f  x   2log3 x
g) f  x  
Respostas:
a)
x
f   x   3x ln3
e) f   x   2x.10x
b)
2 1
ln10
 1
f   x       ln2 
2
f) f   x   10.ex
g) f   x  
2logx.loge
2
k) f   x   log3 e
x
x
2
1
n) f   x  
o) f   x    4x  3  e2x  3x
cos x.senx
j)
f  x 
c)
l)
f   x   33x  2 ln3
1
2x
h) f   x  
fx 
f   x   5.2x ln2
d)
3
log2 e
x
6x  5
loge
3x 2  5x
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i) f   x  
m)
2ln x
x
f   x   tgx
32
Cálculo I
3.10 Derivadas Sucessivas
Sendo f  x  uma função
f   x  - representa a derivada primeira da função f  x 
f   x  - representa a derivada segunda da função f  x 
f   x  - representa a derivada terceira da função f  x 
f
4
x
- representa a derivada quarta da função f  x 
...
n
f    x  - representa a derivada enésima da função f  x 
Exemplos:
i) Calcular a derivada segunda da função f  x   x 4  2x3 :
f   x   4x 3  6x 2
f   x   12x 2  12x
f   x   12x  x  1
ii) Calcular a derivada terceira da função f  x   senx no ponto x 
f   x   cos x

.
3
f   x   senx
f   x    cos x
1


f      cos    
2
3
3 
Exercícios
1) Dada a função f  x   1  4x3  x 4 calcular f 
 x  . Resposta f    x   24
2) Dada a função f  x   1  4x  x , resolver a equação f   x   0 . Resposta x  1
3) Calcule a derivada segunda de f  x   4x  5x  2x  1, para x  0 . Resposta f   x   0
3
4
4
4
4
3

1 3

. Resposta f     
6
2
6
 
3
2
5) Determine a derivada segunda de f  x   4x  5x  2x  1 , para x  2 e x  2 . Resposta
4) Se f  x   senx  cos x , determine f   x  para x 
f   2  38 e f   2  58
6)
Seja
a
função
f  x   4x3  2x2  5x  2
calcule
f   0   f   0   f   0  .
Resposta
f   0   f   0   f   0   23
7) Achar todas as derivadas da função y  x3  6x2  3x  2 . Resposta y   0
4
8) Achar a derivada de ordem n da função y 
n n!
1
n
. Resposta y    1 n 1
x
x
3.11 Aplicações
3.11.1 Reta Tangente
Achar a equação da tangente geométrica à curva y  x 2 no ponto x  3 .
Solução:
f  x   x2  f   x   2x  f  3   2.3  6  tg  a  6
A reta tangente passa em: f  3   32  9 . Portanto P  3,9  .
Temos: y  y1  a  x  x1   y  9  6  x  3   y  6x  9  0 . Logo, y  6x  9  0 é a equação da
tangente no ponto x  3 .
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33
Cálculo I
O gráfico para esta situação é:
Exercícios
1) Determine a equação da reta tangente à curva correspondente a cada equação:
a) f  x   x3  12x, no ponto x  4 . Resposta y  36x  128  0
b) f  x   5x2  1, no ponto x  2 . Resposta y  20x  21  0
c) f  x   x3  12x, no ponto x  1 . Resposta y  9x  2  0
d) f  x   x2  9x  20, no ponto x  2 . Resposta y  5x  16  0
e) f  x   x2  6x  5, no ponto x  0 . Resposta y  6x  5  0
2) Equações das retas tangentes à curva y  x3  6x  2 paralela à reta y  6x  2 . Resposta:
y  6x  14 e y  6x  18
3) A tangente à curva y  x3 , no ponto P 1,1 corta a curva em algum ponto? Qual é esse ponto? R.:
Q  2, 8 
4) Escrever a equação da tangente à curva f  x   x2  5x  6 que satisfaça as condições: (a) passar
1
4
5) Escrever a tangente à curva anterior passando pelo ponto t  4,2 . R.: x  3y  10  0
pelo (vértice) e (b) ser paralela ao eixo-x. y  
1
6) Encontre uma equação da reta tangente à curva y   6  2x  3 em cada ponto:
a) T  3,0  R.:  ¨
b) P  7, 2 R.: x  6y  5  0
3.11.2 Aplicação na Física
Seja S  f  t  a equação do espaço percorrido por um móvel qualquer.
No tempo t o o móvel percorreu o espaço So . Se aumentarmos o tempo de t o espaço
aumentará de S .
Definições:
S
i) A velocidade média  Vm entre os instantes t o e t é a razão incremental
, Isto é:
t
f  t o  t   f  t o  f  t   f  t o  S  So s
Vm 



.
t
t  to
t  to
t
A velocidade instantânea  Vi  que a velocidade no instante t o , será o limite da velocidade
média quando t  t o . Ou seja,
Vi  lim Vm  lim
t  to
t 0
S dS

.
t
dt t  to
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34
Cálculo I
Logo, dada a equação horária S  f  t  , a sua derivada
dS
dt
indica em cada instante a velocidade
t  to
do ponto do móvel.
a 
ii) A aceleração média
m
entre os instantes t o e t é a razão incremental
v
. Isto é: seja
t
dS
 v  t  e temos:
dt
v  t o  t   v  t o  v  t   v  t o  v  v o v
am 



t
t  to
t  to
t
A aceleração instantânea que a é aceleração no instante t o , será o limite da aceleração
v
média quando t  t o . Assim,
ai  limam  lim
t  to
t  0
v dv

t
dt
.
t  to
Conclusão: a derivada
dv
dt
da função v  v  t  indica em cada instante t o a aceleração do
t  to
ponto material.
Observação: a derivada segunda da função S  f  t  nos dá a aceleração no instante t o :
a
dv
d  dS  d2S
.
 

dt dt  dt  dt 2
Exemplo: um ponto material se desloca numa reta e sua equação horária é S  t3  t 2 .
Determinar nos instantes t  0 e t  2 : a) a posição do móvel; b) a velocidade Vi ; c) a aceleração ai .
Solução:
a) para t  0  S  0  03  02  0  S 0   0m
para t  2  S  2  23  22  12  S  2  12m
b) para t  0  Vi 
para t  2  Vi 
c) para t  0  ai 
para t  2  ai 
2
dS
 3t 2  2t  3  0   2.0  0  Vi  0m / s
dt t 0
2
dS
 3t 2  2t  3  2   2.2  16  Vi  16m / s
dt t  2
d2S
 6t  2  6.0  2  2  ai  2m / s2
dt 2 t 0
d2 S
 6t  2  6.2  2  14  ai  14m / s2 .
dt 2 t  2
Exercícios
1) Lança-se uma bola verticalmente para cima com a velocidade de 32 dm/seg; sua altura após t
1
segundos é dada por s  32t   9,81 t 2 . Em que instante a bola atingirá a altura máxima? Qual será
2
essa altura? R.: t  3,26 seg; s  0,522 m
2) Um ponto material descreve uma trajetória retilínea obedecendo a função horária
s  3  6t  t 2  SI .
a) Determine as funções horárias da velocidade e da aceleração. v  t   s  2t  6 ; a  t   s  2m/ s2
b) Calcule a velocidade do material no instante 10 s. v 10   14m/ s
c) O espaço percorrido pós 10 s. s  43m
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35
Cálculo I
3) Um corpo se desloca sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função horária
5
s  t 3  t  SI .
2
5
a) Determinar as funções horárias da velocidade e da aceleração. v  t   s  t 2  1 ; a  t   s  15t
2
b) Calcule a velocidade e a aceleração do ponto material no instante 6 s. a  6   90m/ s2
c) Em que instante a velocidade do corpo é de 66,5m/ s ? t  3s
d) Qual a aceleração do corpo no instante 2 s? a  2  30m/ s2
4) Qual é a aceleração de um móvel que descreve uma curva segunda a função s  2t 2  4t 3 (s em
metros e t em segundos) no instante t  1,5s ? a 1,5   40m/ s 2
5) Um móvel tem a velocidade variável segundo a função v  6  2t 2 . Calcule sua aceleração no
instante 5 s. a  5   20m/ s2
3.11.3 Derivadas Implícitas
Uma função é implícita quando ela é definida pela equação: f  x,y   0 . Por exemplo
x2  xy  y3  0 é uma função implícita onde y  Q  x  . Para derivar uma função implícita usamos
dois processos:
1º processo) Se as variáveis são de fácil separação, para a forma explícita que é y  Q  x  derivamos
normalmente.
Exemplo: a derivada de y  2x3  0  f  x,y   0 é encontrada explicitando a variável y. Assim,
y  2x3  Q  x   y  6x2 .
2º processo) Se as variáveis são de difícil separação derivamos a função na forma implícita e em
seguida tiramos o valor de y  .
Exemplo: achar a derivada da função y3  2xy  5xy2  2x  y  0  f  x,y   0 . Sabemos que
y  Q  x  . Derivando com relação a x, vem:
3y2 y  2y  2xy  5y2  10xyy  2  y  0
y  3y2  2x  10xy  1  5y2  2  2y
y 
5y 2  2  2y
3y 2  2x  10xy  1
Exercícios
1) Calcule as derivadas:
i) y  x2  5x  0  f  x,y   0 . Resposta y  5  2x
ii)  cos x  y  senx  0  f  x,y   0 . Resposta y  sec 2 x
y3  4x3 y 2  3
2x 4 y  3xy 2  1
2) Determine as retas tangente e normal às seguintes curvas, nos pontos P indicados:
a) x2  xy  y2  1, P  2,3  . Resposta: tangente: 7x  4y  2  0 e normal: 4x  7y  29  0
iii) x4 y2  y3 x  3x  y  0 , considere y  Q  x  . Resposta y 
b) x2  y2  25, P  3, 4  . Resposta: tangente: 3x  4y  25  0 e normal: 4x  3y  0
3) Determine os pontos da curva x2  2xy  3y2  3 em que a tangente à mesma é perpendicular à
reta x  y  1 . R.:  2,1 e  2, 1
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36
Cálculo I
3.11.4 Taxa de Variação
Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t, x  f  t  e y  f  t  . Assim
dx dy
como as taxas de variação de x e y em relação a t. Em
e
dt
dt
certas aplicações, x e y podem estar relacionadas por uma equação como x2  y3  2x  7y2  2  0 .
Diferenciando implicitamente em relação a t, obtemos:
d 2
 x   dtd  y3   dtd  2x   dtd 7y2   dtd  2  dtd 0 
dt
Aplicando a regra da potência com t como variável independente, temos:
dx
dy
dx
dy
2x
 3y 2
2
 14y
0
dt
dt
dt
dt
dx
dy
 2x  2  14y  3y 2   0
dt
dt
Exemplos:
1) Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e 2 m de raio da
3
base. Se a água entra no tanque à razão de 0,001 m /min, calcule
aproximadamente a razão na qual o nível de água está subindo quando a
profundidade é de 1 m.
Solução:
Começamos fazendo um esboço da situação (figura ao lado), com r
denotando o raio da superfície de água quando a profundidade é h. Note
que tanto r como h são funções do tempo t.
dV
dh
Em seguida: Dado:
quando h  1m .
 0,001m3 / min . Determinar:
dt
dt
O volume V de água no tanque correspondente à profundidade h é
1
V  r 2h . Esta fórmula relaciona V, r e h. Antes de diferenciar
3
implicitamente em relação a t, expressemos V em termos de uma única variável. Observando a figura
r 2
h
ao lado e utilizando semelhança de triângulos, obtemos
 ou r  . Conseqüentemente, à
h 4
2
2
1 h
1
profundidade h, V     h 
h3 . Diferenciando em relação a t obtemos a seguinte relação
3 2
12
geral entre as taxas de variação de V e de h no instante t:
dV 1 2 dh
 h
dt
4
dt
dh
4 dV
dV
Se h  0 então:
. Finalmente, fazendo h  1 e

 0,001m3 / min , obtemos
dt h2 dt
dt
dh
4

. 1  1,27 .103 m / min .
dt  12
podemos interpretar as derivadas
2) Imaginemos um petroleiro avariado cujo vazamento de óleo cubra uma área circular A de raio r
(figura a seguir). Com o passar do tempo, estas grandezas crescem a taxas que estão relacionadas.
dA
dr
dr dA / dt
 2r

De fato, como A  r 2 , temos
ou
. Isto
dt
dt
dt
2r
mostra que o raio r cresce a uma taxa inversamente proporcional a si mesmo.
Por exemplo, se a área cresce, digamos, à taxa de 10.000 m 2 por hora, então
dr
10.000

. Assim, quando r for igual a 2 km, esse raio estará se
dt 6,2832.r
dr
5

 80cm / h . Quando r atingir o valor de 4
expandindo à metade:
dt 6,2832
dr
2,5

 40cm / h .
km, a taxa de crescimento do raio estará reduzida à metade:
dt 6,2832
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37
Cálculo I
Exercícios
1) O gás de um balão escapa na razão de 2 dm 3/minuto. Qual a razão de diminuição da superfície do
4
balão, quando o raio for de 12 dm? Dados: V  r 3 ; S  4r 2 .
3
2) De um funil, cônico, escoa água na razão de 1 centímetro cúbico por segundo. Sabendo que o raio
da base do funil é de 4 cm e a altura é de 8 cm, achar a razão segundo a qual o nível da água está
descendo, quando estiver a 2 cm do topo.
3) Um peso W está preso a uma corda de 50 m de
comprimento, que passa por uma polia situada em P, 20 m
acima do solo. A outra extremidade da corda está presa a um
caminhão, situado em A, 2 m acima do solo. Sabendo que o
caminhão se afasta na razão de 9 m/seg, qual a taxa de
variação da altura do peso quando ele estiver a 6 m acima do
solo? Ver figura ao lado.
4
4) A areia que escoa de uma calha forma um monte de forma cônica, cuja altura é sempre igual a
3
do raio da base.
a) Qual a razão de crescimento do volume quando o raio da base for 0,9 m e estiver aumentando na
razão de 0,75 dm/seg?
b) Qual a taxa de crescimento do raio quando o mesmo for de 1,8 m se o volume estiver aumentando
na razão de 0,6 m3/min?
1
Nota: volume do cone: V  r 2h .
3
5) Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A base da escada está sendo empurrada no
sentido contrário ao da parede a uma taxa constante de 6 m/min. Qual a velocidade com a qual o
topo da escada se move para baixo, encostado à parede, quando a base da escada está a 5 m da
parede? Considere as figuras abaixo e use o teorema de Pitágoras, a2  b2  c 2 , para resolver.
Respostas:
dS
1
dh
1
dx 9
  dm2 / seg ; 2)

cm / seg ; 3)

3 m / seg
1)
dt
3
dt
9
dt 2
3.12 Máximos, Mínimos e Pontos Críticos
3.12.1 Teste da derivada primeira
Usando o sinal da derivada primeira classificaremos os extremos locais. Além disso, indicará
onde uma função é crescente ou decrescente em um intervalo.
Para determinarmos os extremos de uma função f devemos:
i) encontrar f   x 
ii) encontrar os números críticos de f, isto é, os valores de x para os quais f   x   0 ou os valores que
f   x  não exista.
iii) aplicar o teste da derivada primeira. Concluir. Observe o esquema abaixo
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38
Cálculo I
Exemplo:
Dada f  x   x3  6x2  9x  1 faça um estudo completo desta curva.
Solução:
i) f   x   3x2  12x  9
ii) fazer f   x   0 . Isto é, 3x2  12x  9  0 , cujas raízes são: x  1e x  3 .
iii)
x 1
x 1
1 x  3
x3
x3
f x
fx
Conclusão
+
0

0
+
f é crescente
f tem um valor máximo
f é decrescente
f tem um valor mínimo
f é crescente
5
1
Exercícios
1) Aplicar o teste da derivada primeira nas funções a seguir e esboce o gráfico:
a) f  x   x3  6x2  9x  1. Resposta M1,5  e m  3,1
 x 2  4, se x  3
b) f  x   
. Resposta M 3,5  e m  0, 4 
8  x, se x  3
c) f  x   2x3  x2  3x  1 . Resposta: Não foram encontrados máximos e mínimos
d) f  x   x5  5x3  20x  2 . Resposta M 2,46  e m  2, 50 
2
e) f  x   2  3  x  4  3 . Resposta M  4,2
f) f  x   3x 4  4x3  5 . Resposta m 1,4  e I  0,5 
 1 81 
g) y  x4  2x3  3x2  4x  4 . Resposta m  2,0  ; M   ,  e m 1,0 
 2 16 
4
3
2
h) f  x   x  4x  6x  4x  4 . Resposta m 1,3 
2) A função f  x   x3  2x2  ax  b apresenta um máximo no ponto
 1,6  .
Calcule o valor de b.
Resposta: b  6
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39
Cálculo I
3) Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã (de 8h ao meio dia) revela que um operário
t 3 11
que chega para trabalhar às 8h produziu Q  t    t 2  6t unidades t horas mais tarde.
3 4
a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é máxima? t  1,5 (9h30min)
b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é mínima? t  4 (12h)
3.12.2 Teste da derivada segunda
Sejam f  x , f   x  e f   x  funções contínuas deriváveis no intervalo J e seja xo  J . Se
f   xo   0 e f   xo   0 , então x o é ponto máximo relativo de f  x  . Se f   xo   0 e f   xo   0 , então
x o é ponto de mínimo relativo de f  x  .
Determinação dos pontos de inflexão:
Seja f  x  uma função definida em um intervalo J e xo  J . Se f   xo   0 e f   xo   0 , então:
i) Se f   xo   0 , x o é abscissa de um ponto de inflexão com reta tangente paralela ao eixo-x;
ii) Se f   xo   0 , x o é a abscissa de um ponto de inflexão com reta tangente oblíqua em relação ao
eixo-x.
Critério geral que nos dá a conclusão. Seja f  x  uma função contínua com derivadas
sucessivas todas contínuas num intervalo J.
n 1
n
i) Se f   xo   f   xo   f   xo   ...  f    xo   0 e f    xo   0 então:
a) f  xo  é máximo relativo de f  x  se n é par e f 
b) f  xo  é mínimo relativo de f  x  se n é par e f
n
n
x   0 ;
x   0 ;
o
o
c) x o é abscissa de ponto de inflexão de f  x  com reta tangente paralela ao eixo-x se n é ímpar.
ii) Se f   xo   0 e f   xo   0 , x o é abscissa de ponto de inflexão com tangente oblíqua ao eixo-x,
desde que, depois de f   xo   0 , a primeira derivada que não se anula é de ordem ímpar.
Exemplo: se f  x   x5  5x3 , determine os extremos locais de f. Analise a concavidade,
determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico de f.
Solução:
Começamos por derivar f  x  duas vezes:
f   x   5x 4  15x 2  5x 2  x 2  3 
f   x   20x 3  30x  10x  2x 2  3 
Resolvendo a equação f   x   0 obtemos os números críticos 0,  3, 3 . Para achar os possíveis
6
6
.
, 0,
2
2
Façamos, agora, os quadros para tirarmos conclusões sobre os pontos e sobre as concavidades da
curva.
Sinal de
Número
f   c 
Conclusão
f   c 
crítico
pontos de inflexão, consideremos a equação f   x   0 , daí obtemos as abscissas 
 3
30 3

0
0
Nenhum
30 3

3


Máx. Local: f  3 
6
3
Nenhuma
Mín. Local: f
 3  
6
3
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40
Cálculo I
Intervalo
 ,  6 / 2
  6 / 2,0
0, 6 / 2
 6 / 2, 
Sinal de f   x 
Concavidade

Para baixo
+
Para cima

Para baixo
+
Para cima
Exercícios
1) Dada a função real f de variável real x, definida por f  x   3x 4  4x3  36x2 , pede-se:
a) interseção do gráfico de f com o eixo dos x. Resposta: x  0 e x 
24 7
3
b) interseção do gráfico de f com o eixo dos y. Resposta: y  0
c) interseção em que f é crescente. Resposta: 2,0 ou 3, 
d) interseção em que f é decrescente. Resposta: , 2 ou 0,3
e) pontos críticos de f. Resposta: 2,0,3 (máximo e mínimos) e
1  19
(inflexão)
3
f) gráfico cartesiano.
Resposta:
2) Calcule as coordenadas do ponto de inflexão da curva y  x3  3x2  4x  12 . Resposta: I 1, 10 
3) Faça um estudo completo sobre as seguintes curvas:
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41
Cálculo I

a) f  x   5x2 / 3  x5 / 3 Resposta: decresc. ,0 ou 2,  ; cresc. 0,2 ; m  0,0  ; M 2,3 3 4
b) f  x   3x
1/ 3

 x Resposta: decresc. , 1 ou 1,  ; cresc. 1,1 ; m  1, 2; M1,2; I 0,0 
4) Se f  x   ax3  bx2 , determine a e b, tal que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em 1,2  .
Resposta: a  1e b  3
5) Se f  x   ax3  bx2  cx , determine a ,b c, tal que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em
1,2
e tal que a inclinação da tangente no ponto de inflexão seja
2 . Resposta:
a  4; b  12 e c  10
6) Se f  x   ax3  bx2  cx  d , determine a, b, c, d tal que f tenha um extremo relativo em  0,3  e tal
que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em 1, 1 . Resposta: a  2; b  6; c  0 e d  3
7) Calcule y e y , determine, em cada caso, o conjunto de valores de x para os quais:
a) y cresce; b) y decresce; c) abscissas do ponto de inflexão.
 tem ponto
i) y  5  x2 / 3 Resposta: a) ,0 ; b) 0, ; c) nao
ii) y  x2  4x 1 Resposta: a)  3 2,  ; b)  , 3 2   0 ; c)  3 4
4
 tem ponto
iii) y  x  Resposta: a) sempre crescente; b) nunca; c) nao
x
x3
iv) y  x 2 
Resposta: a) 0,4 ; b) ,0 ; c) 2
6
3.13 Aplicação na Economia
As derivadas C, c, R e P na Economia são chamadas de custo marginal, custo médio
marginal, receita marginal e lucro marginal, respectivamente. O valor C  x  é chamado custo
marginal associado à produção de x unidades. Interpretando a derivada como taxa de variação, então
C  x  é a taxa na qual o custo varia em relação ao número x de unidades produzidas. O mesmo
pode-se dizer de c  x , R  x  e P  x  .
Exemplo: um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções
(manuais) de uma mesa colonial é dado por C  x   x3  3x2  80x  500 . Cada mesa é vendida por
R$ 2.800,00 . Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?
Solução: Como a receita obtida com a venda de x mesas é 2.800x, a função receita R é dada por
R  x   2.800x . A função lucro P é a diferença entre a função receita R e a função custo C, isto é,
P  x   R  x   C  x   2.800x   x3  3x2  80x  500  x3  3x2  2.880x  500 .
Para achar o lucro máximo, derivamos, obtendo P  x   3x2  6x  2.880  3  x2  2x  960  .
Obtêm-se os números críticos de P resolvendo 3  x2  2x  960   0, ou  x  32 x  30  0 , o que
dá x  32 ou x  30 . Como a solução negativa é estranha, basta verificar x  32 . A derivada
segunda da função lucro P é P  x   6x  6 . Conseqüentemente P  32  6.  32  6  186  0 .
Logo, se forem vendidas 32 mesas semanalmente obtém-se lucro máximo. Cuja quantidade é
P  32    32  3  32  2.880  32  500  61.964 .
3
2
1) O custo para produzir
C  x   0,3x3  5x2  28x  200 .
x
Exercícios
unidades de
certa
mercadoria
por
semana
é
a) Determine o custo marginal CM x   C  x  . Plote as funções C  x  e CM x  no mesmo gráfico.
b) Determine o(s) valor(es) de x para os quais C  x   0 . Qual a relação entre esse(s) ponto(s) e as
curvas de CM x  e C  x  ?
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42
Cálculo I
Resposta:
a) CM x   C  x   0,9x2  10x  28 ; b) C  x   1,8x  10  0; x  5,56 . Esse
ponto corresponde a um mínimo na curva de CM  x  e a um ponto de
inflexão na curva de C  x  .
2) A receita total em reais proveniente da venda de q unidades de certo produto é
R  q  2q2  68q  128 ; a) para que nível de vendas a receita média por unidade é igual à receita
marginal? b) Verifique que a receita média é uma fração crescente se o nível de vendas for menor
que o nível calculado no item (a). R.: a) R  q  A  q para q  8 ; b) A  q  2  128 / q2 ; A é uma
função crescente para 0  q  8 ; A é uma função decrescente para q  8
3.14 Problemas de Otimização
Nas aplicações, de uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de
fórmula Q  f  x  , na qual f é uma função. Assim Q pode ser a temperatura de uma substância no
instante x, a corrente em um circuito elétrico quando a resistência é x, ou o volume de gás em um
balão esférico de raio x. Esses valores extremos são às vezes chamados de valores ótimos, porque
são, em certo sentido, os melhores valores ou os mais favoráveis valores da quantidade Q.
Exemplo: De uma longa folha de papel retangular de 30 cm de largura deve-se fazer uma
calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de
cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
Solução:
A figura ao lado representa o desenho da calha, x denota o
número de centímetros a ser dobrado de cada lado. A largura
da base da calha é 30  2x cm. A capacidade da calha será
máxima quando a área do retângulo de lados 30  2x cm e x
for máxima. Denotando esta área por f  x  , temos
f  x   x  30  2x   30x  2x2 . Como 0  2x  30 , o domínio de
f é 0  x  15 . Se x  0 ou x  15 , não se forma nenhuma
calha. Assim, derivando f   x   30  4x  2 15  2x  de onde o
único número crítico é x  7,5 . Como f   x   4  0 é máximo
local para f. Segue-se que devem ser dobrados 7,5 cm de cada
lado para obtermos a capacidade máxima.
Exercícios
1) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e
52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se
perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite
construir uma caixa de volume máximo. Resposta x  7,47 cm .
2) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve-se ter a capacidade de 375 cm3 . O custo do
2
material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm e o custo do material usado para
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43
Cálculo I
a parte curva é de 5 centavos por cm 2. Se não há perda de material, determine as dimensões que
minimizem o custo do material. Resposta: raio: 5 cm e altura: 15 cm.
3) Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo quadrado. O material
usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o metro quadrado e o material usado para fazer o
fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que pode
ser construída por R$ 48,00? Resposta: 2 m por 2 m por 4/3 m
4) Use o fato de que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico para determinar as dimensões de uma lata
de refrigerante de 330 mL construída com a menor quantidade possível de metal. Compare as
dimensões calculadas com as de uma lata de refrigerante comercial. A que você atribui a diferença?
Resposta: r  3,74 cm; h  7,51cm; ao fato de que a lata não é perfeitamente cilíndrica.
3
5) Um reservatório cilíndrico, de base circular, tem a capacidade de 640 m . Achar suas dimensões
de modo que a quantidade (área) do material necessário seja mínima.
a) Considerando o reservatório sem cobertura;
b) Coberto.
Notas: volume e áreas de um cilindro, respectivamente: V  r 2h e A  2rh  2r 2 .
Resposta: a) r  5,88 e h  5,89 e b) r  4,67 e h  9,34
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44
Cálculo I
4. Integrais
4.1 Introdução
Se F  x  é uma função cuja derivada F  x   f  x , F  x  é denominada uma integral de f  x  .
Se F  x  for uma integral de f  x  , F  x   c também o será, sendo c uma constante qualquer.
A integral indefinida de f  x 
 




d 2
d 2
d 2
x 
x 5 
x  4  2x .
dx
dx
dx
é a integral mais geral da função, isto é,  f  x  dx  F  x   c
Por exemplo, x2 , x2  5 e x2  4 são integrais de 2x , porque
onde F  x  é uma função tal que F  x   f  x  e c é uma constante qualquer.
4.2 Fórmulas Fundamentais de Integração
1)  u  v  dx   udx   vdx
2)
 audx  a udx , onde a é uma constante qualquer
3)
 u du  n  1  c, se n  1
4)

7)
 senudu   cosu  c
un1
n
du
 lnu  c, se u  0
u
au
5)
 a du  lna  c, se a  0
8)
 cosudu  senu  c
u
6)
 e du  e
u
u
c
Exemplos:
a)
5
 x dx 
x6
c
6
x 1
1
c   c
1
x
4/3
z
3
c)  3 zdz   z1/ 3 dz 
 c  z4 / 3  c
4/3
4
1/ 3
dx
x
  x 2 / 3 dx 
 c  3x1/ 3  c
d) 
3 2
1/ 3
x
dx
b)
x
2
e)

xm dx   xm / n dx 
f)

g)

n
5
  x 2 dx 
xdx 
xm / n1
n n n m
c 
x
c
m/n 1
nm
5x 5
x c
6
kdx
x1n
 k  x n dx  k
c
n
1 n
x
  2x

2 3 5 2
x  x  3x  c
3
2
2
2
i)  1  x  xdx   x1/ 2  x3 / 2 dx   x1/ 2 dx   x3 / 2 dx  x3 / 2  x5 / 2  c
3
5
1
1
2




j)   3s  4  ds   9s2  24s  16 ds  9  s3   24  s2   16s  c  3s3  12s 2  16s  c
3 
2 
x3  5x 2  4
1
4x 1
1
4
k) 
dx   x  5  4x 2 dx  x 2  5x 
 c  x 2  5x   c
2
2
1
2
x
x
dx
2x
x
 ln x  c
c
l) 
m)  2 dx 
x
ln2
ex
 c  ex  c
n)  ex dx 
o)  senxdx   cos x  c
lne
h)
2
 5x  3 dx  2 x 2dx  5 xdx  3 dx 





p)

 cos xdx  senx  c
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Cálculo I
Exercícios
Resolva as integrais usando a fórmula  un du 
x 2 dx
a)

e)
  2x
3
x
2

3 23 2
x x C
8

 4x  1 dx
e)
b)
  x
2
un1
c .
n 1
 dx  x  C

 1 dx
c)
f)
 3x  2 dx
x7  x 2  1
 x2 dx
d)
  2x  1 dx
g)
  x
2

 1 dx
4.3 O Método da Substituição
Este método consiste em substituir uma expressão complicada por u. Assim, a integral ficará
mais fácil de ser calculada, bastando, somente, aplicar as fórmulas já estudadas. È necessário
observar qual expressão deverá ser substituída a fim de facilitar os cálculos. Veja os exemplos:
2
3
1
1
a)  x2  2 3x2 dx , fazendo x3  2  u ; então du  3x2dx . Assim,  u2 du  u3  c   x 2  2   c
3
3
1/ 2
du
b)  x3  2 x2 dx , fazendo x3  2  u ; então du  3x 2 dx 
 x 2 dx . Assim, substituindo
3
3/2
1
1 u3 / 2
2
devidamente, temos:  u1/ 2 du 
 c   x3  2   c
3
3 3/2
9
2
3
8x dx
1
8
8 1
4

c) 
 8.   x3  2  3x 2 dx   u3 du    u2   c  
c
3
2
3
3
3
3
3
2


3  x  2
 x  2




Exercícios
Calcule as integrais:
2x
a)
dx  ln 1  x2   C
2
1 x
1 4
c)  x3 (x 4  k)8 dx 
(x  k)9  C
36
x 4 dx
2 5

x 9 C
e) 
x5  9 5

g)
 3x
d)
x
5
 e

1  x 32
e 1  C
32
2 3
14 3
x3  7dx 
(x  7)2 x3  7 
(x  7) x3  7  C
15
9
x7 dx
(x 4  3) 4
3 4

x 3 
x 3 C
f) 
4
6
2
x 3
b)
x
1
31
ex dx 
1  2x 2 dx
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