Lei dos cossenos: Lei dos senos - Unifal-MG

Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski.
Parte 4
Lei dos cossenos:
A lei dos cossenos é uma relação geral do Teorema de Pitágoras aplicado a triângulos de qualquer forma.
Observe o triângulo ao lado com dimensões laterais a, b e c.
De que forma estas dimensões estão relacionadas?
Considere o triângulo definido pelos vértices A, B e C.
Podemos observar 3 triângulos:
ABC, BCD e ABD. Destes, pode-se extrair as seguintes
relações:
b = m+n
e
ou n = b − m
m = c ⋅ cos A
Usando o Teorema de Pitágoras, aplicado aos triângulos
retângulos, temos para:
BCD a 2 = n 2 + h 2
ABD c 2 = m 2 + h 2 ou h 2 = c 2 − m 2 :
Substituindo na primeira o valor n = b − m e o valor de h 2 = c 2 − m 2 :
2
a 2 = n 2 + h 2 = ( b − m ) + c 2 − m2
a 2 = b 2 − 2bm + m 2 + c 2 − m 2
2
2
=
2
a = b + c − 2bm
Agora, eliminando m da equação através da equação m = c ⋅ cos A , obtemos:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Lei dos senos
A lei dos senos é outra forma de relacionar os lados de um triângulo qualquer.
A partir das dimensões e ângulos representados pelos vértices A, B e C, a lei
dos senos é:
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
= 2r
1
Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski.
Parte 4
. Como o ângulo Para demonstrar, toma-se um ponto D que forma um ângulo D
A possui a mesma corda
e ambos os ângulos estão circunscritos na circunferência de raio r,
(de comprimento a) que o ângulo D
. Portanto,
conclui-se que A=D
= sen A = a → a = 2r sen A → a = 2r
sen D
2r
sen A
eC
:
Usando este mesmo raciocínio, pode-se escrever equações semelhantes para os ângulos B
b
sen B
= 2r e
c
sen C
= 2r
Ou simplesmente:
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
= 2r
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