Lei dos cossenos: Lei dos senos - Unifal-MG

Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski.
Parte 4
Lei dos cossenos:
A lei dos cossenos é uma relação geral do Teorema de Pitágoras aplicado a triângulos de qualquer forma.
Observe o triângulo ao lado com dimensões laterais a, b e c.
De que forma estas dimensões estão relacionadas?
Considere o triângulo definido pelos vértices A, B e C.
Podemos observar 3 triângulos:
ABC, BCD e ABD. Destes, pode-se extrair as seguintes
relações:
b  mn
ou n  b  m
e

m  c  cos A
Usando o Teorema de Pitágoras, aplicado aos triângulos
retângulos, temos para:
BCD  a 2  n 2  h 2
ABD  c 2  m 2  h 2 ou h 2  c 2  m 2 :
Substituindo na primeira o valor n  b  m e o valor de h 2  c 2  m 2 :
a 2  n 2  h 2   b  m   c 2  m2
2
a 2  b 2  2bm  m 2  c 2  m 2
a  b  c  2bm
2
2
2
=
Agora, eliminando m da equação através da equação m  c  cos 
A , obtemos:

a 2  b 2  c 2  2bc cos A
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

b 2  a 2  c 2  2ac cos B

c 2  a 2  b 2  2ab cos C
Lei dos senos
A lei dos senos é outra forma de relacionar os lados de um triângulo qualquer.
A partir das dimensões e ângulos representados pelos vértices A, B e C, a lei
dos senos é:
a

sen A

b

sen B

c

sen C
 2r
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Parte 4
 . Como o ângulo A
 possui a mesma corda
Para demonstrar, toma-se um ponto D que forma um ângulo D
 e ambos os ângulos estão circunscritos na circunferência de
ou lado (de comprimento a) que o ângulo D
 =D
 . Portanto,
raio r, conclui-se que A
  sen A
  a  a  2r sen A
  a  2r
sen D

2r
sen A
 eC
:
Usando este mesmo raciocínio, pode-se escrever equações semelhantes para os ângulos B
b

sen B
 2r e
c

sen C
Ou simplesmente:
a

sen A

b

sen B

c
 2r

sen C
 2r
2