Matemática

sen θ
1
1
, 1 = cos θ ⋅
= sen θ ⋅
cos θ
cos θ
cos θ
1
1
1
e
, a terceira linha é
⋅
=
cos θ
cos θ
cos 2 θ
1
igual à primeira linha multiplicada por
.
cos θ
Assim, det A = 0.
Notando que
Questão 1
Considere a identificação das placas de veículos, compostas de três letras seguidas de 4 dígitos. Sendo o alfabeto constituído de 26 letras, o número de placas possíveis de serem
constituídas, pensando em todas as combinações possíveis de 3 letras seguidas de 4 dígitos, é
a) 3 120.
b) 78 624 000.
c) 88 586 040.
d) 156 000 000.
e) 175 760 000.
alternativa E
Considerando as 26 letras do alfabeto e os 10 algarismos possíveis de serem escolhidos, o número total de placas com 3 letras e 4 algarismos é
26 3 ⋅ 104 = 175 760 000.
Questão 3
Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D,
E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a
mesma reta e três outros pontos quaisquer
nunca estão alinhados, conforme a figura.
Questão 2
O valor do determinante da matriz
sec(θ) ⎞
⎛ sen(θ) cos(θ)
⎜
⎟
A = ⎜ cos(θ) sen(θ) cossec(θ)⎟ , para
⎜ tg(θ)
1
sec2 (θ) ⎟⎠
⎝
0< θ<
a) −1.
π
,é
2
b) tg(θ).
c) sec(θ).
alternativa D
π
:
2
sen θ cos θ
sec θ
det A = cos θ sen θ cossec θ =
tg θ
1
sec 2 θ
d) 0.
e) 1.
O número total de triângulos que podem ser
formados, unindo-se três quaisquer desses
pontos, é
a) 24.
b) 112.
c) 116.
d) 120.
e) 124.
Para 0 < θ <
sen θ
cos θ
= cos θ
sen θ
sen θ
cos θ
1
alternativa C
1
cos θ
1
sen θ
1
Três pontos não alinhados determinam um triângulo, portanto o número de triângulos possíveis é
o número de maneiras de se escolher 3 pontos
quaisquer subtraindo-se o número de maneiras de
se escolher 3 pontos alinhados. Logo podem ser
⎛10 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
formados ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ =
− 4 = 116 triân⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠
3!
cos 2 θ
gulos.
matemática 2
⎛ x⎞
Dada a inequação ⎜3 2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x −1
3
≥ ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 9⎠
x−3
, o con-
junto verdade V, considerando o conjunto
universo como sendo o dos reais, é dado por
a) V = {x ∈ R | x ≤ −3 ou x ≥ 2}.
b) V = {x ∈ R | x ≤ −3 e x ≥ 2}.
c) V = {x ∈ R |−3 ≤ x ≤ 2}.
d) V = {x ∈ R | x ≤ −3}.
e) V = {x ∈ R | x ≥ 2}.
alternativa A
(3
x
2 ) x −1
⎛3 ⎞
≥⎜ ⎟
⎝9 ⎠
x−3
⇔3
x2
x
−
2
2
≥3
3 −x
⇔
2
−x
≥ 3 − x ⇔ x 2 − x ≥ 6 − 2x ⇔
2
⇔ x 2 + x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ 2
V = {x ∈ R | x ≤ −3 ou x ≥ 2}
⇔
x
AP
AN
1
$ = BAC
$ , pelo caso
e PAN
=
=
AB
AC
2
LAL os triângulos APN e ABC são semelhantes
1
de razão .
2
1
1
Logo PN =
BC . Analogamente, PM =
AC e
2
2
1
MN =
AB . Deste modo, pelo caso LLL os triân2
1
gulos MNP e ABC são semelhantes de razão .
2
Deste modo, a razão entre os perímetros de dois
1
triângulos consecutivos na seqüência é
, ou
2
seja, os perímetros dos triângulos da seqüência
formam uma progressão geométrica infinita de
1
primeiro termo 4 + 4 + 4 = 12 cm e razão
. A
2
soma pedida é a soma dos termos dessa seqüên12
cia, ou seja,
= 24 cm.
1
1−
2
Como
Questão 4
Questão 5
Considere um triângulo eqüilátero cuja medida do lado é 4 cm. Um segundo triângulo
eqüilátero é construído, unindo-se os pontos
médios dos lados do triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios dos lados
do segundo triângulo, obtém-se um terceiro
triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados na seqüência,
incluindo o triângulo original, é igual a
a) 16 cm.
b) 18 cm.
c) 20 cm.
d) 24 cm.
e) 32 cm.
alternativa D
Seja ABC um triângulo eqüilátero e M, N e P os
pontos médios dos lados BC, AC e AB, respectivamente.
Questão 6
Considere o ângulo θ = arcsen
π
−π
<θ < .
2
2
O valor da tg(θ) é igual a
3
4
3
a)
.
b) .
c) .
4
9
5
3
, sendo
5
3
.
4
d)
e) 1.
alternativa D
Como
−π
π
3
3
e
, senθ =
e θ = arcsen
<θ <
5
5
2
2
⎛3
cos θ = 1 − sen 2 θ = 1 − ⎜
⎝5
3
sen θ
3
Logo tg θ =
= 5 =
4
cos θ
4
5
⎞
⎟
⎠
2
=
4
.
5
.
Questão 7
Considere um plano sobre o qual estão localizados os pontos X, Y, Z e W, de forma que:
I. X, Y e Z são colineares;
II. as retas WX e YZ são perpendiculares;
III. X é um ponto exterior ao segmento YZ;
IV. a distância YZ é de 90 cm;
matemática 3
V. os ângulos WZX e WYX medem, respectivamente, 45o e 60o.
Então, a distância ZX é aproximadamente
igual a
(adote 3 = 1,73 )
a) 30,3 cm.
b) 70,9 cm.
c) 123,3 cm.
d) 212,8 cm.
e) 295,0 cm.
alternativa D
A configuração dos pontos X, Y, Z e W pode ser
representada pelo desenho a seguir:
alternativa E
Se V é o volume da mistura no reservatório com
40% de álcool, para que essa mistura apresente o
limite de 25% de álcool, deve-se acrescentar um
volume x de gasolina tal que:
0,4V
= 0,25 ⇔ x = 0,6V
V +x
Assim, o aumento percentual no volume de gasoli0,6V + x − 0,6V
na no reservatório deve ser de
=
0,6V
0,6V + 0,6V − 0,6V
=
= 100%.
0,6V
Questão 9
Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x2 − 20x + 2m > 0, para
todo x pertencente ao conjunto dos reais, são
dados por
a) m > 10.
b) m > 25.
c) m > 30.
d) m < 5.
e) m < 30.
alternativa B
− 20x + 2m > 0 seja válida para
a >0
todo x real, devemos ter
⇔
Δ <0
2 >0
⇔
⇔ 16 m > 400 ⇔
( −20) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2m < 0
Para que 2x
$ ) =180o − 90o − 45 o = 45 o , o ΔZXW
Como m (XWZ
é isósceles com XW = XZ. No ΔYXW, tg 60o =
XW
XY + 90
90
⇔ 3 =
⇔ XY =
=
=
XY
XY
3 −1
= 45 3 + 45 cm.
Logo ZX = XY + YZ = 45 3 + 135 cm e, adotando
3 ≅ 1,73 , ZX ≅ 212,8 cm.
Questão 8
Pela legislação, a porcentagem máxima permitida de álcool na mistura combustível dos
carros a gasolina é de 25%. O reservatório de
um posto de abastecimento de veículos, examinado pela fiscalização, apresentou 40% de
álcool na mistura combustível. Em relação à
quantidade de gasolina presente na mistura,
a porcentagem que a mesma deve ser aumentada de forma que a porcentagem de álcool
presente atinja o limite de 25% é
a) 15%.
b) 20%.
c) 50%.
d) 75%.
e) 100%.
2
⇔ m > 25
Questão 10
A equação da elipse de focos F1 = (−2, 0),
F2 = (2, 0) e eixo maior igual a 6 é dada por
x2
y2
+
= 1.
10
20
x2
y2
c)
+
= 1.
9
15
x2
y2
e)
+
= 1.
4
25
a)
x2
y2
+
= 1.
9
5
x2
y2
d)
+
= 1.
6
15
b)
alternativa B
Como os focos da elipse pertencem ao eixo Ox, a
y2
x2
equação da elipse é da forma 2 + 2 = 1, sena
b
do 2a a medida do eixo maior e 2b a medida do
eixo menor.
matemática 4
Temos 2a = 6 ⇔ a = 3 . Além disso,
focal é 2c = 2 − ( −2) = 4 ⇔ c = 2 .
Como a2 = b 2 + c 2 , b 2 = 3 2 − 2 2 =
x2
Logo a equação da elipse é 2 +
3
y2
x2
⇔
+
= 1.
9
5
a distância
5.
y2
= 1 ⇔
5
Questão 11
Em um dado comum, a soma dos números de
pontos desenhados em quaisquer duas faces
opostas é sempre igual a 7. Três dados comuns e idênticos são colados por faces com o
mesmo número de pontos. Em seguida, os dados são colados sobre uma mesa não transparente, como mostra a figura.
Considerando que a soma das faces dos três dados é 3 ⋅ (3 ⋅ 7) = 63 e que a soma dos pontos de
todas as faces livres (visíveis) é 36, a soma dos
pontos das três faces que estão em contato com
a mesa é igual a 63 − 36 − 14 = 13 .
Questão 12
Seja o número complexo z = 10 + 10i, no qual
i = −1 . A forma trigonométrica que representa este número é
π
π
a) 10⎛⎜cos
+ i sen ⎞⎟.
⎝
2
2⎠
π
π
b) 10⎛⎜cos
+ i sen ⎞⎟.
⎝
4
4⎠
π
π
c) 10 10 ⎛⎜cos
+ i sen ⎞⎟.
⎝
6
6⎠
π
π
d) 10 2 ⎛⎜cos
+ i sen ⎞⎟.
⎝
2
2⎠
π
π
e) 10 2 ⎛⎜cos
+ i sen ⎞⎟.
⎝
4
4⎠
Sabendo-se que a soma dos números de pontos de todas as faces livres é igual a 36, a
soma dos números de pontos das três faces
que estão em contato com a mesa é igual a
a) 13.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 18.
alternativa A
Das quatro faces coladas, duas são faces opostas
de um dos dados. Assim, como os dados são colados por faces com o mesmo número de pontos,
o total de pontos das faces coladas é 2 ⋅ 7 = 14.
alternativa E
O número complexo z = 10 + 10i tem módulo
r = 10 2 + 10 2 = 10 2 e argumento principal θ
10
2
cosθ =
=
2
π
10 2
tal que
.
⇔θ =
4
10
2
senθ =
=
2
10 2
Portanto a forma trigonométrica de z é
π
π⎞
⎛
10 2 ⋅ ⎜cos
+ i sen ⎟ .
⎝
4
4⎠