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ELEMENTOS DE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA Nº 14
CONTEÚDO: ELEMENTOS DE GEOMETRIA II
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6 - O TRIÂNGULO RETÂNGULO
A figura ao lado apresenta um triângulo retângulo, assim chamado, por ter um ângulo reto
(90º), que é o ângulo A.
O lado oposto ao ângulo A, lado BC, é denominado hipotenusa. Os lados AC e AB são chamados de
catetos.
O segmento AD representado pela letra "h" é a altura em relação à hipotenusa.
I - Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos.
Esta relação, conhecida como teorema de Pitágoras pode ser escrita na forma: a2 = b2 + c2.
Tomando, por exemplo, um triângulo onde os catetos medem 5 cm e 12 cm, a hipotenusa valerá 13
cm pois: a2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169  a = 13 cm.
Como aplicação do teorema de Pitágoras podem-se deduzir fórmulas para:
(a) diagonal de um quadrado - A diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo onde os
catetos são os lados do quadrado. Daí, d2 = L2 + L2 = 2L2 d = L2.
(b) altura do triângulo eqüilátero - Ao traçar a altura do triângulo eqüilátero, ela divide a base
em duas metades. A altura divide também o triângulo em dois triângulos retângulos. Assim, se L é o
lado do triângulo eqüilátero, L2 = (L/2)2 + h2  4L2 = L2 + 4h2  h2 = 3L2/4  h = L3/2.
QUADRADO
TRIÂNGULO EQÜILÁTERO
II - Outras relações métricas no triângulo retângulo
Fazendo, no triângulo retângulo anterior, BD = n e DC = m, podem ser provadas as relações:
(1) h2 = m.n, (2) b2 = a.m, (c) c2 = a.n, além de (4) ah = bc.
III - Relações trigonométricas no triângulo retângulo
No triângulo retângulo são definidas as funções seno, co-seno e tangente para os ângulos
agudos da seguinte forma:
- seno do ângulo é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
Assim, sen B = b/a e sen C = c/a.
- co-seno do ângulo é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Ou seja, cos B = c/a e cos C = b/a.
- tangente do ângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Ou seja, tan B = b/c e tan C = c/b.
Aplicação 1: Cinco alunos do curso de Ciência da Computação fizeram uma aposta. Quem
conseguisse informar um valor mais próximo da medida da altura do prédio da faculdade ganharia
de prêmio, pago pelos colegas, uma refeição na cantina. Cada aluno escreveu sua resposta em um
pedaço de papel que foi dobrado e guardado. Os alunos participantes e suas respostas foram:
Felipe Aquino - 6,40 m, Marina - 7,80 m, Érica -7,30 m, Thallassa - 6,30 m e Eric - 8,20 m.
Como não havia escada pediram ao aluno Carlos Henrique, do curso de Administração, para fazer o
cálculo.
Carlos Henrique, afastou-se do prédio por 10m e com o uso de um esquadro verificou que o ângulo
formado pela horizontal traçada na altura de seus olhos e pelo linha de visada em direção ao teto
tinha 30º. Sabendo que do solo aos olhos de Carlos Henrique tem 1,61 m, qual foi o aluno que mais
se aproximou da medida da altura do prédio? (dados sen 30º = 0,5 - cos 30º = 0,87 - tg 30º =
0,577)
Solução: São conhecidos o ângulo e o cateto adjacente ao ângulo. Deseja-se determinar o cateto
oposto.
Neste caso deve-se usar a tangente. Assim: tan 30º = x/10 0,577 = x/10 x = 5,77 m.
Mas esta é a altura a contar da altura dos olhos de Carlos Henrique. Desta forma, a altura do prédio
é
5,77 + 1,61 = 7,38 m. Portanto, a aluna Érica é quem deve receber o prêmio.
Campus São José
UNIPAC - Barbacena
Aplicação 2: O problema consiste em determinar a altura da Torre Eiffel (Paris - França) a partir de
duas visadas, uma de 60º e outra de 45º sendo a segunda visada feita a uma distância de 134 m da
primeira visada, supondo não ser possível medir a distância x.(dados tan 45º = 1 e tan 60º = 1,73)
Solução: a figura mostra dois triângulos retângulos um com um ângulo de 60º e catetos h e x e o
outro com um ângulo de 45º e catetos h e x + 134 m.
Do triângulo com 60º tira-se tan 60º = h/x  h/x = 1,73 (1)
e do triângulo com 45º tira-se tan 45º = h/(x + 134) 1 = h/(x + 134)  x + 134 = h (2).
Da relação (1) tem-se que x = h/1,73. Substituindo esse valor na relação (2), resulta: h/1,73 +
134 = h
h + 134.1,73 = h.1,73  h.1,73 - h = 134.1,73  0,73h = 231,82  h = 231,82/0,73 = 317,56
m.
Deste modo obtém-se 317,56 m para a altura da Torre Eiffel.
7 - SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se e somente se, existe uma correspondência biunívoca que
associa os três vértices de um dos triângulos aos três vértices do outro, de forma que:
I) lados opostos a vértices correspondentes são proporcionais.
II) ângulos com vértices correspondentes são congruentes (têm medidas iguais ou podem coincidir
por superposição).
Indica-se a semelhança dos triângulos ABC e A'B'C' por ABC  A'B'C'.
Para verificar se dois triângulos são semelhantes basta verificar se:
1º caso: dois de um triângulo são congruentes a dois ângulos do outro triângulo;
2º caso: têm dois lados, respectivamente, proporcionais; e são congruentes os ângulos formados
por esses lados.
3ª caso: têm os três lados proporcionais.
Aplicação: Para determinar a altura de um prédio Lavínia resolveu usar um cabo de vassoura de
1,2 m de comprimento. Qual é a altura do prédio se as sombras do prédio e do cabo de vassoura
medem respectivamente 22 m e 0,8 m?
Solução: considerando os raios solares paralelos, podemos formar os triângulos ao lado, que são
semelhantes. Em conseqüência: H/S = h/s ou H/22 = 1,2/0,8 ou H = 22.1,2/0,8 = 33 m.
8 - PROPORCIONALIDADE EM PARALELAS E TRANSVERSAIS
Quando várias paralelas são (AE, BF, CG, DH) são cortadas por transversais (AD, EH), as paralelas
dividem as transversais em segmentos proporcionais.(Relação conhecida como Lei da Tales)
Tem-se então:
Aplicação: Três paralelas determinam sobre uma transversal "r" dois segmentos AB e BC cujas
medidas são 10 cm e 12 cm. Se for traçada uma segunda transversal "s", as paralelas determinam
sobre ela os segmentos DE e EF. Se DF = 66 cm, qual é a medida do segmento DE?
Solução: tem-se, AB/AC = DE/EF 10/(10 + 12) = DE/66  10/22 = DE/66  DE = 10.66/22 = 30
cm.
9 - POLÍGONOS
Polígono é uma figura plana fechada, formada por segmentos consecutivos.
São elementos de um polígono:
(i) lados - segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA.
(ii) vértices - pontos A, B, C, D, E, F e G.
(iii) diagonal - segmento que liga dois vértices não consecutivos - AD, BE.
(iv) ângulo interno - ângulo .
(v) ângulo externo - ângulo .
Define-se o perímetro de um polígono como a soma das medidas de seus lados.
Os polígonos são classificados de acordo com o número de seus lado, conforme segue.
Nome
Número de
Nome
Número de
lado
lados
Triângulo ou
3
Eneágono
9
trilátero
quadrilátero
4
Decágono
10
Pentágono
5
Undecágono
11
Hexágono
6
Duodecágono
12
Heptágono
7
pentadecágono
15
Octógono
8
icoságono
20
Um polígono é dito convexo quando nenhum segmento corta mais que dois de seus lados.
Entre as propriedades dos polígonos convexos, destacam-se:
(1) A soma de seus ângulos externos é igual a 4 retos ou 360º.
(2) A soma de seus ângulos internos é igual a S = 180º.(n - 2) onde n é o número de lados ou de
ângulos.
(3) O número de suas diagonais é d = n.(n - 3).
EXERCÍCIOS
1 - Calcule o perímetro de um triângulo retângulo se um dos catetos mede 10 cm e a hipotenusa
mede 26 cm. Resp. 60 cm.
2 - As projeções dos catetos sobre a hipotenusa em um triângulo retângulo medem 6,4 cm e 3,6
cm. Calcule os catetos e a altura desse triângulo. Resp: 8 cm, 6 cm e 4,8 cm.
4 - A tela de monitor tem 12,75 polegadas de largura por 9,75 polegadas de altura. A medida do
monitor é dada pela medida de sua diagonal. Qual é a medida desse monitor? Resp. 16 polegadas
(arredondados)
5 - Um barco navega 120 km para leste e a seguir 160 km para o norte. Qual é a distância do
ponto de partida ao ponto de chegada? Resp. 200 km.
6 - Um triângulo eqüilátero tem altura igual a 123 cm. Qual é a sua altura? Resp. 36 cm
7 - Para ir à casa de sua avó, Luizinha tem que andar 400 m para o norte e a seguir 300 m para
oeste. Se fosse possível Luizinha ir direto de sua casa até a casa de sua avó? Resp. 500 m
8 - Um polígono tem 40 diagonais. Se seus lados são todos iguais e cada um mede 4 cm, qual é o
perímetro desse polígono? Resp. 32 m.
9 - Enquanto Marília descansava à sombra de uma árvore seu namorado Arthur, muito interessado
em cálculos geométricos resolveu calcular a altura da árvore. A sombra dessa árvore, às 14 horas,
media 8,4 m. Usando um bastão de 0,8 m, posicionado verticalmente, verificou que, no mesmo
instante, a sombra desse bastão media 1,2 m. Quanto Arthur deve ter encontrado para a altura da
árvore? Resp. 5,6 m.
10 - Para determinar a altura de um prédio Luciano avaliou o ângulo de visada do topo do prédio
como sendo 60º. Afastou-se então por mais 100 m e avaliou como sendo 30º o novo ângulo de
visada do topo. Qual é então a altura desse prédio? Resp. 28,9 m.
11 - Quantas diagonais tem o polígono se a soma de seus ângulos internos é 720º? Resp. 12.
12 - Calcule a medida do segmento x em cada uma das figuras:
Resp:18cm
Resp. 48
13 - A piscina da casa de Marina tem a forma de um quadrado cujo perímetro é 24 m. Qual é a
medida da diagonal dessa piscina? Resp. 5,6 m.
14 - Calcule o raio de uma circunferência se uma corda afastada 6 cm do centro tem 16 cm de
comprimento. Resp. 10 cm.
15 - Se a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 100 cm, quais serão as medidas dos catetos
desse triângulo, sabendo que um dos ângulos agudos é o dobro do outro? Resp. 50 cm e 86,6 cm.