Lista 0 (Revisão de Probabilidade) SME0801

Lista 0 (Revisão de Probabilidade)
SME0801 - Probabilidade II
Prof. Pablo Martín Rodríguez
1. Sejam A e B eventos tais que P (A) = 12 , P (B) = 14 e P (A ∩ B) = 15 . Calcular: P (A ∪ B); P (Ac ); P (B c );
P (B c ); P (A ∩ B c ); P (Ac ∩ B); P (Ac ∩ B c ); P (Ac ∪ B c ).
2. Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter duas caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos duas caras?
3. Um colégio tem em seu corpo docente sete professores de Biológicas, oito professores de Exatas e nove
professores de Humanas. Uma comissão de sete professores será selecionada aleatoriamente. Determine a
probabilidade de que nesta comissão haja pelo menos um professor de cada área.
4. Um sistema é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando ou está estragado. Considere
um experimento que consiste em observar a condição de cada componente e represente o resultado do
experimento como o vetor (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ), onde xi é igual a 1 se o componente i estiver funcionando e
igual a 0 se o componente i estiver estragado.
(a) Existem quantos resultados no espaço amostral deste experimento?
(b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1, 3 e 5 estiverem funcionando. Seja W o
evento em que o sistema irá funcionar. Especifique todos os resultados de W .
(c) Seja A o evento em que os componentes 4 e 5 estão estragados. Quantos resultados estão contidos no
evento A?
(d) Escreva todos os resultados no evento A ∩ W .
5. Se 8 torres são colocadas aleatoriamente em um tabuleiro de xadrez, calcule a probabilidade de que nenhuma
das torres possa capturar qualquer uma das demais. Isto é, calcule a probabilidade de que nenhuma linha
contenha mais que uma torre.
6. Uma moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade condicional de ter duas caras, dado que o primeiro
resultado é cara? E dado que pelo menos um dos lançamentos é cara?
7. Um estudante resolve um teste com questões do tipo verdadeiro-falso. Ele sabe dar a solução correta para
40% das questões. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece, dá a resposta correta, nos
outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade
de que ele sabia a resposta?
8. Dois dados honestos são rolados.
(a) qual é a probabilidade de que a soma das faces para cima seja igual a i? Determine essa probabilidade
para i = 2, 3, . . . , 11, 12.
(b) qual é a probabilidade condicional de que o primeiro caia no 6 se a soma dos dados é i? Calcule essa
probabilidade para todos os possíveis valores de i entre 2 e 12.
9. Enuncie e prove o Teorema da Probabilidade Total.
10. Consideremos uma urna com 8 bolas vermelhas e 4 bolas brancas. Duas bolas são retiradas da urna, uma
após a outra sem reposição. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam vermelhas?
11. Temos duas urnas A e B com as seguintes composições. A urna A contem 3 bolas brancas e 4 bolas
vermelhas e a urna B contem 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Escolhemos uma das duas urnas de
acordo com as seguintes probabilidades: urna A com probabilidade 1/3 e urna B com probabilidade 2/3.
Se uma bola é retirada da urna selecionada qual a probabilidade da bola escolhida ser branca? Dado que
a bola escolhida é branca qual a probabilidade dela ter sido escolhida da urna A?
12. Se A e B são eventos independentes tais que P (A) = 1/3 e P (B) = 1/2. Calcule P (A ∪ B), P (Ac ∪ B c ) e
P (Ac ∩ B).
13. Um exame de laboratório tem eficiência de 95% para detectar uma doença quando essa doença existe de
fato. Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo” para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0, 5%
da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o seu exame foi
positivo?
14. Seja A ⊂ B. Expresse as seguintes probabilidades da forma mais simples possível: P (A|B), P (A|B c ),
P (B|A), P (B|Ac ).
15. Jogue um dado duas vezes. Considere os eventos: A = o resultado do primeiro lançamento é par; B = o
resultado do segundo lançamento é par; e C = a soma dos resultados é par. A e B são independentes? e
A e C? e B e C? e A, B e C?
16. Um sistema paralelo funciona sempre que pelo menos um de seus componentes funcione. Considere um
sistema paralelo de n componentes, e suponha que cada componente trabalhe independetemente com
probabilidade 1/2. Determine a probabilidade condicional de que o componente 1 funcione dado que o
sistema está funcionando.
Pn
17. Há cupons de desconto de n tipos, e cada novo cupom é recolhido com probabilidade pi , i=1 pi = 1,
independentemente de seu tipo i. Suponha que k cupons devam ser recolhidos. Se Ai é o evento em que
há pelo menos um cupom de tipo i entre aqueles recolhidos, então, para i 6= j, determine
(a) P (Ai ),
(b) P (Ai ∪ Aj ),
(c) P (Ai |Aj ).
Obs.: Ver Exemplo 4i, Capítulo 3, do livro “Probabilidade: um curso moderno com aplicações” de Ross.
18. Ver Exemplo 4l (O problema da ruína do jogador), Capítulo 3, do livro “Probabilidade: um curso moderno
com aplicações” de Ross.
19. Suponha que temos 4 moedas tais que, se a i-ésima moeda for jogada, a probabilidade dela dar cara é igual
a i/4, i = 1, 2, 3, 4. Quando uma das moedas é selecionada aleatoriamente e jogada, ela dá cara. Qual é a
probabilidade condicional de que tenha sido a segunda moeda?
20. Considere uma variável aleatória discreta T cuja distribuição de probabilidade é apresentada a seguir:
Valores de T :
Probabilidades:
2
1/10
3
1/10
4
4/10
5
2/10
6
1/10
7
1/10
Determine: (a) P (T ≥ 6); (b) P (|T − 4| ≥ 2); (c) P (T ser um número primo).
21. Lançamos um dado sucessivamente sobre uma superficie plana e observamos a variável aleatória X que indica o número de lançamento em que ocorre 6 pela primeira vez. Determine a distribuição de probabilidades
de X.
22. Suponha que uma variável aleatória discreta tenha a seguinte distribuição de probabilidades: P (X = x) =
cx para x ∈ {1, 2, . . . , N } e zero fora desse conjunto. Determine:
(a) O valor da constante c quando N = 4.
(b) O valor de c para um valor qualquer de N .
(c) P (X ≤ a), onde a ≤ N .
(d) P (X ser par).
23. Lançamos seis vezes uma moeda honesta de forma independente. Seja Y a diferênça entre o número de
caras e coroas obtidas. Encontre a distribuição de probabilidades de Y .
24. Suponha que um motor de um avião falha, em vôo, com probabilidade 1 − p, independentemente dos
demais motores. Se um avião precisa de que a maioria dos seus motores funcione para realizar um vôo
bem-sucedido, para que valores de p um avião com cinco motores é preferível a um avião com três motores?
25. Quinze pessoas portadoras de determinada doença são selecionadas para se submeter a um tratamento.
Sabe-se que este tratamento é eficaz na cura da doença em 80% dos casos. Suponha que os indivíduos
submetidos ao tratamento curam-se (ou não) independentemente uns dos outros e considere X o número
de curados dentre os 15 pacientes submetidos ao tratamento.
(a) Qual é a distribuição de X?
(b) Qual é a probabilidade de que os 15 pacientes sejam curados?
(c) Qual é a probabilidade de que pelo menos dois não sejam curados?
26. Quantas vezes você espera rolar um dado honesto até que todos os lados ímpares tenham aparecido pelo
menos uma vez?
27. Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página de um livro tem distribuição de Poisson
com parâmetro λ = 12 .
(a) Calcule a probabilidade de existir exatamente dois erros tipográficos em uma página.
(b) Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma página.
(c) Suponha agora que o livro em questão possui 200 páginas. Qual é a probabilidade de não existir erros
tipográficos neste livro?
28. Considere um júri constituído por dez jurados que adota a seguinte regra para determinar o veredito: se
pelo menos oito dos jurados julgarem o réu culpado, este será condenado, caso contrário, o réu não será
condenado. Suponha que cada jurado dá seu veredito independentemente dos demais e que cada um toma
a decisão correta com probabilidade p. Suponha ainda que α representa a probabilidade do réu ser culpado.
Determine a probabilidade do júri tomar uma decisão correta.
29. Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias exponenciais independentes com parâmetro comum λ. Determine
P (min{X1 , X2 , . . . , Xn } ≤ a), onde a > 0 é uma constante.
30. Seja X uma variável aleatória com densidade f (x) = cx2 para −1 ≤ x ≤ 1 e f (x) = 0 caso contrário.
(a) Determine o valor da constante c.
(b) Calcule P (|X| > 1/2).
31. Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição triangular no intervalo [0, 1] se sua densidade é dada
por: f (x) = cx para 0 ≤ x ≤ 1/2, f (x) = c(1 − x) para 1/2 < x < 1, e f (x) = 0 para os demais valores de
x.
(a) Determine o valor da constante c.
(b) Esboce o gráfico de f (x).
(c) Calcule P (X > 8/10) e P (1/4 < X < 3/4).
32. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0, 20), calcule P (X < 3), P (4 < X < 15) e P (|X − 3| < 4).
33. Seja X uma variável aleatória com distribuição N (10, 100). Calcule P (X > 20) e P (15 < X < 25).
34. O tempo de vida, em horas, de uma válvula de rádio é uma variável aleatória com função densidade de
probabilidade dada por f (x) = 0 se x ≤ 100 e f (x) = 100/x2 se x > 100. Qual é a probabilidade de que
exatamente 2 de 5 válvulas no circuito de um aparelho de rádio tenham que ser trocadas nas primeiras
150 horas de operação? Suponha que os eventos Ei , i = 1, 2, 3, 4, 5, em que a i-ésima válvula tem que ser
substituída dentro deste intervalo de tempo sejam independentes.
35. Suponha que o número de acidentes que ocorrem em uma rodovia em cada dia seja uma variável aleatória
de Poisson com parâmetro λ = 3.
(a) Determine a probabilidade de que 3 ou mais acidentes ocorram hoje.
(b) Repita o item anterior supondo que pelo menos 1 acidente ocorra hoje.
36. O número de tempestades de inverno em um ano bom é uma variável aleatória de Poisson com média
3, enquanto o número em um ano ruim é uma variável de Poisson com média 5. Se o próximo ano tem
probabilidades 0.4 de ser um ano bom e 0.6 de ser um ano ruim, determine o valor esperado e a variância
do número de tempestades no próximo ano.
37. A função densidade de probabilidades de X, que representa a vida útil (em horas) de certo tipo de equipamento eletrônico, é dada por f (x) = 2c/x2 se x > 10 e por f (x) = 0 se x ≤ 10.
(a) Qual é o valor de c?
(b) Determine P (X > 20).
(c) Encontre a função de distribuição acumulada de X.
(d) Qual é a probabilidade de que, de 6 componentes como esse, pelo menos 3 funcionem por pelo menos
15 horas? Que suposições você está fazendo?
38. O número de anos que um rádio funciona é exponencialmente distribuído com λ = 1/8. Se compramos um
rádio usado, qual é a probabilidade de que ele funcione por mais 8 anos?
39. Seja X uma variável aleatória com distribuição Bernoulli de parâmetro 1/3. Calcule E(100X − 1).
40. Suponha que X seja uma variável aleatória contínua cuja função de densidade de probabilidade é dada por
C(4x − 2x2 ) 0 < x < 2
f (x) =
0
caso contrário
(a) Qual é o valor de C?
(b) Determine P (X > 1).
(c) Determine E(X).
41. Se X é uma variável aleatória contínua com função de distribuição FX e função de densidade de probabilidade fX , determine a função de densidade de probabilidade de Y = 2X.
42. Determine E(X) e V ar(X) quando X é uma variável aleatória com distribuição U (a, b), N (µ, σ 2 ) e Exp(λ).
43. Suponha que X tenha uma distribuição N (µ, σ 2 ) e seja Y = aX + b. Mostre que Y tem distribuição
N (aµ + b, a2 σ 2 ).
44. Suponha que a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos, D1 e D2 , tenha distribuição N (40, 36) e
N (49, 9), respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de ser usado por um período de 45 horas, qual
dos dispositivos deve ser preferido? Se tiver que ser usado por um período de 48 horas, qual deles deve ser
preferido?
45. O tempo (em horas) necessário para a manutenção de uma máquina é uma variável aleatória exponencialmente distribuída com λ = 1/2. Qual é
(a) a probabilidade de que um reparo dure mais que 2 horas?
(b) a probabilidade condicional de que o tempo de reparo dure pelo menos 10 horas, dado que a sua
duração seja superior a 9 horas?
46. Suponha que a função distribuição cumulativa da variável aleatória X seja dada por
2
F (x) = 1 − e−x , x > 0
Avalie P (X > 2); P (1 < X < 3) e E(X).