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INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO
LICENCIATURA EM GESTÃO
ESTATÍSTICA I (1º Semestre) – 26 de Janeiro de 2004
1ª Parte – duração: 45 minutos
NOME: ________________________________________ Nº_________ Turma: ___
ATENÇÃO: cada pergunta vale 1 valor. Responda nas linhas que se seguem a cada pergunta. Durante
o decorrer desta prova não pode usar máquina de calcular, nem telemóvel e não serão prestados
quaisquer esclarecimentos. No caso de numa questão com várias alíneas indicar uma resposta errada
tem cotação zero na pergunta. BOA SORTE!
1. Diga o que entende por partição do espaço de resultados.
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________________________________________________________________________
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2. Suponha que X é uma v.a. simétrica (em relação à média). Indique o valor lógico das
seguintes proposições:
a) Os momentos centrais de ordem par, que existirem, são nulos
b) Os momentos centrais de ordem ímpar, que existirem, são nulos
□ F□
V □ F□
V
3. Seja X uma v.a. discreta. Indique como calcula as seguintes probabilidades, em função da
respectiva função de distribuição:
a)
P(X<a)= _____________________________________________________
b)
P( a ≤ X < b )= ________________________________________________
4. Seja X uma variável aleatória e F(x) a sua função de distribuição. Indique o valor lógico
das seguintes proposições:
a) F(x) é crescente (em sentido estrito)
b) F(x) é não decrescente
c) F(x) é contínua à direita
d) F(x) é contínua à esquerda
□ F□
V □ F□
V □ F□
V □ F□
V
5. Suponha que os intervalos de tempo entre chegadas consecutivas, a um determinado
serviço, são v.a. i.i.d. com distribuição exponencial com média de 5 minutos. Diga qual é
a distribuição da v.a. “número de chegadas numa hora”.
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v.s.f.f.
6. Considere uma v.a. bidimensional (X,Y) com função de distribuição F(x,y). Determine,
em função de F(x,y),
P( x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y 2 ).
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7. Prove que se FX ( x | λ ) = 1 − e − λx , x > 0, então, para quaisquer a e b positivos,
P ( X > a + b | X > a ) = P ( X > b), isto é a distribuição exponencial goza da propriedade
sem memória.
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8. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, possuindo as duas valor esperado e sejam a e b
números reais quaisquer. Indique o valor lógico das seguintes proposições:
a) E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]
□
V□
V□
V□
V
b) E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y] apenas quando X e Y são independentes
c) E[XY]=E[X] E[Y]
d) Se X e Y são independentes então E[XY]=E[X] E[Y]
□
F□
F□
F□
F
9. Suponha que X ~G(α , λ), i.e. a sua função de densidade de probabilidade é
λα e − λx xα −1
f X ( x) =
, x > 0, (α > 0, λ > 0)
Γ(α )
e a sua função geradora de momentos
α
 λ 
M X (s) = 
 .
λ −s
Prove que a v.a. Y=βX tem distribuição G(α , λ/β).
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10. Suponha que (X1, X2, ..., Xn) é uma amostra casual retirada de uma população X com
média µ e variância σ2. Determine (indicando os cálculos e justificando-os) o valor
esperado da variância da amostra aleatória.
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INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO
LICENCIATURA EM GESTÃO
ESTATÍSTICA I (1º Semestre) – 26 de Janeiro de 2004
2ª Parte – duração 90 minutos
Durante o decorrer da prova não serão prestados quaisquer esclarecimentos. Se tiver
dúvidas, apresente-as por escrito no seu teste, para que possam vir a ser tidas em conta na correcção.
BOA SORTE!
1. Numa linha de montagem é produzido certo tipo de peças a um ritmo médio de 20 por hora.
Considere que a produção de peças segue um processo de Poisson.
(10) a) Qual a probabilidade de produzir 8 peças em 15 minutos?
(20) b) Qual a distribuição do tempo, em minutos, que medeia entre a produção de 2
peças consecutivas?
Sabendo-se que uma peça já está a ser produzida à 2 minutos qual a probabilidade de
passarem ainda mais de 2 minutos até se completar a sua execução? Comente o
resultado obtido.
(15) c) O operário encarregue da linha apostou com o colega que demorava no
máximo 15 minutos a produzir 5 peças. Qual a probabilidade de ganhar a aposta?
2. Seja X uma v.a. com a seguinte função densidade de probabilidade:
1
2

f (x ) = 
1
6

1< x < 2
2< x<5
(10) a) Calcule a função distribuição da variável aleatória X.
(10) b) Calcule a probabilidade de em três observações da v.a. X, a maior ter um valor
superior a 2.
(15) c) Considere a v.a. Y = 4 − 2 X . Calcule P[Y > −5 | Y ≤ 0] .
(20) 3. Uma investigadora está interessada em descobrir o grau de conhecimentos de
Geografia da população de alunos do ensino secundário português. Foi aplicado um teste de
resposta múltipla, que cobre todos os assuntos geográficos considerados relevantes, a uma
amostra de 30 alunos do ensino secundário seleccionados aleatoriamente. Admita que os
resultados seguem uma distribuição normal. Determine a probabilidade do desvio máximo
entre a média da amostra e da população ser inferior a metade do desvio padrão corrigido da
amostra.