EST029 - Cálculo de Probabilidades I Lista 05

EST029 - Cálculo de Probabilidades I
Lista 05
Marcus Nunes
07/10/2014
Exercícios retirados do livro Probabilidade - Um Curso Moderno com Aplicações, de
Sheldon Ross, com a seguinte legenda:
• P : Problemas
• ET : Exercícios Teóricos
• P AE: Problemas de Autoteste e Exercícios
• Exemplo: [P AE − 1.4] significa Problemas de Autoteste e Exercícios, Capítulo 1,
Exercício 4
[P − 4.2] Dois dados honestos são rolados. Seja X o produto dos dois dados.
Calcule P (X = i) para i = 1, 2, · · · , 36 (considere apenas os resultados possíveis
para esta multiplicação).
[P − 4.7] Suponha que um dado seja rolado duas vezes. Quais são os possíveis
valores que as seguintes variáveis aleatórias podem assumir?
(a) o valor máximo que aparece nas duas vezes em que o dado é jogado
(b) o valor mínimo que aparece nas duas vezes em que o dado é jogado
(c) a soma das duas jogadas
(d) o valor da primeira jogada menos o valor da segunda jogada
[P − 4.8] Se o dado do problema anterior é honesto, calcule as probabilidades
associadas às variáveis aleatórias nas letras (a) a (d).
1
[P − 4.19] (adaptação) Se a função distribuição de X é dada por

0,





1


,


2



3


 ,
F (b) = 5
4


,



5



9


,



10


1,
se b < 0
se 0 ≤ b < 1
se 1 ≤ b < 2
se 2 ≤ b < 3
se 3 ≤ b < 3, 5
se b ≥ 3, 5
calcule f (b). Faça esboços dos gráficos de F (b) e f (b).
[5] As variáveis aleatórias X e Y tem funções massa de probabilidade dadas por

1


;


2




1


;



4
1
fX (x) =
;

8



1


;



16




1;
16
se x = −2
se x = −1
se x = 0
se x = 1
se x = 2
e


0, 10;





0, 20;
fY (y) = 0, 25;



0, 30;



0, 15;
se
se
se
se
se
y
y
y
y
y
=1
=2
=3
=4
=5
respectivamente. Calcule E(X), Var(X), E(Y ) e Var(Y ).
[P − 4.21] Quatro ônibus levando 140 estudantes da mesma escola chegam a um
jogo de futebol. Os ônibus levam, respectivamente, 40, 33, 25 e 50 estudantes. Um
dos estudantes é selecionado aleatoriamente. Suponha que X represente o número
de estudantes que estavam no ônibus que levava o estudante selecionado. Um dos
4 motoristas dos ônibus também é selecionado aleatoriamente. Seja Y o número
de estudantes no ônibus do motorista selecionado.
2
(a) Qual o valor esperado você pensa ser maior? E(X) ou E(Y )?
(b) Calcule E(X) e E(Y ).
[P − 4.25] Jogam-se duas moedas. A primeira moeda dá cara com probabilidade
0,6 e a segunda com probabilidade 0,7. Suponha que os resultados das jogadas
sejam independentes e que X seja igual ao número total de caras que saem.
(a) Determine P (X = 1).
(b) Determine E(X).
[8] Seja Y ∼ Binomial(5; 0, 4). Calcule
(a) E(Y )
(b) Var(Y )
(c) P (Y ≥ 4)
[P − 4.38] Se E(X) = 1 e Var(X) = 5, determine
(a) E(2 + X 2 )
(b) E[(2 + X)2 ]
(c) Var(4 + 3X)
[P − 4.40] Em um teste de múltipla escolha com 3 respostas possíveis para cada
uma das 5 questões, qual é a probabilidade de que um estudante acerte 4 questões
ou mais apenas chutando?
[P − 4.41] Um homem diz ter percepção extrassensorial. Como um teste, uma
moeda honesta é jogada 10 vezes e pede-se ao homem que preveja o resultado.
Ele acerta 7 vezes em 10. Qual é a probabilidade de que ele consiga um índice de
acertos igual ou superior a este mesmo não tendo percepção extrassensorial?
[P −4.52] O número médio mensal de acidentes aéreos envolvendo aviões comerciais
em todo o mundo é igual a 3, 5. Qual é a probabilidade de que
(a) ocorram pelo menos 2 acidentes desse tipo no próximo mês?
(b) ocorra no máximo 1 acidente no próximo mês?
[P AE − 4.1] Suponha que a variável aleatória X seja igual ao número de acertos
obtidos por certo jogador de beisebol nas suas três chances como rebatedor. Se
P (X = 1) = 0, 3, P (X = 2) = 0, 2 e P (X = 0) = 3P (X = 3), determine E(X).
[P AE−4.9] Se X é uma variável aleatória binomial com valor esperado 6 e variância
2,4, determine P (X = 5).
3
[P AE − 4.15] O número de ovos deixados em uma árvore por um inseto de certo
tipo é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ. Entretanto, tal variável
aleatória só pode ser observada se for positiva, pois se ela for igual a 0 não podemos
saber se tal inseto pousou na folha ou não. Se Y representa o número de ovos
depositados, então
P (Y = i) = P (X = i|X > 0),
onde X é Poisson com parâmetro λ. Determine E(Y ).
[P AE − 4.19] Quando três amigos tomam café, eles decidem quem paga a conta
jogando, cada um deles, uma moeda. Aquele que obtiver um resultado diferente
dos demais paga a conta. Se todas as três jogadas produzirem o mesmo resultado,
então uma segunda rodada de jogadas é feita, e assim por diante, até que alguém
obtenha um resultado diferente dos demais. Qual é a probabilidade de que:
(a) exatamente 3 rodadas sejam feitas
(b) mais do que 4 rodadas sejam necessárias
[17] Suponha que a probabilidade de um táxi passar e estar livre é 0,20. Se alguém
está esperando para pegar um táxi, determine
(a) a função massa de probabilidade desta variável aleatória
(b) a probabilidade desta pessoa ter que esperar pelo menos 3 táxis passarem até
poder entrar em um
(c) o número médio de táxis que passarão até que apareça um carro livre
[18] Suponha que uma rifa tenha 100 bilhetes numerados de 1 a 100. João tem em
seu poder os bilhetes de número 21 a 25, enquanto Paulo possui os bilhetes 1, 11,
29, 68 e 93. Sabendo que apenas um bilhete será sorteado, qual pessoa tem mais
chances de ser sorteada? João ou Paulo? Justifique.
[19] Um usuário de transporte coletivo chega pontualmente às 8 horas para pegar
seu ônibus. Devido ao trânsito caótico, a demora pode ser qualquer tempo entre
1 e 20 minutos admita que o relógio “pule” de minuto em minuto). Pergunta-se
(a) Qual a probabilidade de demorar mais de 10 minutos?
(b) Qual a probabilidade de demorar pelo menos 5, mas não mais do que 10
minutos?
(c) Qual a probabilidade da demora não chegar a 5 minutos?
(d) Se um amigo chegou 10 minutos atrasado e vai pegar o mesmo ônibus (que
ainda não passou), qual a probabilidade de o amigo atrasado esperar até 3
minutos?
4
[ET − 4.8] Determine Var(X) se
P (X = a) = p = 1 − P (X = b)
5