Aula 11 – A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e

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A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
MÓDULO 1 – AULA 11
Aula 11 – A Regra da cadeia (segunda parte)
– fórmulas grandes e pequenas
Não há como evitar o sentimento de que essas
fórmulas matemáticas têm uma existência
independente e uma inteligência própria,
que elas são mais sábias do que nós,
mais sábias até mesmo do que seus descobridores,
que nós obtemos mais delas do que o que foi
originalmente colocado nelas.
Heinrich Hertz
Objetivo
• Usar as fórmulas derivadas da Regra da Cadeia no caso das funções de
várias variáveis.
Introdução
Há uma parte importante da cultura matemática que diz respeito às
fórmulas. É impossı́vel folhear os livros e os trabalhos de Matemática sem
encontrar, perﬁlados, seguindo por páginas e páginas, fórmulas e sı́mbolos,
em arranjos que vão dos mais simples aos mais elaborados. Não se pode
mencionar, por exemplo, o Teorema de Pitágoras sem pensar na fórmula
a2 = b2 + c2 .
Quem não se lembra da famosa Fórmula de Bhaskara, para resolver
equações do segundo grau:
√
−b ± b2 − 4ac
?
x =
2a
Cada um de nós tem algumas que são as suas favoritas:
u dv = uv − v du, sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b,
d(ω ∧ η) = (dω) ∧ η + (−1)p ω ∧ dη etc. Há tantas!
Na aula anterior, você acrescentou ao seu rol de fórmulas matemáticas
a da Regra da Cadeia:
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CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
(f ◦ α) (t) = ∇f (α(t)) · α (t),
que tem a simplicidade como uma de suas caracterı́sticas.
Vamos a um exemplo.
Exemplo 11.1
Seja f : lR 2 −→ lR uma função diferenciável, tal que ∇f (−1, 0) =
(1, 2) e seja α(t) = (cos(3πt), 1 − t2 ). Vamos usar a Regra da Cadeia para
calcular (f ◦ α) (1). Note que α(1) = (−1, 0). Aqui está o cálculo de α (1):
α (t) = (−3π sen (3πt), −2t),
α (1) = (0, −2).
Assim,
(f ◦ α) (1) = ∇f (α(1)) · α (1) = ∇f (−1, 0) · α (1) = (−1, 2) · (0, −2) = −4.
A fórmula por extenso
Quando expressamos as funções usando a notação de variáveis independentes e dependentes, costumamos usar a versão por extenso da fórmula da
Regra da Cadeia. Veja como isso funciona na situação a seguir.
Seja z(x, y) = f (x, y) uma função diferenciável e α(t) = (x(t), y(t))
uma curva diferenciável, tal que Im(α) ⊂ Dom(f ). Então, a composição de
f e α ﬁca
z(t) = f (x(t), y(t)),
e a derivada desta função é dada por
dx
dz
(t) = ∇f (x(t), y(t)) ·
(t),
dt
dt
∂f
dx
=
(x(t), y(t))
(t) +
∂x
dt
dy (t) =
dt
∂f
dy
(x(t), y(t)) (t).
∂y
dt
Em Matemática, assim como na vida, muitas vezes o menos é mais.
Assim, é comum usarmos a seguinte versão abreviada dessa fórmula:
∂f dx
∂f dy
dz
=
+
,
dt
∂x dt
∂y dt
CEDERJ
120
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
MÓDULO 1 – AULA 11
ou
dz
∂z dx
∂z dy
=
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
Note a similaridade com a fórmula
dy
dy dx
=
,
dt
dx dt
dy
apresentada no inı́cio da aula anterior. Veja, no lugar de
, temos as deridx
∂z
∂z
e
.
vadas parciais
∂x
∂y
É preciso atenção no uso da fórmula, pois omitimos os pontos nos quais
cada uma das derivadas envolvidas deve ser calculada.
Está na hora de observar como isso funciona na prática.
Exemplo 11.2
Sejam z(x, y) = 2xy 2 − x2 y, x(t) = 3t2 e y(t) = sen 2t. Vamos
dz
calcular
, a derivada da composta, usando a fórmula da Regra da Cadeia
dt
e diretamente, após obter a expressão de z(t).
(a) Usando a fórmula da Regra da Cadeia:
∂z dx
∂z dy
dz
=
+
=
dt
∂x dt
∂y dt
= (2y 2 − 2xy) 6t + (4xy − x2 ) (2 cos 2t) =
= (2 sen2 t − 6t2 sen 2t) 6t + (12t2 sen 2t − 9t4 ) (2 cos 2t) =
= 12t sen2 2t − 36t3 sen 2t + 24t2 sen 2t cos 2t − 18t4 cos 2t =
= 12t sen 2t (sen 2t − 3t2 ) + 3t2 cos 2t (8 sen 2t − 6t2 ).
∂z
= 2y 2 − 2xy e
Note que, da equação z = 2xy 2 − x2 y, calculamos
∂x
∂z
= 4xy − x2 , e das equações x = 3t2 e y = sen 2t calculamos
∂y
dx
dy
= 6t e
= 2 cos 2t. Além disso, substituı́mos x por 3t2 e y
dt
dt
dz
deve ser dada apenas em termos da
por sen 2t, pois a resposta de
dt
variável t, a menos que tenhamos de deixar subentendido.
121
CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
(b) Efetuando a composição e, então, o cálculo direto:
z(t) = 6t2 sen2 2t − 9t4 sen 2t.
dz
= 12t sen2 2t + (12t2 sen 2t) (2 cos 2t) − 36t3 sen 2t − 18t4 cos 2t =
dt
= 12t sen 2t (sen 2t − 3t2 ) + 3t2 cos 2t (8 sen 2t − 6t2 ).
A rigor, deverı́amos ter escrito
dz
dz
(t) no lugar de , na última equação.
dt
dt
Quando f é uma função com mais variáveis do que nossas usuais duas, a
fórmula ganha mais parcelas. Veja, no próximo exemplo, como isso acontece.
Exemplo 11.3
Seja w = f (x, y, z) uma função diferenciável e seja
α(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t2 , cos 2t, sen 2t).
Suponha que, para t ∈ Dom(α), (x(t), y(t), z(t)) ∈ Dom(f ).
Vamos expressar a derivada da composta w(t) em termos das derivadas
parciais de f .
Nesse caso, a fórmula da Regra da Cadeia ﬁca
∂w dx
∂w dy
∂w dz
dw
=
+
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Uma vez que não dispomos das informações sobre f (sabemos apenas
que é uma função diferenciável e que a composição é possı́vel), suas derivadas
parciais serão apenas indicadas.
∂f
∂f
∂f
dw
=
2t +
(−2 sen 2t) +
(2 cos 2t) =
dt
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f
∂f
= 2t
− 2
sen 2t + 2
cos 2t.
∂x
∂y
∂z
∂f ∂f ∂f
,
e
representam funções na variável
∂x ∂y ∂z
t, pois devemos substituir x, y e z pelos seus respectivos valores em t.
Observe que os sı́mbolos
Aqui está uma oportunidade para você experimentar.
Atividade 11.1
Seja w = f (x, y, z) uma função diferenciável, deﬁnida em todo o lR 3 .
Escreva a fórmula indicada para calcular a derivada de
w(t) = f (e2t , t e3t , t2 )
e expresse essa derivada,
CEDERJ
122
dw
, em termos das derivadas parciais de f .
dt
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
MÓDULO 1 – AULA 11
Parciais e parciais
Até esta altura, temos considerado a situação básica, em que f é uma
função de duas ou três variáveis e α é uma função vetorial, tomando valores
em lR 2 ou lR 3 , dependendo do caso, e de uma variável real. O resultado da
composição f ◦ α é uma função real de uma variável real.
No entanto, podemos considerar, também, a seguinte situação:
Seja z(x, y) = f (x, y) uma função diferenciável e suponha que x(u, v) =
g(u, v) e y(u, v) = h(u, v) sejam funções diferenciáveis, deﬁnidas num aberto
U ⊂ lR 2 , tais que, se (u, v) ∈ U, então (x(u, v), y(u, v)) ∈ Dom(f ). Então,
podemos considerar z uma função de u e v, fazendo a composição
z(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) = f (g(u, v), h(u, v)).
Além disso, podemos usar a Regra da Cadeia para calcular as derivadas
parciais de z em relação a u e a v, uma vez que para isso basta derivar a
função em relação à variável desejada, considerando a outra variável como
uma constante.
Portanto,
∂z ∂x
∂z ∂y
∂z
=
+
∂u
∂x ∂u
∂y ∂u
e
∂z ∂x
∂z ∂y
∂z
=
+
.
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
Veja, no exemplo a seguir, como usar as fórmulas.
Exemplo 11.4
Sejam z = f (x, y) = xy − y 2, x = g(u, v) = u2 + v 2 e y = h(u, v) =
3u − v. Considerando z uma função de u e v, ou seja, tomando a composição
z(u, v) = f (g(u, v), h(u, v)),
∂z ∂z
e
de ambas as maneiras: usando
vamos calcular as derivadas parciais
∂u ∂v
as fórmulas da Regra da Cadeia e, diretamente, após obter a expressão
explı́cita de z em termos de u e v.
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CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
(a) Usando a Regra da Cadeia:
∂z
∂z ∂x
∂z ∂y
=
+
=
∂u
∂x ∂u
∂y ∂u
= y (2u) + (x − 2y) 3 =
= (3u − v) (2u) + (u2 + v 2 − 6u + 2v) 3 =
= 9u2 − 2uv + 3v 2 − 18u + 6v.
∂z
∂z ∂x
∂z ∂y
=
+
=
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
= y (2v) + (x − 2y) (−1) =
= (3u − v) (2u) + (u2 + v 2 − 6u + 2v) (−1) =
= −u2 + 6uv − 3v 2 + 6u − 2v.
(b) Diretamente da expressão de z em termos de u e v:
z(u, v) = (u2 + v 2 ) (3u − v) − (3u − v)2 =
= 3u3 − u2 v + 3uv 2 − v 3 − 9u2 + 6uv − v 2 ;
∂z
= 9u2 − 2uv + 3v 2 − 18u + 6v;
∂u
∂z
= −u2 + 6uv − 3v 2 + 6u − 2v.
∂v
Está na hora de você entrar em ação.
para você:
Eis mais uma atividade
Atividade 11.2
Seja w(u, v) = f (u e2v , v e2u , uv), onde f (x, y, z) é uma função diferenciável, deﬁnida em todo o lR 3 .
(a) Expresse
e
∂w
∂f ∂f
∂w
e
em termos das derivadas parciais de f ,
,
∂u
∂v
∂x ∂y
∂f
.
∂z
(b) Sabendo que ∇f (e2 , e2 , 1) = (1, −1, 2), calcule ∇w(1, 1).
Você observou que, uma vez conhecida a expressão que deﬁne a função
composta, é menos trabalhoso derivá-la diretamente. No entanto, nem sempre dispomos de todas as informações para obter as leis de deﬁnição explicitamente. Nesse caso, a fórmula é o único recurso de que dispomos.
Além disso, é bom estar preparado para usar uma variedade de diferentes nomenclaturas e notações para as derivadas parciais.
CEDERJ
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A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
MÓDULO 1 – AULA 11
Terminaremos a aula com uma série de exemplos em que exploraremos
esses aspectos.
Exemplo 11.5
Seja g(x, y, z) uma função diferenciável, deﬁnida em todo o lR 3 , e
suponha que x(u, v) = u2 cos v, y(u, v) = u2 sen v e z(u, v) = uv.
Vamos considerar G(u, v) = g(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) e expressar
as derivadas parciais de G, em relação a u e v, em termos das derivadas
parciais de g, em relação a x, y e z.
Nesse caso, as fórmulas que serão usadas são:



∂G
∂g ∂x
∂g ∂y
∂g ∂z


=
+
+
;



∂u
∂x ∂u
∂y ∂u
∂z ∂u










∂G
∂g ∂x
∂g ∂y
∂g ∂z



=
+
+
.
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
∂z ∂v
Assim,
∂G
∂g
∂g
∂g
= (2u cos v)
+ (2u sen v)
+ v ;
∂u
∂x
∂y
∂z
∂g
∂g
∂g
∂G
= (u2 sen v)
+ (u2 cos v)
+ u .
∂v
∂x
∂y
∂z
∂g
∂g ∂g
,
e
devem ser vistas, nas duas equações anteriores,
∂x ∂y
∂z
como funções de u e v, uma vez que substituı́mos nelas x, y e z por seus
respectivos valores em termos de u e v: x = u2 , cos v, y = u2 sen v e z = uv.
Note que
Exemplo 11.6
Vamos calcular wr e wt sabendo que w = xy + 2yz − xz, x = r et ,
y = r e−t e z = t2 .
Nesse exemplo, a ênfase está na notação wr e wt . Isso é uma outra
maneira de denotar as funções derivadas parciais de w em relação a r e a t,
respectivamente. Usando essa notação, as fórmulas ﬁcam:





w = wx xr + wy yr + wz zr ;


 r












 wt = wx xt + wy yt + wz zt .
125
CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
Assim, obtemos
wr = (y − z) et + (x + 2z) e−t + (2y − x) 0
wr = (r e−t − t2 ) et + (r et + 2 t2 ) e−t
wr = r − t2 et + r + 2t2 e−t = 2r − t2 (et − 2 e−t );
wt = (y − z) r et + (x + 2z) (−r e−t ) + (2y − x) (2t)
wt = (r e−t − t2 ) r et − (r et + 2t2 ) r e−t + (2r e−t − r et ) 2t
wt = 2rt e−t (1 − t) − rt et (t + 2).
Vamos a um exemplo onde temos uma composição dupla.
Exemplo 11.7
Seja zf (x, y) uma função diferenciável deﬁnida em todo o lR 2 , x =
dz
2u − v, y = 3u + 2v, u = t2 + 2t e v = 3 − t. Vamos expressar
em termos
dt
das derivadas parciais de f .
Sabemos que



∂z
∂f ∂x
∂f ∂y


=
+
,



∂u
∂x ∂u
∂y ∂u










∂z
∂f ∂x
∂f ∂y



=
+
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
e
∂z du
∂z dv
dz
=
+
.
dt
∂u dt
∂v dt
Portanto,
∂f ∂x
dz
=
+
dt
∂x ∂u
∂f
∂f
dz
=
2+
dt
∂x
∂y
∂f
= (4t + 5)
∂x
∂f ∂x
∂f ∂y du
∂f ∂y dv
+
+
∂y ∂u dt
∂x ∂v
∂y ∂v dt
∂f
∂f 3 (2t + 2) +
(−1) +
2 (−1) =
∂x
∂y
∂f
+ (6t + 4)
.
∂y
∂f ∂f
e
representam, na fórmula anterior, funções
∂x ∂y
de t. Para isso, devemos calculá-las em x u(t), v(t) , y u(t), v(t) .
Você deve notar que
CEDERJ
126
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
MÓDULO 1 – AULA 11
Respostas das atividades
Atividade 11.1
Seja w = f (x, y, z) uma função diferenciável, deﬁnida em todo o lR 3 .
Escreva a fórmula indicada para calcular a derivada de
w(t) = f (e2t , t e3t , t2 )
e expresse essa derivada,
Solução:
dw
, em termos das derivadas parciais de f .
dt
Usamos a fórmula
∂f dx
∂f dy
∂f dz
dw
=
+
+
,
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
onde x(t) = e2t , y = t e3t e z(y) = t2 . Então,
dw
∂f
∂f 3t
∂f
=
2 e2t +
(e + 3t e3t ) +
2t =
dt
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f
∂f
= 2 e2t
+ e3t (1 + 3t)
+ 2t
.
∂x
∂y
∂z
Atividade 11.2
Seja w(u, v) = f (u e2v , v e2u , uv), onde f (x, y, z) é uma função diferenciável, deﬁnida em todo o lR 3 .
(a) Expresse
e
∂w
∂w
∂f ∂f
e
em termos das derivadas parciais de f ,
,
∂u
∂v
∂x ∂y
∂f
.
∂z
(b) Sabendo que ∇f (e2 , e2 , 1) = (1, −1, 2), calcule ∇w(1, 1).
Solução:
Neste caso, usamos as fórmulas



∂w
∂f ∂x
∂f ∂y
∂f ∂z


=
+
+
,


 ∂u
∂x ∂u
∂y ∂u
∂z ∂u










∂f ∂x
∂f ∂y
∂f ∂z
∂w



=
+
+
,
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
∂z ∂v
127
CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
onde x = u e2v , y = v e2u e z = uv. Assim,



∂w
∂f
∂f
∂f


= e2v
+ 2v e2u
+ v
,



∂u
∂x
∂y
∂z










∂f
∂f
∂f
∂w



= 2u e2v
+ e2u
+ u
.
∂v
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
(1, 1) e
(1, 1).
Para determinar ∇w(1, 1), precisamos calcular
∂u
∂v
Para isso, usaremos
∇f (e2 , e2 , 1) =
∂w
(1, 1) =
∂u
=
∂w
(1, 1) =
∂v
=
∂f
∂x
(e2 , e2 , 1),
∂f 2 2
∂f 2 2
(e , e , 1),
(e , e , 1), = (1, −1, 2).
∂y
∂z
∂f 2 2
∂f 2 2
∂f 2 2
(e , e , 1) + 2 e2
(e , e , 1) +
(e , e , 1) =
∂x
∂y
∂z
e2 − 2 e2 + 2 = 2 − e2 ;
∂f 2 2
∂f 2 2
∂f 2 2
2 e2
(e , e , 1) + e2
(e , e , 1) +
(e , e , 1) =
∂x
∂y
∂z
2 e2 − e2 + 2 = 2 + e2
e2
e, portanto,
∇w(1, 1) = (2 − e2 , 2 + e2 ).
Exercı́cios
Exercı́cio 1
dw
, onde w = x2 + x ey + cos(xy), x = t + t2 e y = t3 ,
Calcule
dt
das duas maneiras: usando a Regra da Cadeia e diretamente, após obter a
expressão que deﬁne w como uma função de t.
Exercı́cio 2
∂w
∂w
e
∂x
∂y
usando a Regra da Cadeia e diretamente, após obter a expressão que deﬁne
w como uma função de x e de y.
Seja u = 2xy + x2 , v = y 2 − 2xy e w = e2u−v . Calcule
CEDERJ
128
A Regra da cadeia (segunda parte) – fórmulas grandes e pequenas
MÓDULO 1 – AULA 11
Exercı́cio 3
Sabendo que w = ln 4 + x2 + y 2 , x = 2s − t, y = −s + 3t e z = st,
calcule as derivadas parciais de w em relação a s e a t.
Exercı́cio 4
Use a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais wr e ws , onde
wu − v 2 − uv, u = e3r cos(2s), v = e−3r sen (2s).
2
Exercı́cio 5
Seja f (x, y) uma função diferenciável, deﬁnida em todo o conjunto lR 2 .
∂z
Considere z = f (ln (u2 − v 2 ), arctg (uv)) e expresse as derivadas parciais
∂u
∂z
em termos das derivadas parciais de f .
e
∂v
Exercı́cio 6
Sabendo que f (u, v) é uma
função
diferenciável deﬁnida em todo o
y x
2
. Mostre que
conjunto lR , considere w = f ,
x y
x
∂w
∂w
+ y
= 0.
∂x
∂y
Exercı́cio 7
Seja f (x, y, z) uma função diferenciável, tal que
∇f (1,
√
3,
√
3) = (2, −1, 3).
Sabendo que x = u cos 2v, y = u sen 2v e z = tg 2v, considere
w(u, v) = f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) e calcule ∇w(2, π/6).
Exercı́cio 8
dw
em
Seja w = t3 f (x, y), com x = cos t2 , y = sen t2 . Expresse
dt
termos da função f e das suas derivadas parciais.
Exercı́cio 9
Calcule os valores de a e b tais que a curva α(t) = (a cos t, b sen t) seja
2
2
uma parametrização da curva de nı́vel e36 da função z(x, y) = e9x +4y .
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CEDERJ