1. Calcule a integral indefinida. (a) ∫ y√1+2y 2 dy, u =1+2y (b

Lista de Exercı́cios de Cálculo I para os cursos de Engenharia - Integral
1. Calcule a integral indefinida.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
R p
y 1 + 2y 2 dy, u = 1 + 2y 2
R√
senπθ cos πθ dθ, u = senπθ
R ex
dx, u = 1 + ex
1+ex
R √
x x − 3 dx; , u = x − 3
R
x(2 − x2 )3 dx
(f)
R
cos(8x) dx
(g)
R
x2 e−2x dx
(h)
R
x2 sec2 (x3 ) dx
(i)
R
dx
ex
3
2. Suponha f (x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F (x), tal que
y = F (x) satisfaça a equação
de f (x). A equação
dy
dx
dy
dx
= f (x). As soluções desta equação são as antiderivadas
= f (x) é chamada de equação diferencial. Resolva a equação
diferencial abaixo.
(a)
dy
dx
=
(b)
dy
dt
= sec2 t − sent, y( π4 ) = 1.
x+1
√ ,
x
y(1) = 2.
3. Uma bola é jogada para cima com velocidade inicial a 64 metros por segundo de uma altura
inicial de 80 metros.
(a) Encontre a função posição escrevendo a altura s em função do tempo t.
(b) Quando a bola atinge o chão?
4. Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral
usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário.
Z
2
(a)
0
Z
Z
x
(1 − ) dx
2
1
(c)
√
(x + 2 1 − x2 ) dx
0
2
|2x − 3| dx
(b)
1
5. Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Z
π
2
(a)
Z
3
(b)
senθ dθ
− π2
ln 2
1
5ex dx
4
Z
(c)
1
√
−3
3
√ −5 t−t 2
t
1
Z
√
(e)
dt
0
y2
dy
4 − 3y
1
Z
(2x + 1)4 dx
(d)
0
6. A probabilidade de que uma pessoa se lembre entre a% e b% do material aprendido em um
experimento é
Z
b
Pa,b =
a
15 √
x 1 − x dx
4
onde x representa o percentual lembrado.
(a) Para um indivı́duo escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele se lembre
entre 50% e 75% do material?
(b) Qual é o percentual de lembrança médio? Isto é, para qual valor de b é verdade que a
probabilidade de lembrar entre 0 e b seja 0,5.
7. O volume V em litros de ar nos pulmões durante um ciclo respiratório de cinco segundos é
aproximado pelo modelo
V = 0, 1729t + 0, 1522t2 − 0, 0374t3
onde t é o tempo em segundos. Estime o volume médio do ar nos pulmões durante um ciclo.
8. Calcule a sua área da região entre as curvas:
(a) y = x2 , y =
√
x, x = 41 , x = 1
(b) x = seny, x = 0, y = π4 , y =
3π
4
(c) y = 2 + |x − 1|, y = − 15 x + 7
(d) y = x, y = 4x, y = −x + 2.
(e) y = senx, y = cos 2x, x =
−π
,
2
x=
π
6
9. Ache a reta horizontal y = k que divida a área entre as curvas y = x2 e y = 9 em duas
partes iguais.
10. Calcule a integral usando a integração por partes.
(a)
R
x cos 5x dx
(e)
R
cos3 2x dx
(b)
R
ln(2x + 1) dx
(f)
R
senx cos 2x dx
(c)
R
e2Θ sen3Θ dΘ
(g)
R
sec 2x dx
(d)
Rπ
(h)
Rπ
0
t sent dt
2
6
0
tg2 2xdx
11. O estudo das ondas de dentes de serra em engenharia leva a integrais da forma
Z π
ω
t sen(kωt) dt
−π
ω
onde k é um inteiro e ω é uma constante não nula. Calcule a integral.
12. Calcule a integral
(a)
R√
(b)
R
√
4 − x2 dx
x2 −9
x
(c)
R
√dx
x2 4x2 −9
dx
13. Se y = f (x) for uma função diferenciável no intervalo [a, b], então o comprimento desta curva
sobre [a, b] é definido como
L=
Z bp
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
Calcule o comprimento da curva y = ln x de x = 1 a x = 2.
14. Use frações parciais para achar a integral.
1
(a)
R
(b)
R
3
x2 +x−2
(c)
R
5−x
2x2 +x−1
x2 −1
dx
dx
(d)
R
x2 +12x+12
x3 −4x
(e)
R
2x3 −4x2 −15x+5
x2 −2x−8
dx
dx
dx
15. Se f for uma função densidade de probabilidade de ocorrência de determinado evento, então
a probabilidade de que oZevento irá ocorrer no intervalo fechado [a, b] será denotada por
b
P ([a, b]) e a P ([a, b]) =
f (x) dx. Para determinado tipo de bateria elétrica, a função
a
densidade de probabilidade de
 que horas seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhida
 1 e− 60x , se x ≥ 0
60
ao acaso é dada por f (x) =
Ache a probabilidade de que uma bateria
 0,
se x ≥ 0
escolhida ao acaso:
(a) não seja mais que 50 horas
(b) seja de pelo menos 75 horas.
RESPOSTAS
√
1. (a)
(b)
(1+2y 2 )3
6
√
2
(f)
+c
(sen(πθ)3
3π
−2x3
(g) − e
+c
(h)
(c) ln (1 + ex ) + c
√
2 (x−3)3 (2+x)
(d)
+c
5
8
sen(8x)
8
(e) − x8 + x6 − 3 x4 + 4 x2 + c
6
tg(x3 )
3
+c
+c
+c
(i) − e1x + c
3
2. (a) y (x) =
(b) y (x) =
2√
x (3
3
sin(x)
cos(x)
+ x) −
2
3
√
+ cos (x) −
2
2
3. (a) s(t) = −4, 9t2 + 64t + 80
(b) A bola atinge o chão 5 segundos depois de ser jogada.
4.
5. (a) 0
(b) 5e3 − 10
(c)
−55
3
(d)
121
5
(e)
6. (a) P50,75 ≈ 35, 3%
106
405
(b) b ≈ 58, 6%
7. ≈ 0, 5138 L
8.
9.
10. (a)
cos(5 x)
25
x sin(5 x)
5
+C
(e)
1
6
ln (2 x + 1) (2 x + 1) − x − 12 + C
(f)
1
24
(g)
1
2
(h)
−π
6
(b)
1
2
(c)
−3 2 θ
e
13
+
cos (3 θ) +
2 2θ
e
13
sin (3 θ) + C
(d) π
11.
cos2 (2 x) sen (2 x) + 31 sen (2 x) + C
ln | sec (2 x) + tan (2 x) | + C
√
+
3
2
2π (−1)k
kw2
√
12. (a) 2sen−1 x2 + 21 x 4 − x2 + C
√
(b) 29 sen−1 x3 − 21 x 9 − x2 + C
13. L =
14. (a)
√
1
2
5−
√
(c)
3
2
+C
√
√
√5
2 + ln 2 −1+
(−1+ 2)
ln | x−1
|+C
x+1
(d) 5 ln |x − 2| − ln |x + 2| − 3 ln |x| + C
(b) ln | x−1
|+C
x+2
(c)
4x2 −9
9x
(e) x2 + 32 ln |x − 4| − 21 ln |x + 2| + C
ln |2x − 1| − 2 ln |x + 1| + C
15. (a) aproximadamente 0,565 ou 56,5%
(b) aproximadamente 0,287 ou 28,7%
4