Ficha 12

Análise Matemática III - Turma Especial
Ficha 12
A entregar até 15 de Dezembro
1. Dê um exemplo de uma sucessão de funções fn : [0, 1] → R tal que
fn (x) → 0 para todo o x ∈ [0, 1],
mas
Z
lim
n→∞ 0
1
fn (x) = 1.
Explicite quais são as hipóteses dos teoremas de convergência que não são satisfeitas.
2. Decida se cada uma das seguintes funções é integrável no seu domı́nio, e em caso afirmativo
calcule o integral:
2
2
1
sen x
e−x −y
p
,
,
.
cosh x
x
x2 + y 2
3. Calcule
√
n
(a) limn→∞
Rπ
(b) limn→∞
−(x2 +y 2 )n ,
R2 e
R ∞ −tx2
dx.
t e
(c) limt→0+
x
0 1+x2 ,
R
4. Regra de Leibniz: Seja A ⊂ Rn mensurável, U ⊂ R aberto e f : A × U → R mensurável
tal que
(i) f (x, y) é integrável em A para cada y ∈ U ,
(ii)
∂f
∂y (x, y)
existe para todo o x ∈ A e para todos os y ∈ U ,
(iii) existe g ∈ L(A) tal que
∂f
(x, y) ≤ g(x)
∂y
para x ∈ A e y numa vizinhança de y0 .
Use o Teorema da Convergência Dominada para mostrar que a função F : U → R definida
por
Z
F (y) =
f (x, y)
A
é diferenciável em y0 e
Z
0
F (y0 ) =
A
1
∂f
(x, y0 ).
∂y
Não precisam de entregar:
5. A função Gama é definida pela fórmula
+∞
Z
Γ(x) =
tx−1 e−t dt.
0
(a) Mostre que esta função está bem definida para x > 0.
(b) Mostre que
Γ(x + 1) = xΓ(x)
e que
Γ(1) = 1.
Conclua que
Γ(n + 1) = n!
pelo que a função Gama é uma ”versão contı́nua”do factorial.
√
R
√
2
(c) Use o resultado da aula R e−x dx = π para mostrar que Γ 12 = π.
(d) Mostre que
Z
2
n
e−kxk dVn = π 2 = Vn−1 (S n−1 )
Z
Rn
+∞
2
e−r rn−1 dr,
0
onde
S n−1 = {x ∈ Rn : kxk = 1}.
Conclua que
n
Vn−1 (S
n−1
2π 2
.
)=
Γ n2
(e) Use o Teorema da Divergência para mostrar que
Vn (B n ) =
1
Vn−1 (S n−1 ),
n
onde
B n = {x ∈ Rn : kxk < 1}.
Conclua que
n
π2
.
Vn (B ) =
n
Γ 2 +1
n
(f) Seja
f (t) = x log t − t
o logaritmo da função integranda na expressão para Γ(x + 1). Mostre que para x > 0
esta função tem um máximo para t = x, e que a sua expansão em série de Taylor em
torno deste ponto é
(t − x)2
+ ...
f (t) = x log x − x −
2x
2
Mostre que aproximando f pela sua expansão até à segunda ordem se obtém a fórmula
aproximada
x x Z +∞ u2
x x Z +∞ u2
x x
√
Γ(x + 1) '
e− 2x du '
e− 2x du = 2πx
e
e
e
−x
−∞
válida para x >> 1. Esta fórmula assintótica é a famosa fórmula de Stirling para o
factorial
n n
√
para n >> 1.
n! ' 2πn
e
3