Matemática Prof. Daniel – 28/04/2009 – 15h30 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS Propriedade dos Ângulos Internos β α γ α+β+γ=180o γ β α SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS βe Propriedade dos Ângulos Externos αe γe αe γe βe αe+βe+γe=360o MEDIDA DO ÂNGULO EXTERNO β αe Teorema do Ângulo Externo γ β α γ e αe = β + γ O TRIÂNGULO ISÓSCELES α=β α β (ITA – 1998) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a: a) 23° b) 32° c) 36º d) 40° e) 45° • ABC é um triângulo isósceles de base BC. • Segmentos AD, BD e BC são congruentes. A a) 23° x b) 32° c) 36º D d) 40° 2x e) 45° x B x 2x C (ITA – 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BÂC , mede 40°. ˆ = 15º. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE ˆ = 35°. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DBC ˆ vale Então, o ângulo EDB a) 35° b) 45º c) 55º d) 75º e) 85º • ABC é um triângulo isósceles: BÂC = 40º ˆ = 15° e DBC ˆ = 35° • ACE A a) 35° 40 b) 45° E c) 55º 55 x D d) 75° 35 35 e) 85° B 15 55 C A M B A 40 E 55 35 35 B x D 15 55 C (ITA – 2009) Considere o triângulo ABC de lados a = BC , b = AC e c = AB e ângulos internos α = CÂB , ^ ^ β = A B C e λ = B C A . Sabendo-se que a equação x 2 − 2bx cos α + b 2 − a 2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que a) α = 90° b) β = 60° c) λ = 90º d) o triângulo é retângulo apenas se α = 45° e) o triângulo é retângulo e b é a hipotenusa. A α c b β B x − 2bx cos α + b − a = 0 2 λ a C 2 2 PONTOS NOTÁVEIS EM UM TRIÂNGULO Baricentro Incentro Circuncentro Ortocentro O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio do lado AC. Se^ AÔI = 45º, quanto mede, em graus, o ângulo AC B ? B 45 I A a 60a x 45 O C En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito em el triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC. B bb P D A a 2a a C B a a b b P D a a A 3a a 3a 2a C PROPRIEDADE DA MEDIANA A B H M C PROPRIEDADE DE UMA CEVIANA QUALQUER S ABS BS = S ACS SC A S ABS BS . AH = 2 S ABS AH = BS 2 B H S C S ASC SC. AH = 2 S ASC AH = SC 2 S ABS S ACS = BS SC (IME) Seja P um ponto no interior de um triângulo ABC, dividindo-o em seis triângulos como mostra a figura. Calcule a área do triângulo ABC. A x 84 F B y P 40 35 30 D E 40 BD = 30 DC y + 84 + 40 BD = x + 30 + 35 DC x AE = 35 EC x + y + 84 AE = 40 + 30 + 35 EC 4 y + 124 = 3 x + 65 C x x + y + 84 = 35 105 x = 70 e y = 56 Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo isósceles ABC, sabendo que os segmentos BC, BD, DE, EF e FA são congruentes. A x F x 4x + 4x + x = 180º 2x E 3x 9x = 180º 2x D x = 20º 3x B x 4x 4x C Given as isoscele triangle ABC as shown with angles of 20, 80 and 80. Length AM is the same as BC. What is the measure of angle ACM? A A 20° 20° M M 40° 20° 80° 80° B C B C ˆ =? ACM A A 20° 20° M M 40° 40° 20° 20° 40° P 60° 80° N 60° 40° B 80° C B 80° 100 60 N 60° 20° C Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e o segmento AE é perpendicular ao segmento CF. Determine a ^ medida do ângulo B F G C D H E G 45º A x B F Calcule a área do triângulo ABC abaixo, dados BD = 4, DE = 2, EC = 6, BF = FC = 3. C S BCE 6 3 F 3 B 62 ⋅ 3 = =9 3 4 2 4 E S ABC = 2 ⋅ S BCE = 18 3 D A Na figura AB = AC. Determine o valor de x. A Triângulo Russo 20° D x E B 60° 50° C ABC é um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AB, temos dois pontos, M e P, tais que AP > AM e sobre AC outros dois pontos N e Q, tais que AQ > AN sabendo-se que AM = MN = NP = PQ = QB = BC, pede-se calcular o ângulo BAC. 180º Resposta : BÂC = 11 No trapézio ABCD, o lado AD é perpendicular às bases AB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede 20 e o lado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede 45 e seja M o ponto médio de AD. Calcule a medida do segmento PM. 20 C D P 65 x M 45 B 45 A C α 180º −α 20 D 65² = 25² + y² 20 30 P 65 x y M 45 30 B α 25 A 45 y = 60 Na figura abaixo, mostra-se um triângulo equilátero dividido por três retas e sete regiões. Em seis das regiões é indicada a área correspondente. Achar a área da sétima região, ou seja, área do triângulo menor central. 4 20 20 4 4 20 A 4 D y 20 20 G 20 – y y 20 – y B 4 BE = y CE 4 x H y y+4 AG = 20 − y HG I 24 AG = x + 20 − y HG F 4 20 – y 20 C E 4 28 = y 44 + x 28 BE = 44 + x CE y+4 24 = 20 − y x + 20 − y x =12