PROFESSOR AZEVEDO NÚMEROS COMPLEXOS 01

NÚMEROS COMPLEXOS
01 - (UEM PR) Considerando o polinômio
de variável complexa p(z) = z12 − 1 , assinale
o que for correto.
01.Pode-se
afirmar
que
em que r = z . Considerando
assinale as alternativas corretas.
 2π 
 2π 
z = cos  + i sen 

12
 
 12 
02.Se
polinômio.
02.Pode-se
é uma raiz para esse
que,
se
é uma raiz para esse
polinômio, então, para todo natural k, z é
também raiz desse polinômio.
04.Pode-se
afirmar
que,
se
 2kπ 
 2 kπ 
z k = cos
 + i sen 
,
 12 
 12 
k ∈ , é uma raiz
para esse polinômio, então o polinômio tem
infinitas raízes.
08.As raízes desse polinômio estão sobre a
circunferência de centro na origem e raio1,
dada por z = 1 .
)(
)
16.Como
p( z ) = z 6 − 1 z 6 + 1 ,
considere
6
apenas as raízes de q (z) = z − 1 . Essas raízes
determinam um polígono inscrito na
circunferência z = 1 , cuja área é 3 3 u.a.
2
02 - (UEM PR) Considerando z1e z2 dois
números complexos distintos entre si, cujas
representações geométricas em um sistema
ortogonal de coordenadas são simétricas em
relação ao eixo das abscissas, marque a(s)
alternativa(s) correta(s).
01. Se z1 =
2
2
+
i,
2
2
então, z 2 = −
03 - (UEM PR) Denomina-se argumento
de um número complexo não nulo z = x + yi
θ
tal que cos θ =
x
r
1
2
então z 0 = +
π
3
de
um
número
e o módulo de z0 é 1,
3
i
2
π
2
08. Se z = x + yi é um número complexo
qualquer não nulo, então podemos escrevê–
lo como z = z (cos θ + i senθ) , em que θ é um
argumento z.
16. Se o módulo de um número complexo
z0 é 5, então z 0 = 5 + 5i
04 - (UEM PR) Considere os números
complexos z1 = 6 + 23i e z 2 = 12 + 29i . No
plano complexo (ou plano de ArgandGauss), a curva definida pela equação
| z − z1 |=| z − z 2 | intersecta o eixo y (ou eixo
imaginário) em um ponto Q. A ordenada de
Q é…
05 - (UEM PR) Seja S a região hachurada
da figura a seguir, onde a1 e a2 são arcos
das curvas C1 e C2 dadas por | z | = 1 e | z |
= 3, respectivamente, com z ∈ C.
2
2
+
i
2
2
02. z12 = z 22 .
04. z1 + z2 = 0.
08. Se z1 é a raiz de um polinômio com
coeficientes reais, então, z2 também é raiz
deste polinômio.
16. Se O é a origem do sistema ortogonal
de coordenadas, então, os pontos que
representam O, z1e z2, no sistema ortogonal,
são pontos colineares.
um ângulo
argumento
π
6
04. Se z = i, então o argumento de z é
k
(
o
complexo z0 é
afirmar
 2π 
 2π 
z = cos  + i sen 

12
 
 12 
01. O argumento de z = 3 + i é
0 ≤ θ < 2π ,
e senθ =
y
r
Nessas
condições,
assinale
a(s)
alternativa(s) correta(s).
01. As curvas C1 e C2 são circunferências
de centro na origem e raios 1 e 3,
respectivamente.
02. A área da região S é 2π.
04. A curva C1 pode ser representada pelo
conjunto A1={ (x,y) ∈ R2; x2+y2 = 1}.
08. A curva C2 pode ser representada pelo
conjunto A2={ (x,y) ∈ R2; x2+y2 = 3}.
16. Se z1 ∈ C1, então z1 é da forma 1+i.
,
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06 - (UEM PR) Com relação aos números
complexos, assinale o que for correto.
01. (2 + 2 i)6 é um número imaginário puro.
02. z =
2
2
i103
1+ i
é um número cujo módulo é
.
04. Se
z +2i
=3,
i z +1
então z =
9+7i
10
.
08. O ponto, no plano complexo,
correspondente ao número complexo
z=
16.
i103
1+ i
está localizado no 4.º quadrante.
5π
5π 

8 cos
+ i sen

6
6 

trigonométrica
z = - 4 3 − 4i .
do
é
a
número
forma
complexo
07 - (UEM PR) Considere um número
complexo z = x + yi , tal que o número
complexo
w=
z
z
exista,
sendo
o
z
conjugado de z. Assinale o que for correto.
01.
w=
( x 2 + y 2 ) + 2 xyi
x 2 − y2
z 2 = 2(cos
7π
7π
+ i sen )
6
6
π
π
+ i sen )
3
3
e
as


6
  

3
 
π
π
π
π
01.  cos  + i.sen   cos  + i.sen   = i .

6
3
02. Se z ∈ C é raiz de um polinômio com
coeficientes reais, então z é raiz do mesmo
polinômio.
04.
1
i
=
para todo a ∈ R em que a ≠ 0 .
a.i a
z − z ∈ R para todo z ∈ C .
08.
16. i 2 + i 4 + i 6 + i 8 + i10 = i 2+4+6+8+10 .
10 - (UEM PR) Com relação aos números
complexos,
assinale as
alternativas
corretas.
2 kπ 
 2kπ 
 + isen 

 n 
 n 
08 - (UEM PR) Considere os números
z1 = 2(cos
09 - (UEM PR) Dado um número
complexo z = a + bi , indicamos por z seu
conjugado. Desse modo, assinale o que for
correto.
01. Para todo k ∈ Z , z = cos
, em que y ≠ x
02.
Se x = y , então w será um número
imaginário puro.
04.
Se x = –2 e y = –1, então w terá
uma representação geométrica no 1o
quadrante.
08.
A condição sob a qual w tem a
parte real positiva pode ser expressa por
x > ±y .
16.
w será um número real, apenas se z
for um número real.
complexos
08. z1 é solução da equação z 2 − 2z + 4 = 0 .
16. a medida do segmento que une
z1 e z 2 é (1 + 3 )
unidades
de
comprimento.
e
suas
representações no plano complexo xOy.
Considere ainda que, se z é um número
complexo, então z representa o seu
conjugado.
Sobre o exposto, é correto afirmar que
01. z1 = z 2 .
02. (z1 ) 7 = 32(z 2 ) 2 .
04. z1 e z 2 pertencem à circunferência de
xn −1 = 0 ,
é solução de
n∈N*.
02.
04.
para qualquer
i 2006 + i 2008
= i 2007 .
2
π
π


i (cos θ + isenθ) = cos θ +  + isen  θ +  ,
2
2


em que θ ∈ R .
08. Se z
=
z 2 + z 2 = 2(a + b)(a − b) ,
a + bi, então
em que a,b ∈ R e z é
o conjugado de z.
16. Se z = 1 − i , então
1 z
=
z 2
, em que z é o
conjugado de z.
GABARITO:
1) Gab: 27
2) Gab: 08
3) Gab: 16
4) Gab: 35
5) Gab: 07
6) Gab: 07
7) Gab: 06
8) Gab: 11
9) Gab: 19
10) Gab: 29
equação x 2 + y 2 = 2 .
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