Interpolacao Polinomial Lagrange 2019 II

CÁLCULO NUMÉRICO
AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAÇÃO
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
INTRODUÇÃO
A interpolação é outra das técnicas bem antigas e básicas do cálculo numérico. Muitas funções são conhecidas
apenas em um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo [a, b], como, por exemplo, a tabela abaixo que
relaciona calor específico da água e temperatura. Conhecemos os pontos tabelados, mas não conhecemos a função
que gerou esses dados.
TABELA 1 – Temperatura e calor específico da água
A partir desses dados suponhamos que se queira calcular:
(a) o calor específico da água a 32.5° C.
(b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837.
Caso esses dados tenham sido obtidos em um experimento de laboratório, uma forma de responder as perguntas
acima é voltar ao laboratório e fazer o experimento para os valores desejados.
Mas a forma que nos interessa aqui é a interpolação, que tem o objetivo de nos ajudar na resolução deste tipo de
problema sem que precisemos voltar ao laboratório. Em casos em que possuímos um conjunto de valores obtidos
através de alguns experimentos, como é o exemplo anterior, podemos construir uma função através da
interpolação, que aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, então, a continuidade
desejada, ou seja, de posse da função de interpolação, podemos calcular o valor da função para qualquer valor de
entrada (x).
Exemplo 2 - A tabela abaixo representa o número de habitantes da cidade de Belo Horizonte nos censos de 1950 a
1980.
TABELA 2 – Número de habitantes de Belo Horizonte
1950
1960
1970
1980
Ano
Nº de habitantes
352.724
683.908
1.235.030
1.814.990
Como saber o nº de habitantes de Belo Horizonte no ano de 1975 se a tabela não fornece essa informação, ou
como saber em que ano Belo horizonte atingirá uma população de 2.500.000 habitantes?
A interpolação se faz necessária em diversas situações, como por exemplo:
1- Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função por um conjunto de pontos (não dispondo
de sua forma analítica) e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado (por exemplo, o
calor específico da água a 32,5 ºC no Exemplo 1 e o número de habitantes de BH em 1975, no Exemplo 2).
2- A aproximação de funções complicadas por funções mais simples. Por exemplo, quando a função em
estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo
impossíveis) de serem realizadas. Neste caso, podemos procurar uma outra função que seja uma
aproximação da função dada e cujo manuseio seja bem mais simples.
Suponha que tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que seja possível avaliá-la de
forma eficiente. Podemos, então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolálos com uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular
novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do
domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o
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2
erro.
As funções que substituem as funções dadas podem ser de tipos variados, tais como: polinomiais, trigonométricas,
exponenciais e logarítmicas.
Exemplo 3 - Vamos supor que temos um conjunto de dados (xi, f(xi)) tal como na tabela abaixo
TABELA 3
1.5
3.0
xi
0
f(xi)
0.001
0.016
0.028
4.5
6.0
0.046
0.057
Nosso problema é estimar o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como por exemplo,
determinar o valor de f(x) para x = 2.0.
A interpolação não encontrará de forma exata a função f(x). Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa
função f(x) por uma outra função P(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça
algumas propriedades. A função P(x) é então usada em substituição à função f(x).
CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO
DEFINIÇÃO 1 - Considere a tabela abaixo que fornecem os pontos (xi, f(xi)) coletados.
xi
f(xi)
x0
f ( x0 )
Consideremos (n + 1) pontos distintos
x1
f ( x1 )
x2
f ( x2 )
...
...
xn
f ( xn )
 x0 , f ( x0 )  ,  x1 , f ( x1 )  ,  x2 , f ( x2 )  ,......,  xn , f ( xn )  ,
acima. Deseja-se determinar o valor de f (x) , sendo
dados pela tabela
x( x0 , xn ) , com xi  x, i  0,1, 2,, n . Neste caso,
f (x) será solucionado por P(x) , onde P(x) será o polinômio que interpola os pontos tabelados.
.
A forma de interpolação de f(x) que veremos a seguir consiste em obter uma determinada função P(x) tal que:
P(x0) = f(x0)
P(x1) = f(x1)
........
P(xn) = f(xn)
Ou seja, nos pontos tabelados, é necessário que a função f(x) e o polinômio P(x) sejam iguais, para do xi, i = 0, 1, .
. . , n.
OBSERVAÇÕES
(a) x( x0 , xn ) , diz que x tem que está entre os valores da tabela, ou seja, x está entre x0 e x n .
(b) Caso x  ( x0 , xn ) faz-se uma extrapolação. Será estudado mais adiante em aproximações de curvas pelo
Método dos Mínimos Quadrados.
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3
Interpretação Geométrica
.
Observe pelo gráfico que o polinômio interpolador P(x) é uma aproximação da função f(x), onde os (n+1) pontos
distintos  x0 , f ( x0 )  ,  x1 , f ( x1 )  ,  x2 , f ( x2 )  ,......,  xn , f ( xn )  são chamados nós da interpolação. Os nós são os
pontos onde P( xi )  f ( xi ),  i  0,1, 2, 3, ...., n .
Além disso, conhecendo ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), .... , ( xn , y n ) de uma função desconhecida poderemos calcular o valor
numérico intermediário da função num ponto não tabelado com certo grau de erro, dado por:
Erro = f ( x)  P( x)  f ( x)
Ao buscar o polinômio P(x) que interpola f(x) nos pontos (xi, f(xi)), surgem três perguntas, que serão respondidas
pelo Teorema 1 abaixo.
1. Sempre vai existir uma polinômio que interpola f(x)?
2. O polinômio P(x) que interpola f(x) é único?
3. Qual o grau desse polinômio?
TEOREMA 1- Existe um único polinômio Pn ( x) de grau menor ou igual a n tal que Pn ( xk )  f ( xk ), para k = 0,
1, 2 . . , n, desde que x j  xk , j  k .
Esse teorema afirma a existência do polinômio interpolador e sua unicidade. Além disso ele informa o grau do
polinômio:
 Se temos (n+1) pontos distintos  x0 , f ( x0 )  ,  x1 , f ( x1 )  ,  x2 , f ( x2 )  ,......,  xn , f ( xn )  o grau do polinômio
será de grau n. Por exemplo, se temos 5 pontos distintos, o grau será 4, um a menos do que a quantidade de
pontos.
FORMAS DE SE OBTER O POLINÔMIO INTERPOLADOR
Existem várias formas de se obter o polinômio interpolador P(x). Estudaremos três metodologias para encontrar os
polinômios que sejam aproximações de uma função f(x).
1. Interpolação polinomial por sistemas lineares.
2. Método de Lagrange.
3. Método de Newton.
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1. POLINÔMIO INTERPOLADOR POR SISTEMAS LINEARES
Utilizando o método por sistemas lineares, o polinômio interpolador de grau n é da forma
Pn ( x)  an x n  an 1 x n 1 
 a2 x 2  a1 x  a0
Obter o polinômio Pn ( x) é determinar os valores de a0 , a1 , a2 ,, an . Para isso, a condição de interpolação deve
ser satisfeita, ou seja,
f ( xk )  Pn ( xk ) ,
a0  a1 x0 
a0  a1 x1 

i=0,...,n
a2 x02 
a2 x12 
 an x0n
 an x1n
a0  a1 xn  a2 xn2 
 an xnn




f ( x0 )  Pn ( x0 )
f ( x1 )  Pn ( x1 )
f ( xn )  Pn ( xn )
Substituímos x0 , x1 , x2 ,, xn no polinômio, um a um, e chegamos em um sistema linear, onde as incógnitas a
serem encontradas são os valores de a0 , a1 , a2 ,, an .
Como estudado em Álgebra linear, o sistema acima terá solução se a matriz dos coeficientes tiver determinante
não nulo.
1 x0 x02  x0n 


1 x1 x12  x1n 
A 

  

1 x x 2  x n 
n
n
n 

O sistema pode ser resolvido pelo método de Eliminação de Gauss.
 Roteiro para encontrar o polinômio interpolador por resolução de sistemas lineares
1º passo – descobrir o grau do polinômio a ser encontrado (olhar Teorema 1);
2º passo - calcular, através de resolução de sistemas lineares, as constantes a0 , a1 , a2 ,, an do polinômio p(x) ;
3º passo - Montar o polinômio p(x) (isto é, substituir as constantes encontradas no 3º passo em p(x)) ;
4º passo - Calcular o valor do polinômio no valor de x pedido.
Exemplo 1 – Encontrar o polinômio que interpola os pontos ( x, f ( x)) da tabela.
i
xi
f ( xi )
0
1
2
-1
0
2
f(-1) = 4
f(0) = 1
f(2) = -1
1º PASSO - grau do polinômio - Temos 3 pontos conhecidos: (-1, 4), (0,1) e (2,-1). Logo, pelo Teorema 1, o grau
do polinômio é 2. Assim, o polinômio é da forma
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p2 ( x)  a2 x 2  a1 x  a0
2º PASSO - Temos que encontrar os valores de a0 , a1 e a 2 .
Pelo teorema 1, pn ( xk )  f ( xk ) , ou seja,
 p 2 (1)  a 2 (1) 2  a1 (1)  a 0  a 2  a1  a 0  4

p 2 (0)  a 2 (0) 2  a1 (0)  a 0  a 0  1

 p (1)  a (2) 2  a (2)  a  4a  2a  a   1
2
1
0
2
1
0
 2
Agora, basta resolver o sistema e encontrar os valores de a0 , a1 e a 2 .
Pela segunda equação, temos a0 1. Substituindo na primeira e na segunda equação temos que:
a2  a1  1 4  a2  3  a1

4a2  2a1 1  1

Substituindo a 2  3  a1 na segunda equação, obtemos a1  
7
7
. Substituindo a1  
em a 2  3  a1 , temos
3
3
2
a2  .
3
3º PASSO – Montar o polinômio.
O polinômio que interpola os pontos da tabela é o polinômio
p2 ( x) 
2 2 7
x  x 1
3
3
4º PASSO - Calcular o valor do polinômio no valor de x pedido.
Observe que na tabela, não temos o valor x = 1. Se quisermos saber o valor de f(x) neste valor, basta substituir no
polinômio encontrado, pois pelo teorema 1, P(x) = f(x). Assim,
f(1) = P2 (1) 
2 2 7
2
7
1
(1)  (1)  1 

 1  .
3
3
3
3
3
Logo, f(1) = - 1/3
OBSERVAÇÃO – Este exemplo foi de fácil resolução devido ao fato de termos obtido o valor de a 0 logo no
início. Mas nem sempre isso acontece. Neste caso temos que resolver o sistema usando o MÉTODO DE
ELIMINAÇÃO DE GAUSS, ou outro método que achar mais fácil.
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2. MÉTODO DE LAGRANGE
Considere um conjunto de (n + 1) pontos ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), .... , ( xn , y n ) , onde yi  f ( xi ) , i = 0, ...., n. No Método
de Lagrange, o polinômio interpolador Pn ( x) de grau menor ou igual a n tal que Pn ( xk )  f ( xk ), k = 0, ..., n. é
definido por:
Pn ( x)  L0 ( x)  f ( x0 )  L1 ( x)  f ( x1 )    Ln ( x)  f ( xn )
onde os termos Lk ( x) são polinômios de grau n, tais que Pn ( xi )  f ( xi ) , o que mostra que o polinômio
interpolador Pn ( x) passa exatamente sobre os pontos (xi, f(xi)), i = 0, ...., n.
Os polinômios Lk ( x) são definidos da seguinte forma:
Lk ( x) 
 x  x0   x  x1   x  x2 



 xk  x0   xk  x1   xk  x2 

 x  xk 1   x  xk 1 


 xk  xk 1   xk  xk 1 

 x  xn 
 xk  xn 
onde
Lk  x k   1 e
Lk  xi   0 se, i  k
Observe que o Polinômio Lk ( xi ) não possui o termo
Se i = k, então,
 x  xi 
quando i = k, pois o denominador vai zerar.
 xk  xi 
 x  xk   x  xk 
, o que não existe.

0
 xk  xk 
De maneira compacta, podemos escrever o polinômio interpolador na Forma de Lagrange, como:
x  x
j

 xj

n
pn  x    Li  x   f  xi 
n
Li  x  
e
i 0
j 0
j i
x
n
j 0
j i
i
EXEMPLO 1 – Determinar o polinômio interpolador pelo método de Lagrange.
i
xi
f ( xi )
0
1
2
4
f(0) = 3.1
f(4) = 5.6
-SoluçãoTemos 2 pontos conhecidos: (2, 3.1) e (4, 5.6). Logo, pelo Teorema 1, o polinômio tem grau 1, ou seja, P(x) é da
forma P1 ( x)  L0 ( x)  f ( x0 )  L1 ( x)  f ( x1 ) .
Os valores de f ( x0 ) e f ( x1 ) estão na tabela. Temos que encontrar apenas L0 ( x ) e L1 ( x ) .
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 x  x1 

L0 ( x)  
 x0  x1 
e
 x  x0 

L1 ( x)  
 x1  x0 
Assim,
 x  x1 
 x  x0 
P1  x   
  f  x0   
  f  x1 
 x0  x1 
 x1  x0 
 x4
 x2
P1  x   
  3.1  
  5.6  1.55   x  4   2.8   x  2 
24
42
P1  x   1.25  x  0.6
 xx 
0

Observe que o termo 
x

x
 0
0 
não aparece em L0 ( x ) , pois neste caso o denominador é zero. O mesmo
 x  x1 
 não aparece.
x

x
 1
1 
acontece em L1 ( x ) , onde o termo 
EXEMPLO 2 - Determinar o polinômio interpolador pelo método de Lagrange.
i
xi
f ( xi )
0
1
2
-1
0
2
f(-1) = 4
f(0) = 1
f(2) = -1
-SoluçãoTemos 3 pontos conhecidos: (-1, 4), (0,1) e (2,-1). Pelo Teorema 1, o grau do polinômio é 2.Assim, o polinômio é
da forma
P2 ( x)  L0 ( x)  f ( x0 )  L1 ( x)  f ( x1 )  L2 ( x). f ( x2 ) .
Temos que encontrar L0 ( x ) , L1 ( x ) e L2 ( x) . Os termos f ( x0 ) , f ( x1 ) e f ( x 2 ) são dados pela tabela.
 x  x1   x  x2 
x0   x2 
x2  2x
.
  


L0 ( x)  
.



3
  1  0    1 2 
 x0  x1   x0  x2 
 x  x0   x  x 2   x 1   x  2 
x2  x  2
.
  
 
L1 ( x)  
.
2
 x1  x0   x1  x2   0  1   0  2 
 x  x0   x  x1   x  1   x  0 
x2  x
.
  
.
 
L2 ( x)  
x

x
x

x
2

1
2

0
6



 2
0  2
1 
Assim,
 x  x1  x  x2
P2  x   

 x0  x1  x0  x2

 x  x0   x  x2
 . f  x0   


 x1  x0   x1  x2
 x  x0   x  x1 


 . f  x1   
 . f  x2 

 x2  x0   x2  x1 
Substituindo os pontos x0 , x1 e x2 , além de f ( x0 ) , f ( x1 ) e f ( x 2 ) , temos:
P2  x  
x2  2 x
x2  x  2
x2  x
.(4) 
.(1) 
.(1)
3
2
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Resolvendo as equações, encontramos o mesmo polinômio do exemplo utilizando sistemas lineares.
P2 ( x) 
2 2 7
x  x 1
3
3
Conhecendo o polinômio interpolador, podemos calcular o valor da função f(x) para qualquer valor entre -1 e 2
que não esteja explícito na tabela acima. Por exemplo, qual o valor de f(x) para x = 1?
Por definição de interpolação, sabemos que P( x)  f ( x) . Assim, calcular f(1) é o mesmo que calcular P(1).
Logo,
2
7
2
f(1)  P(1)  .(1) 2  .(1)  1  
3
3
3

f (1)  
2
3
EXERCÍCIOS
1.Qual a relação entre o número de pontos usados na interpolação e o grau do polinômio interpolador que pode ser
calculado?
2. Se você tiver um conjunto de 5 dados ( x0 , f ( x0 )) , ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) , ( x3 , f ( x3 )) , ( x4 , f ( x4 )) e deseja
fazer uma interpolação linear, isto é, encontrar uma reta que lhe permita obter o valor de f ( x )
x1  x2 .
(a) Qual seria o grau do polinômio que você calcularia, isto é, quantos pontos você utilizaria?
(b) E quais pontos da tabela você usaria? (ver Definição 1)
3- Ache o polinômio interpolador para os seguintes pontos, usando interpolação polinomial e o Método de
Lagrange:
X
0
1
2
f(x)
2
4
24
X
f(x)
0
2
1
4
3
15
X
f(x)
0
2
1
-1
2
2
4. A seguinte tabela informa o número de carros que passam por um determinado pedágio em um determinado dia:
Horário
Número (em mil)
10:00
2.69
10:30
1.64
11:00
1.09
11:30
1.04
12:00
1.49
12:30
2.44
(a) Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10 h, usando Interpolação polinomial por
sistemas lineares e a forma de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador p(x) que estima o número de
carros em função do tempo. Use uma reta como função interpoladora (ou seja, pegue apenas dois pontos).
OBS: Transforme minutos para horas.
5. Na fabricação de determinadas cerâmicas é muito importante saber as condições de temperatura em que o
produto foi assado no forno. Como não é possível medir a temperatura do forno a todo instante, ela é medida em
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intervalos periódicos de tempo e esses dados são interpolados para o instante em que cada peça foi “queimada” a
fim de se conhecer a temperatura do forno nesse instante. Em um dia de funcionamento do forno, os seguintes
dados foram coletados:
Horário
7:00
10:00
13:00
16:00
19:00
21:00
Temperatura (102 oC)
2.32
2.51
2.63
2.55
2.41
2.28
(a) Estime a temperatura do forno ás 14:30 usando a Forma de Lagrange para apenas 3 pontos.
(b) A que horas se espera uma temperatura de 2.40?
OBS: Transforme minutos para horas.
6. Um automóvel percorreu 145 Km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto 120 minutos. A
tabela abaixo dá o tempo gasto e a distância percorrida em função do tempo, em alguns pontos entre as duas
cidades.
Tempo (minutos)
0
10
30
60
90
120
Distância (Km)
0
8
27
58
100
145
Determinar:
(a) Qual foi aproximadamente a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 25 minutos, considerando
apenas 3 pontos da tabela? Utilizar interpolação por sistemas lineares.
(b) Quantos minutos o automóvel gastou para chegar aos 35 Km da distância inicial do caminho?
7. Num experimento de laboratório, uma reação química liberou calor de acordo com as medições mostradas na
tabela abaixo:
8:00
9:00
9:30
10:00
Horas
0
8
27
58
°C
(a) Calcule a provável temperatura ocorrida às 9:45 h (transformar minutos em hora), utilizando apenas 3
pontos da tabela. Utilizar interpolação por sistemas lineares.
8. Usando os dados da tabela
(a) Calcular arctg(1,5) usando interpolação linear (polinômio de grau 1).
(b) Calcular arctg(1,2)
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(a) Utilizando um polinômio de grau 2, calcule f(2,5).
(b) Para que diâmetro a resistência é de 4?
12- Dada a tabela
(a) Calcule o polinômio interpolador por sistemas lineares, utilizando apenas 3 pontos e calcule f(2,5).
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13- Sabendo-se que os pontos a seguir são da função y  e3x , pede-se estimar o valor de y para x = 0.65, utilizando
interpolação de Lagrange.
14 - Uma barra de metal encontra-se presa em duas paredes separadas pela distância de 12m. A 5m da parede A
(ver figura), um corpo apoiado sobre a barra faz com que esta toque no solo. Os pontos de engate nas duas paredes
estão a 8m (parede A) e 3m (parede B) do solo, conforme mostra a figura a seguir. Usando interpolação
polinomial por Lagrange, pede-se estimar:
(a) a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2m da parede A.
15- A integral elíptica completa é definida por:
No cálculo, integrais elípticas originalmente surgiram em conexão com o problema do comprimento do arco de
uma elipse e foram inicialmente estudadas por Giulio Carlo Fagnano dei Toschi e Leonhard Euler. Hoje, é
amplamente utilizada na Física.
Em geral, integrais elípticas não podem ser expressas em termos de funções elementares (exceto em alguns casos),
o que impossibilita a resolução por métodos tradicionais de integração do Cálculo I. Neste caso é necessário
recorrer aos métodos numéricos e que geralmente já possuem valores tabelados. Assim, podemos aproximar a
função do integrando por um polinômio e resolver por interpolação.
Suponha que são conhecidos 3 valores dessa integral, dados por:
K(1) = 1.5708, K(2) = 1.5719 e K(3) = 1.5739.
Determinar:
(A) O polinômio interpolador pelo método de Lagrange, que interpola os pontos dados acima.
(B) Calcular K(2.5).
Resposta: (A) P2 ( x)  0,00045x  0,00025x 1,5706
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ENGENHARIA– CÁLCULO NUMÉRICO - 2019/2
(B) K(2,5) = 1,5728
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