interpolação e aproximação de funções - udesc

CÁLCULO NUMÉRICO
NOTAS DE AULA
Julia Grasiela Busarello Wolff
Departamento de Matemática – DMAT
CCT – UDESC
2011/II
INTERPOLAÇÃO E APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
1
FÓRMULA DE LAGRANGE PARA PONTOS EQUIDISTANTES
Considere uma f (x) definida em x0 , x1 , . . . , xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b], tais que xi+1 −
xi = h, com i = 0, . . . , n − 1 pontos equidistantes. É possível fazer uma mudança de variável conveniente e obter
o polinômio interpolador usando a forma de Lagrange de maneira simples. Considera-se a seguinte mudança de
variável:
x − x0
,
h
(1)
x = x0 + uh.
(2)
u=
ou, ainda,
Onde: h é o espaçamento entre os pontos. Com isso, pode-se escrever o polinômio interpolador da fórmula de
Lagrange para pontos equidistantes, na variável u, da seguinte forma:
P (u) =
n
X
yk Lk (u).
(3)
k=0
1.1
EXEMPLO:
Dada a função f (x) = cos(x), tabelada nos pontos da Tabela a seguir:
x
f (x)
0, 2
0, 9801
0, 4
0, 9211
0, 6
.
0, 8253
Encontrar f (0, 3).
2
INTERPOLAÇÃO INVERSA
Denomina-se de interpolação inversa quando, conhecidos os valores de uma função f (x) definida em (n +
1) pontos distintos, necessita-se calcular o valor numérico da variável x correspondente a um valor y = f (x),
conhecido inicialmente.
2.1
EXEMPLO:
Usando interpolação inversa, encontre o valor de x tal que f (x) = 3, 63, da função dada pelos pontos da Tabela
seguinte:
x
f (x)
0
1, 31
1
3, 51
Solução: Fazer a tabela da função inversa.
1
2
.
3, 78
2.2
EXERCÍCIOS
1) Dada a Tabela a seguir, encontrar x tal que f (x) = 2:
x
f (x)
0, 5
1, 65
0, 6
1, 82
0, 7
2, 01
0, 8
2, 23
0, 9
2, 46
1, 0
.
2, 72
Solução: Usar interpolação linear entre os pontos 0, 6 e 0, 7.
2) Dada a Tabela
x
ex
0, 0
1
0, 1
1, 1052
0, 2
1, 2214
0, 3
1, 3499
0, 4
1, 4918
0, 5
.
1, 6487
a) obter x tal que ex = 1, 3165, usando um processo de interpolação quadrática.
Solução: Usar Newton para obter p2 (y) que interpola f −1 (y).
3
FÓRMULA INTERPOLATÓRIA DE NEWTON-GREGORY
É construída baseada nas diferenças finitas para pontos equidistantes.
3.1
DIFERENÇAS FINITAS
Para p3 ; tem-se que:
ordem zero: ∆0 f (x0 ) = f (x0 ); ∆0 f (x1 ) = f (x1 ) ; ∆2 f (x2 ) = f (x2 ); com x ∈ [a, b].
ordem um: ∆1 f (x0 ) = ∆0 f (x1 ) − ∆0 f (x0 ); ∆1 f (x1 ) = ∆0 f (x2 ) − ∆0 f (x1 ).
ordem dois: ∆2 f (x0 ) = ∆1 f (x1 ) − ∆1 f (x0 ).
A Tabela de diferenças finitas é escrita na seguinte forma:
∆0 f
∆1 f
∆2 f
∆3 f
x0
x1
x2
x3
A fórmula interpolatória de Newton-Gregory é dada por:
Px = ∆0 f (x0 )+(x−x0 )·
∆1 f (x0 )
∆2 f (x0 )
∆n f (x0 )
+(x−x0 )·(x−x1 )·
+. . .+(x−x0 )·(x−x1 ) . . . (x−xn−1 )·
.
1
2
1!h
2!h
n!hn
(4)
2
3.2
1o EXEMPLO:
Considere uma função f (x) tabelada nos pontos a seguir:
x
f (x)
3.3
0, 1
5
0, 2
13
0, 3
.
−4
2o EXEMPLO:
Construa a tabela de diferenças finitas para os pontos a seguir:
x
f (x)
3.4
0, 5
5, 8
0, 7
7, 9
0, 9
10, 1
1, 1
.
12, 3
3o EXEMPLO:
Dada a função f (x) =
1
construa a tabela de diferenças finitas para os pontos a seguir:
(x + 1)
x
0
f (x)
1
1
1
2
2
2 .
3
Encontre f (1, 3).
3.5
4o EXEMPLO:
Considere a f (x) tabelada a seguir:
x
f (x)
0, 1
1, 01
0, 2
1, 05
0, 3
1, 12
0, 4
.
1, 23
Determine o polinômio interpolador de Newton-Gregory na variável u e avalie f (0, 35).
Solução: Usar a fórmula u =
(x − x0 )
.
h
3