PROF. GILBERTO SANTOS JR
MATRIZES
1 . INTRODUÇÃO
Muitas vezes, para designar com clareza
certas situações é necessário um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos
em linhas e colunas, formando o que se chama
matriz.
Observe por exemplo a seguinte situação:
As vendas de uma editora em relação
aos livros de Matemática, Física e Química, no
primeiro trimestre de um ano, podem ser expressas pela tabela a seguir.
Janeiro
Fevereiro
Março
Matemática
20000
32000
45000
Física
15000
18000
25000
Química
16000
17000
23000
Se quisermos saber:
Quantos livros de Matemática foram vendidos
em Fevereiro, basta olharmos o número que
está na primeira linha e na segunda coluna;
Quantos livros de Física foram vendidos em
Janeiro, basta olharmos o número que está
na segunda linha e na primeira coluna;
Quantos livros de Química foram vendidos
nos 3 meses, basta somarmos os números
da terceira linha. E assim por diante.
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três
por três) e podemos representá-la por:
20000
15000
16000
32000 45000
18000 25000
20000
ou 15000
16000
17000 23000
32000 45000
18000 25000
17000 23000
2 . DEFINIÇÃO
Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n)
qualquer tabela retangular formada por m
linhas e n colunas, sendo m e n números
inteiro maior que zero.
Dizemos que a matriz é do tipo m × n
ou de ordem m × n.
Exemplo:
3 4 2
A2 × 3 =
é uma matriz de ordem dois
5 1 0
por três.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Os
estudantes de um colégio responderam
a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática
ou Português?” Cada estudante escolheu uma
única matéria. As respostas foram computadas
e alguns dados colocados no quadro:
Sexo
masculino
Feminino
137
98
105
117
Matéria
Matemática
Português
a) Quantos estudantes escolheram a Matemática? R: 235 alunos
b) Quantos estudantes do sexo feminino responderam à pergunta? R: 215 alunos
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam
à pergunta? R: 457 alunos
2) Observe a matriz seguinte e responda:
10 0 1 5
1 3 7 9
17 6 12 2
4 11 8 25
a) De que tipo ou ordem é a matriz dada?
R: 4 por 4
b) Quais são os números da 1ª linha?
R: 10, 0, 1 e 5
c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na
2ª coluna? R: 3
e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5
f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11
g) Qual o resultado da soma dos números da
2ª coluna? R: 20
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR
3)(Enem-2012)
Uma pesquisa realizada por
estudantes da Faculdade de Estatística mostra,
em horas por dia, como os jovens entre 12 e
18 anos gastam seu tempo, tanto durante a
semana (de segunda-feira a sexta-feira), como
no fim de semana (sábado e domingo). A
seguinte tabela ilustra os resultados da
pesquisa. R: (e)
De acordo com esta pesquisa, quantas horas
de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18
anos, na semana inteira (de segunda-feira a
domingo), nas atividades escolares? R: (e)
4 . MATRIZES ESPECIAIS
MATRIZ QUADRADA
(a) 20
Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois
(b) 21
(c) 24
(d) 25
(e) 27
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE
UMA MATRIZ
O elemento genérico de uma matriz A
será indicado por aij em que i representa a
linha e j a coluna na qual o elemento se encontra. Uma matriz A, do tipo m × n será escrita, genericamente, assim:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
A = a31 a32 a33
a
a
a
m3
m1 m2
a1n
a2n
a3n
amn
Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que
aij = i + j.
Resolução:
A matriz é do tipo 2 x 2 então, genericamente,
a11 a12
a21 a22
Resta descobrir quem são esses termos
a11, a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j.
Então, usando os cálculos auxiliares:
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 + 2 = 3
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 + 2 = 4
a11 a12
é igual a
Logo a matriz
a21 a22
2 3
.
3 4
EXERCÍCIOS BÁSICOS
4) Escreva as matrizes:
b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j.
2
3
R=
R=
0
1
2
3 4
4 5
1
1
0
c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j.
R=
1 0
3 2
c ij 0 para i j
d) C = (cij)3 × 3 tal que
.
c ij 1 para i j
0 1 1
R = 1 0 1
1 1 0
e) D = (dij)2 × 4, com dij = i - j
R=
por dois ou simplesmente ordem 2.
2 3
2 3
A2 × 2 =
ou simplesmente, A2 =
5 1
5 1
Observação: Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i = j formam
a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
diagonal secundária
ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se:
matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n.
a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j.
É toda matriz cujo número de linhas é igual
ao número de colunas.
0
1
1 2 3
0 1 2
a
11 a12
a
a
22
21
a
a
32
31
a
13
a
23
a
33
diagonal principal
MATRIZ IDENTIDADE
É uma matriz quadrada de ordem n em
que todos os elemento da diagonal principal
são iguais a 1 e os outros elementos são iguais
a zero, seu símbolo é igual a In.
Exemplos: I2 =
1 0
, I3 =
0 1
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
MATRIZ NULA
É qualquer matriz que possui todos os
elementos iguais a zero. Simboliza-se a matriz
nula de ordem m × n por 0m × n e a de ordem
n por 0n.
Exemplos: 03 × 2 =
0 0
0 0
,
0 0 , 02 =
0 0
0 0
0 0 0
03 = 0 0 0 , 01 × 4 =
0 0 0
0
0 0 0
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja A uma matriz de ordem m × n denomina-se transposta de A a matriz de ordem n × m obtida, isto é, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.
Indica-se transposta de A por At.
1 2
Exemplo: seja a matriz A = 3 5
a sua
7 0 3 2
1 3 7
transposta é At =
2 5 0 2 3
2
5 . IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, tem a mesma ordem e seus elementos
correspondentes (que estão na mesma linha
e na mesma coluna) são iguais.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
5) Calcule os termos desconhecidos:
a b
6 3
a)
=
c
d
5 8
a b
g)
2b
3d
5 9
=
2 a- d
6 1 7
R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3
8
R: a = 2; b = 3 e d = 3
2
A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t
xy
tz
= A.
t z
para que se tenha
2 x y
R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2 (Veja a resolução dessa questão )
6 . ADIÇÃO DE MATRIZES
Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m
× n denomina-se soma da matriz A com a
matriz B, que representamos por A + B, a
matriz C do tipo m × n na qual cada elemento
é obtido adicionando os elementos correspondentes de A e B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
7) Dadas as matrizes A =
2 4
4 1
, B =
e
0
1
7 0
3 0
, calcule:
C =
5 - 2
4
1
c) B + C =
1 0
1
R:
7
12
d) A + B + C =
R:
9) Calcule:
9
12
5
1
8) Determine x, y, z e t, sabendo que:
3
a) 7 - 6 =
6) Seja
5
5
x 3
Sendo A e B duas matrizes do tipo m × n,
denomina-se diferença entre A e B (representada por A – B) a soma da matriz oposta
de B.
A – B = A + (-B)
R:
y
R: x = 10; y = 10 e z = 5
7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
2
h) z x - 5 x 6 = I2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1
b) A + C =
9
EXERCÍCIOS BÁSICOS
5 3
=
a - b
1 8
6 5
7 1
4
x y
y z
6 7
+
=
3 x t
- y 2
1 4 0
R: m = 3 e n = 4
b
R:
z
R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6
x y
f)
y
a) A + B =
2 0
d)
0
y
e)
= I2 R: x = 0 e y = 1
0
x
y
y -1
y
R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6
m n
c)
= I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1
p q
0
x
b) y + z = 1 5
x
R: x = 6 e y = 4
m 0
3 0
d)
=
0 n1
0 5
R: x = 7; y = 10 e z = 0
c)
=
+
t z
4 1 8
3 2 z
R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8
x 3
6 3
b)
=
5 2 y
5 8
x
3
1 0
a) y + 1 = 4
z
5
5
2
1
3
R:
5
1
1
2 3
0 2
-
=
1 4
1 5
b)
R:
2
0
1
1
0 1 2
1 2 4
=
-
6 5 1
6 3 1 0
c)
10)
R:
1
0
1 2
2 9
2
1
Dadas as matrizes A = 6 , B = 6 e
3
2
0
C = 4 , calcule:
- 2
a) A + B – C
3
1
R: a) 8 ; b) 4
1
7
b) A - B + C
1
e c) 4
3
c) A - B – C
11) Determine x, y e z sabendo que:
x
3
1 0
z
8
6
x
y
1 5
z
0
8
a) y - 5 = 4
b) y - z = 2
x
6
- x 4
R: x = 13; y = 1 e z = 2
R: x = 25; y = 10 e z = 8
y
12
c)
-
=
1 2 z
- 3 z
4 1
2
y
d) x
R: x = 6; y = 2 e z = 1
-1 4
2 - 3
1
=
-
2
5
1
z
8 1 0
R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou z = 3
3
8 . MULTIPLICAÇÃO DE UM N° REAL
POR UMA MATRIZ
Se A é uma matriz m × n, de elementos aij,
e é um número real, então A é uma matriz m × n cujos elementos são aij.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
12) Sendo A =
2 0 1
0 - 1 2
e B =
,
4
1
3
5 0 6
determine:
a) 5A =
R:
b) -2B =
10
20
R:
1
1
c) A = R: 2
2
d) 2A + B =
0 2 4
10 0 12
0
1/2
1/2
3 /2
R:
e) 5A – 02 x 3 =
13) Se A =
0 5
5 15
4
13
R:
1 4
2 12
10
20
0 5
5 15
1 3
- 1 3
1 2
, B =
e C =
,
2 0
1 - 2
4 3
calcule 3A + 2B - 4C.
R:
3
7
8 16
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e
uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto
da matriz A pela matriz B é a matriz
C=
(cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é
calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somandose os produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C é o produto de A
por B, vamos indicá-la por AB.
Observe que só definimos o produto AB
de duas matrizes quando o número de colunas
de A for igual ao número de linhas de B; além
disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de
B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
14) Determine os produtos:
6 5 2 4
=
1 0 1 3
a)
R:
17
2
39
4
5 1 0 5 1 6
=
3 2 2 - 1 4 - 3
b)
1 6
3 5
=
c) - 2 1
- 1 2
4
3
5 - 4 7
2 1 - 6
d)
4
=
2
R:
R:
R:
3
7
9
59
8
2
4
26
17
8
12
10
24 9 27
13 11 12
1 3 6 5 0
e) 2 5 1 2 4 =
4 0 2 3 2
1
f) 3 2 5 0 =
6
R:
R:
2
6
12
29
23
26
5
24
22
4
0
0
15 0
30
15) O
quadro abaixo registra os resultados
obtidos por quatro times em um torneio em
que todos se enfrentam uma vez:
Vitórias
Empates
Derrotas
América
0
1
2
Botafogo
2
1
0
Nacional
0
2
1
Comercial
1
2
0
a) Represente a matriz A = (aij) correspondente.
b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3
c) O que representa o elemento a23 da matriz
A? R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo
d) Qual o elemento da matriz A que indica a
vitória do Comercial? R: a
e) Considerando que um time ganha três pontos na vitória e um ponto no empate, calcule
41
1
quantos pontos fez cada time. R: 72
5
R: América: 1pt; Bota Fogo: 7 pts; Nacional: 2 pts; Comercial: 5 pts
f) Qual foi a classificação final do torneio?
R: Bota Fogo campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América
4º lugar.
16) Para
a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas
para seus três modelos de caminhões, com a
seguinte especificação:
Componentes/modelos
Eixos
Rodas
A
2
4
B
3
6
C
4
8
Para os primeiros meses do ano, a produção da
fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
Modelo/Meses
A
B
C
Janeiro
30
25
20
Fevereiro
20
18
15
Usando a multiplicação de matrizes, responda:
nessas condições, quantos eixos e quantas
rodas são necessários em cada um dos meses
para que a montadora atinja a produção planejada? R: 215 eixos e 430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308
rodas no mês de Fevereiro.
10 . MATRIZ
MATRIZ DADA
INVERSA
DE
UMA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n,
se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In,
então X é denominada matriz inversa de A e
é indicada por A-1.
4
Quando existe a matriz inversa de A,
dizemos que A é uma matriz inversível ou nãosingular.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Determine,
se existir, a inversa de cada
uma das seguintes matrizes:
1 3
a) A =
0 2
R:
5 8
2 3
1 2
d) A =
1 3
3 /2
1 /2
R:
1
1/2
R:
- 5/2
2
R:
3
1
b) A =
2 4
c) A =
4 5
1
0
2
5 /4
3/2
- 1
2
1
j
j
1 0 0
(a) 0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 0 0
(Veja a resolução )
bij 1 s e i j 4
b 0 s e i j 4
ij
em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
(b) 0 1 0
18) Um
técnico de basquetebol descreveu o
desempenho dos titulares de sua equipe em
sete jogos através da matriz:
1 7 1 8 1 7 2 1 1 8 2 0
1 6 1 8 1 8 2 2 2 1 1 8
1 9 2 0 2 1 1 4 1 4 2 2
2 2 2 0 2 0 1 8 2 2 2 3
1 8 1 2 1 4 2 0 1 7 1 8
Cada elemento aij dessa matriz é um número
de pontos marcados pelo jogador de número i
no jogo j.
a) Quantos pontos marcou o jogador de número 3 no jogo 5? R: 14
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4?
1 0 1
1 0 1
Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas
numa tabela. Ele observou que as entradas
numéricas da tabela formavam uma matriz
4x4, e que poderia calcular as médias anuais
dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a
tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por: R: (e)
(a) 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(d) 2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
(e) 4
1
4
1
4
19) Obtenha x, x ∈ R, de modo que a matriz:
0
0
2
x - 6x 8
(b) 1
4
1
4
1
4
Seja igual à matriz nula de ordem 2.
R: S = {2, 3, 4}
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz
quadrada de ordem 2 tal que
2i j para i j
aij =
2
i 1 parai j
2 4
(a) A =
8 5
2 8
(b) A =
5 6
. Nessas condições:
R: (c)
2 8
(d) A =
2 5
(e) n.d.a.
2 8
(c) A =
5 5
21)(FEI-SP)
0 1 0
(d) 0 2 0
R: 90
(e) 0 1 1
1 0 1
c) Quantos pontos marcou o jogador de número 2 em todos os jogos? R: 128
2
A = x 5 x 6
1 1 0
1 0 1
(c) 0 1 0
22)(ENEM-2012)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1 8
1 5
2 0
1 8
1 9
aij 1 s e i
a 0 s e i
ij
Se as matrizes A = (aij) e
B = (bij) estão assim definidas: R: (d)
1
(c) 1
1
1
R: (e)
23)(Unificado-RJ)
Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português,
ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma
matriz, como mostra a figura: R: (e)
matemática
português
ciências
est. sociais
1º b
5,0
8,4
9,0
7,7
2º b
4,5
6,5
7,8
5,9
3º b
6,2
7,1
6,8
5,6
4º b
5,9
6,6
8,6
6,2
5
Sabe-se que as notas de todos os bimestres
têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de
Cláudio, na mesma ordem acima apresentada,
bastará multiplicar essa matriz por:
(a)
1
2
1
(c) 2
1
2
1
2
1
2
1
(b)
4
1
4
1
4
1
4
(d)
1
4
1
(e) 4
1
4
1
4
1
4
24) (UFRS)
A matriz C fornece, em reais, o
custo das porções de arroz, carne e salada
usados num restaurante. A matriz P fornece o
número de porções de arroz, carne e salada
usados na composição dos pratos tipo P1, P2,
P3 desse restaurante.
arroz
1 arroz
C = 3 carne
2 salada
P=
(c) 1 1
4
(b) 4
4
2
(d) 6
8
2
(e) 2
4
25)(UNAMA-2006/2)
4
O cálcio é essencial para a
transmissão nervosa, coagulação do sangue e
contração muscular; atua também na respiração celular, além de garantir uma boa formação e manutenção de ossos e dentes. A tabela
1 abaixo mostra que a ingestão diária recomendada de cálcio por pessoa varia com a idade.
Foi por essa importância que o cálcio tem para
o corpo humano que a diretora de uma escola
resolveu calcular a quantidade de cálcio que
teria de usar nas refeições diárias dos seus
alunos para suprir a essa necessidade. A tabela
2 abaixo mostra a quantidade de alunos por
idade existente nessa escola.
A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria
que usar nas refeições desses alunos é: R: (e)
(a) 286.000
(c) 300.000
(b) 294.000
(d) 310.000
(e) 322.000
27)(PROSEL-2008)
Nas
matrizes
Modelo Pr eço Unitário
X
R $ 5.600,00
A
Y
R $ 5.800,00
R $ 6.000,00
Z
Trimestre \ Modelo X Y Z
B 1º Trimestre
25 30 50
2º Trimestre
15 20 40
e
Uma campanha foi deflagrada para angariar alimentos não perecíveis com o objetivo de amenizar problemas
gerados em uma região assolada pelas secas.
Os alimentos doados foram: arroz; feijão e
açúcar, todos em sacos de 1kg, totalizando
1.436kg desses alimentos. Sabe-se que a terça parte do número de sacos de feijão, somados aos
estão
representados os preços unitário das motonetas em função do modelo e a quantidade vendida no 1º e 2º trimestres de 2006 por uma
revendedora de motonetas, respectivamente.
Com base nesses dados, podemos afirmar que
a receita obtida por essa revendedora no 1º
trimestre de 2006 foi de: R: (b)
(a) R$ 720.000,00
26)(UEPA-2012)
carne salada
9
(a) 9
8
(d) R$ 440.000,00
2 1 1 prato P1
1 2 1 prato P2
2 2 0 prato P
3
A matriz que fornece o custo de produção, em
reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a)
7
(b) R$ 614.000,00
(c) R$ 560.000,00
2
do número de sacos de açúcar, dá
11
um total de 292kg e que há 144kg de açúcar
a mais que de feijão. Se X é a quantidade de
sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de
feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a
representação matricial do sistema formado,
tomando por base esses dados, é: R: (a)
1 X
1 4 3 6
0 - 1 1 Z
1 4 4
1
1
(a) 0 1 1 6 . Y = 9 6 3 6
1
(b) 0
0
1
11
-1
1 X 1 4 3 6
6 . Y = 1 6 0 6
1 Z 1 4 4
6
1
(c) 0
0
1
(d) 0
0
1
11
-1
1 X 9 6 3 6
6 . Y = 1 4 3 6
1 Z 1 4 4
- 1 1 X 9 6 3 6
1 1 6 . Y = 1 4 3 6
- 1 1 Z 1 4 4
1 1 1 X 9 6 3 6
(e) 0 11 6 . Y = 1 4 3 6
0 1 - 1 Z 1 4 4
28)(PROSEL-2006)
Para a confecção de um
cartaz, uma gráfica dispõe das cores: preto,
amarelo, vermelho e azul, cujas doses tem
preços unitários, em reais, representado pela
matriz A abaixo. Atendendo à solicitação do
cliente, a gráfica apresentou um orçamento
com as possiveis combinações de cores, cujas
quantidades de doses utilizadas em cada cartaz
estão representadas pela matriz B abaixo.
Nessas condições, o cartaz de menor custo
terá preço de: R: (d)
Dados:
(a) R$ 13,00
(c) R$ 11,00
(b) R$ 12,00
(d) R$ 10,00
(e) R$ 9,00
29)(UFPA-2009)
Pedro, João e Antônio comercializam três tipos de fruta com períodos
de safra parecidos: manga, abacate e cupuaçu.
No período da safra os três vendem o quilo de
cada uma dessas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00
e R$ 3,00 e, na entressafra, por R$ 2,00, R$
3,00 e R$ 6,00. Sobre a comercialização dessas frutas, considere que R: (c)
1 2 3
A =
, matriz que representa o preço
2 4 6
das frutas na safra e na entressafra;
2 0 2 5 1 5
B = 1 5 2 0 1 0 , matriz que representa uma
1 0 1 5 5
quantidade (Kg) comercializada dessas frutas;
t u v
C=
, matriz que representa o produy w z
to A.B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas representam o valor arrecadado, respectivamente, por
Pedro, João e Antônio, com a venda dessa
quantidade de frutas.
Sobre o valor arrecadado na venda, é correto
afirmar que
(A) Na safra, com a venda de 20 kg de manga, 25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pedro arrecadou t = R$ 85,00.
(B) Na entressafra, com a venda de 10 kg de
manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu,
Antônio arrecadou z = R$ 110,00.
(C) Na safra, com a venda de 25 kg de manga, 20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu,
João u = R$110,00.
(D) Na entressafra, com a venda de 20 kg de
manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu,
João arrecadou w = R$ 170,00
(E) Na entressafra, com a venda de 15 kg de
manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu,
Pedro arrecadando y = R$ 170,00.
30)(IFPA-2011)
Considere três dias da semana, D1, D2 e D3, e três medidas de temperaturas feitas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A
matriz a seguir descreve a medida de temperatura verificada nesses três dias da semana.
Cada elemento aij da matriz indica a quantidade de temperatura em graus Celsius Ti em cada dia Dj , sendo i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2, 3}.
Analisando a matriz, não podemos afirmar que
(A) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C.
(B) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C.
(C) a média das temperaturas, no dia D3, é de
30°C.
(D) a soma das temperaturas Ti verificadas
nos dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente,
30,8°C.
(E) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia
D1, é 54°C. R: (d)
EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS
DE VESTIBULARES
31)(UFES)
Os valores de x e y que satisfazem a equação matricial:
x - 2
3 y 7
4 5
+
=
são:
4 2 x
1 -y
5 1
(a) x = - 1 e y = - 1
(c) x = 2 e y = - 1
(b) x = 1 e y = 1
(d) x = 2 e y = 2
32)(FGV-SP)
matriz A2 + A3.
0 2
Sendo A = 1 0 , obtenha a
2
7
33)(Unifor-CE)
Os números reais x e y que
- 1
2 x
satisfazem o sistema matricial
=
2 - 1 y
4
são tais que seu produto é igual a:
2
(a) – 2
(b) - 1
(c) 0
(d) 1
(e) 2
34)(PUC-SP)
São
dadas
as
matrizes
A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2,
com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. se
C = A + B, então C2 é igual a:
1 0
0 1
1 0
0 1
(c)
0 1
1 0
(d)
(a)
-1 0
0 - 1
(e)
0 -1
-1 0
(b)
35)(PUCC-SP)
Seja a matriz A = (aij)2
× 2,
i j s e i j
onde aij =
. Se At é a matriz transi - j s e i j
posta de A, então a matriz B = A2 – At é igual
a:
4 - 1 0
(a)
7 1 4
1 7
(c)
7 1 1
3 3
(b)
1 1 7
2 0
(d)
- 1 1 2
2 8
(e)
2 1 6
36)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipulação, para fazer dois tipos de medicamentos
(I e II), o farmacêutico precisa das substâncias
A, B e C, expressas na tabela abaixo, em gramas:
I
II
B
30
50
C
60
30
As substâncias podem ser compradas em dois
fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das
substâncias em cada fornecedor, está expresso
em reais na tabela a seguir:
A
B
C
F1
4
5
3
0 1 1
A = 1 0 1
0 1 0
Seja A2 = A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que
há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com
uma escala. Com base nessas informações,
julgue os itens.
a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aeroporto 3, mas não há vôo direto do aeroporto 3
para o 1.
b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3
com uma escala.
EXERCÍCIOS EXTRAS
38) Dois
alunos A e B, apresentaram a seguinte pontuação em uma prova de português
e em outra de matemática:
aluno A
aluno B
EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS
DE VESTIBULARES
A
10
20
A = (aij), abaixo, descreve a forma de interligação dos mesmos, sendo que:
aij = 1 significa que há vôo direto (sem escala) do aeroporto i para o aeroporto j;
aij = 0 significa que não há vôo direto do
aeroporto i para o aeroporto j.
A diagonal principal de A é nula, significando
que não há vôo direto de um aeroporto para
ele mesmo.
F2
2
4
5
Após construir a matriz cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos pelo
fornecedor, calcule os valores das despesas se
a compra for toda feita no mesmo fornecedor.
Considerando que o pagamento é feito à vista,
determine como o farmacêutico pode combinar
a compra das três substâncias de modo a gastar o mínimo possível.
Português
4
9
Matemática
6
3
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da
prova de matemática é x, obtenha, através de
produto de matrizes, a matriz que fornece a
pontuação total dos alunos A e B.
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e
B apresentam mesma pontuação final?
39) Um fast-food de sanduíches naturais ven-
de dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os
ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas
seguintes quantidades (em gramas) por sanduíches:
queijo
salada
rosbife
atum
Sanduíche A
18g
26g
23g
-
Sanduíche B
10g
33g
12g
16g
Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches do tipo A e 10 sanduíches do tipo B.
Qual foi a quantidade necessária de cada ingrediente para a preparação desses 16 sanduíches? Represente-a na forma de produto de
matrizes.
40) Uma
confecção vai fabricar 3 tipos de
roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A = (aij) abaixo,
37)(UF-MT)
Os aeroportos 1, 2 e 3 estão
interligados por vôos diretos e/ou com escalas.
8
5 0 2
A = 0 1 3 , na qual aij representa quantas
4 2 1
unidades do material j serão empregadas para
fabricar uma roupa do tipo i.
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo
2?
b) Calcule o total de unidades do material 1
que será empregado para fabricar cinco roupas
do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados
como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o
Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é
necessária uma matriz de 453.060 linhas e colunas.
Nunca deixe que lhe digam:
Que não vale a pena
Acreditar no sonho que se tem
Ou que seus planos
Nunca vão dar certo
Ou que você nunca
Vai ser alguém...
Renato Russo
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ilas-de-matematica/cncg
Apostila atualizada em 31/7/2014
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9
